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Zmn-0671 沈卫国：实无穷与潜无穷辨析及芝诺悖论问题

已有 2343 次阅读 2021-9-14 17:22 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0671 沈卫国：实无穷与潜无穷辨析及芝诺悖论问题

【编者按。下面是沈卫国先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

实无穷与潜无穷辨析及芝诺悖论问题

沈卫国

1.实无穷与潜无穷

此处简略谈一下实无穷、潜无穷问题。笔者认为，与空间域有关的无穷，也就是与时域无关的无穷，是实无穷。比如一把尺子上的位置数，也就是点数。它都在这个尺子上，尺子是现实存在的，“完成”了的，那么其上的点，自然也完成了。就是实无穷。而与整体时间有关的无穷，因为整体时间是没完没了的，因此是潜无穷。比如同样一个自然数，其个数对应于序列1/1，1/2，1/3，1/4，1/5，...........，显然，它们都在长度为0到1的一把尺子上，因此在这个角度，是实无穷的。但如果我们真的去实际地“数”这些自然数，则当然需要时间，而且永远也数不完，这就是潜无穷的了。当然，如果我们不去实际地数，而是把这种可以数的可能性的全部看成一个整体，它仍旧是实无穷。也就是如果把永远不完结的时间看成一个整体，它仍旧可以看成是实无穷的。但这里的前提是我们没有去实际的“过”这个时间。只要实际地“过”时间，就是潜无穷，因为实际不可能被“过”完。整个宇宙在某瞬时的全部物质及其形态，或更确切地说是事物、事件，当然是实无穷的。但考虑时间，永远会有新的事物、事件、物质形态产生，这个又可视为是潜无穷的。把整个宇宙的永远时间考虑进去，可以否？当然可以，这是实无穷。但这个实无穷的元素不可能在有限时间明确给出。这是显然的：以后的事物，都是未知的，没有发生的。因此这个实无穷是“虚”的，本质上还是个潜无穷而已。也就是说，所谓“需要永远时间的实无穷集合”，其元素数目自然也应该是“需要永远时间”才产生完的。这个“实无穷”（无穷整体），不可能在任何有限时间内完成。因此“元素不断增长的”、“元素不可能在任何有限时间内全部给出的”集合，按概括原则（笔者认为必须坚持，这是集合论之所以有价值的精髓），它也是一类集合。也就是潜无穷集合，也是集合，既然提出了这个概念。总之，需要无穷时间才能完成，或说在任何有限时间都不能完成，或说由于无穷不能实际地完成，因此等于说不能最终完成的（一把尺子上的所有无穷个点，可以认为是完成了的，因为其都在这把尺子上了。但如果去实际地数这些点，就是一个潜无穷过程了）实无穷或无穷整体或整体无穷，就是潜无穷。一把尺子上的所有点，与整个宇宙中以往即未来的所有事物，都是一个“整体”，因此可以看成是实无穷的。但如果花时间去数尺子上的点，或实际地随时间产生宇宙中的新的事物（看成宇宙元素），这个过程就是潜无穷过程。总之，潜无穷描述的是无穷的过程，而任何过程无不需要时间，无穷的过程显然需要无穷的时间。也就是需要无穷的时间的过程，是潜无穷的。实无穷不需要时间，所以看成已经完成了的。实无穷与潜无穷之间的关系，极其微妙。坦率而言，以往笔者未见有确切中肯的表述（也可能是笔者孤陋寡闻了）。按上述笔者给出的定义“需要无穷的时间的过程，是潜无穷的”，如果前一个“无穷”指的是“潜无穷”，则这个定义成了循环定义“需要潜无穷的时间过程，是潜无穷的”。因此前一个“无穷”，应该被看成是“实无穷”意义的。也就是“需要实无穷意义的时间过程，是潜无穷的”。一个例子：比如作为实无穷或曰实无穷意义的自然数整体，如果我们去挨个数它们，就是潜无穷的。套用前面的定义，就是“自然数集合是是实无穷的，也就是一个实无穷意义的自然数集合如果挨个去数它的元素，就需要实无穷意义的时间才可以所谓的”数完“，而这个实无穷意义的时间整体又是实际不可完成的，于是这个实际去“数”的过程是一个不可实际完成的，也就是一个潜无穷的过程。也可以说，无穷的整体或整体的无穷，或已完成或可以完成的无穷，就是实无穷。包括需要无穷时间才可完成意义的。作为一个概念，它仍是一个整体概念，也就是实无穷意义的概念。但是，这个实无穷，这个整体，又是在任何有限时间实际不能完成的，在这个意义上，它就是一个潜无穷概念了。没有实无穷的一个整体概念，你甚至无法描述、定义潜无穷；同样，如果没有潜无穷概念，或只有实无穷概念，我们甚至无法定义全部时间这个整体的实无穷概念。换言之，把潜无穷的过程看成一个整体或一个整体概念（作为概念，它就是一个整体或“整体概念”。概念本身，其本身作为一个概念，只能是整体的、完成的），就是实无穷的（概括原则可以保证）；而一个实无穷的整体集合，如果不能在任意有限时间完成或列出其全部元素（也同样可以由概括原则保障、描述、定义），这个完成不了的过程本身，就是潜无穷的。二者相辅相成。

