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Zmn-0654 沈卫国：对新华先生“实数集几个值的探讨的问题”一文提出的问题的我的意见

已有 1481 次阅读 2021-9-1 18:43 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0654 沈卫国：对新华先生“实数集几个值的探讨的问题”一文提出的问题的我的意见

【编者按。下面是沈卫国先生的文章。是对新华先生《Zmn-0648》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

对新华先生“实数集几个值的探讨的问题”一文

提出的问题的我的意见

沈卫国

参见：Zmn-0648 新华：区间[0,1)实数集几个值得探讨问题

实际上，新华先生这些问题基本上在我的“什么是真正意义的连续统”一文及我历来发表的文章中都有表述，还请新华先生有暇可以看看。这里简略地发表一点意见，供新华先生参考，与新华先生共勉。（以下逐次以数字对应新华先生相应的问题）

一、连续的点不能构成线段。我在那篇文章中一开始就写了，几何中点、线、面都是基本概念，无法互相取代，否则只一个点是基本概念就可以了。正如你所言，点的体积为0，长度为0，无穷个0还是0。前段“反对伊战先生”在一文中说可数个0相加为0，但不可数个0不能相加，没有可加性，因此不为0。那么，很显然的，既然无穷多个0不能相加，最后那个测度1又是如何得到的？它不是不可数个0相加得到的？如果不是，又是怎么得到的？实际上，这个测度1毫无道理，它就是一个规定或者公理，就这么定了。其唯一还算合理点的依据就是被认为是不可数的无理数比可数的有理数“多的多”罢了。还有，实数外再无其它的数，而有理数外还有无理数。因此就有理数不“连续”，无理数就“连续”了。但要注意，如果说实数连续，还马马虎虎，但说无理数也连续，则不很通。因为任何两个无理数之间，还都有有理数，而且任何两个无理数之间，无论多么地小，都有无穷多个（尽管是可数无穷多个）有理数，因此不是也不连续或不很连续吗？）当然，也可以牵强附会地说什么任何两个有理数或无理数之间，有的是不可数无穷多的无理数）所以，无理数的测度“也是1”的规定，就不是那么理直气壮了。但是，如果无理数的测度不是1，那又是几呢？根本就无法回答，因此只能是定义其也为1。但我们必须清楚，测度为1为0，就是一个规定，不是什么理论的论证或推论，就像一些人（特别是所谓的或自认为的“专业人士”）说的那样。那不过是他们把凡是上了书的东西，都看成真理，都是对的缘故。

此外，说“线的定义是点运动的轨迹”，这个“定义”是个循环定义，没有意义，它只是一个描述性的“定义”，实际是一个伪定义。因为“轨迹”是什么？不就是从这一点到那一点的连线吗？因此，“线”与“轨迹”，是同义词。因此这类定义在逻辑上都是循环定义。这也反映了“线”这个概念的基本性，它不能用点去定义的。

综上，显然地，离散的点，不能构成连线的区间。但离散的实数是否构成连续的实数区间呢？显然地，数是点，但点并不就是数。因为一个并未标度的点、并未命名的点，也还是点，但也仅仅是点。所以，一个区间（比如一把尺子）上的点，通常具备两个要素，一个是“点”本身，它没有长度或长度为0，另一个为它在该区间（尺子）上的位置，而位置以该点到原点的距离来标度。因此，按此定义，一个区间内的全部实数，并不构成该实数区间。该区间只由两个点表示或构成。比如，0这个位置的点与1这个位置的点，决定了这个区间。即从0到1这两个点之间的区间，如果不省略0点，就可以由1这一个实数表示了。因为任何一个实数都表示或对应于一个唯一的区间（0为共同点，所有可以省略）。

二、按前述观点，二种说法一样，都可以。因为每一个实数都对应一个区间的位置。

三、按勒贝格测度，无理数的测度与实数的测度是一致的，因为它们都不可数，而且实数的不可数源于无理数的不可数，因为有理数是可数的。所以实数是连续统的话，无理数只能与连续统“等势”或同测度。否则在有理数的测度为0的前提下，如果无理数的测度也为0或其它数，则实数的测度如何能等于1的？所以这种“规定”实出无耐，否则不能自圆其说。但此种定义无疑是有些“怪怪的”。因为无理数无疑是有空档的（没有了有理数），它怎么就与无空档的实数同测度了？这不是没有疑义的。但在实变函数中，这就是个规定，没什么道理。唯一的道理就是不这么做会产生前述更矛盾的结果。

此外，在实变函数论中，说“证明了”有理数的测度为0，并不确切。有理数的测度为0，只是一个规定或公理性质的东西。就算有个什么形式上的“证明”，它也是在一些等效命题下的“证明”。它们可以互证。

四、这个问题，只能这么理解，既然已经“先”定义了1=0.99999999............，那么，那个开区间中既然不包括1，那么也就不包括0.9999999..............。不应该认为条件中似乎包括0.999999.........的情况。即，区间内的数都满足那个条件，但满足那个条件的数不一定都在区间内。当然，那个表述不很完备，起码也是容易产生误解或有歧义性。可见，所谓的数学严密性，往往是徒有其名的。有时候充满了陷阱。必要条件，充分条件，充要条件，往往是混淆的，一不小心就会错。你要是跟这些人理论，此时还未必说的过他们。因为条件只是每位属于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，十个数之一，人家并没有说只要是属于这十个数的，都在区间内。并没有什么“存在每位，对所有这十个数都有............”这样的表述。而只是类似“存在每位，有属于这十个数构成的集合中的一个元素存在..................”这样的表述。顺便说