总之，潜无穷就是其元素不断产生、增多的无穷过程。而“不断产生”这个动作是需要时间的，是伴随时间的。不需要时间的“不断产生”，谁做的出来？时间的整体当然可以看成是实无穷，但与永不完结的具体系列事件相关联的时间、时段、瞬时的总体，既然也是永不完结的，因此当然是潜无穷的。也就是所谓“与时俱进”的无穷，是潜无穷。潜无穷是个过程，或说涉及过程的无穷，是潜无穷。不涉及过程（过程其实就是时间或需要时间、与时间相伴随。过程是真正“与时俱进”的）的无穷，是实无穷。

一个无理数（非比例数）的无穷小数表示，必为潜无穷。因为其所有小数位上的数值，不可能在有限时间内被确定。这是显然的，是由于非循环无穷位小数的性质决定的。其实际上不可能被精确在数轴上定位，实际是一个不可达极限过程。这在前文已经讨论的很充分了。有理数的小数表示（无限循环小数时），与自然数的性质一样，是可潜可实的。与整体时间对应（如每一自然数对应一天、一小时、一秒等等），则潜；与尺子上的位置（刻度）对应，如1/5、1/256等等，则实。但无理数的无限非循环小数表示法，是无法精确在尺子上定位的，而它的不可达极限却可以，但很遗憾，这显然已经被“申明”是不可达的了。因此它只能是个不断逼近其不可达极限的极限过程，这当然是没完的，也就是一个典型的潜无穷过程。尽管其精度是可以无限精确下去的。当然，这只是无理数的非循环无穷小数表示法下的不可精确定位（近似，不完备），而不是无理数（非比例数）本身的不可精确定位。这是一定要搞清楚的（详见前文讨论）。

2.芝诺悖论的有关讨论

著名的古希腊芝诺悖论（实际是典型的“佯谬”），笔者曾有专文讨论。其根本问题或悖论、佯谬产生的缘由，是混淆了两种无穷，即实无穷与潜无穷。任何一个具体时段，当然都是有限的。但如果把这个有限时段分为无限多的小时段，这当然应该看作是实无穷的。因为很显然，这个时段本身（当然包括那些无穷多的无穷小时段）是有限的，是总可以或总要过去的，无论其多长。过去了，就“实”了。无限个都过去了，就是实无穷。这与尺子上的无限位置（刻度）是类似的。龟、兔（阿克琉斯）间距离，是有限的，如果把静止参照系定在龟身上，则这个问题类似于中国古代的实质上是潜无穷过程的“日取其半，万世不竭”。兔无限接近于龟，以静止的龟为其不可达极限。但现实中可不是“日取其半”，而是很快就到达了龟（追上了龟、越过了龟），也就是“取半”所需的时间会越来越小，以至于最后是无穷小时段。而无穷小的定义就是可以越来越小，无穷地小下去。任何时段都是有限的，都可达，而这个时段中的任何无穷小时段，也就是可以无穷地小下去的时段，当然也可达。因为有限时段就是由它们“构成”的。因此，我们实际能够到达的、过去的任何时段，再小也是有限的，不可能真正取到一个无穷小的时段。因为无穷小时段被定义成任何可以实际取到的小的时段都可以再小下去。如此，怎么能取到最小的那个呢？总之，芝诺悖论问题出在现实可达的一个有限时段，如果其包含的更小的时段可以无限小下去，可以看成是一个实无穷。它是可达的，也就是可以到达、追上、越过。而不可达的才是潜无穷，比如“日取其半”。这需要整体全部潜无穷的时间。芝诺悖论（佯谬）实际是混淆了上述实无穷与潜无穷的区别，以后者的固定时段（非无限小的）的“日取其半”（类似，本质一样）取代了那些其时段本身可以无限小下去的无穷小时段。因此明明可以追上、到达的，现在反倒追不上、到不了了。

总之，芝诺悖论，本质上不是真正意义上的逻辑悖论（这是当然的，因为谁都知道现实世界中兔子不可能追不上龟）。但要想彻底解释清楚，也并不那么容易吧。

还有一个问题。经常有人声称，说用“现代”微积分，也就是所谓第二代的极限法微积分，就彻底解决了芝诺悖论。这实际上是错的。不存在。芝诺悖论实际与极限法求导等价。都涉及不可达极限。上面的说法，是误把不可达极限当成了可达极限的结果。所以有时极限法微积分求导被很多人认为合理、无错，正是混淆了可达与不可达极限的本质区别。可达极限就是其函数值，不可达极限不是其函数值。极限法微积分的极限，当然是后者。因此，与其说用极限法微积分揭示了芝诺悖论的问题所在，还不如说从芝诺悖论与极限法微积分求导中都要涉及不可达极限，反过来证明极限法微积分求导就是一个芝诺悖论过程，因此其不但没有解决后者的问题，反倒暴露了其自己本身存在与芝诺悖论一样的问题。如此，这里的论证就可以看成是一个它有问题的证明。

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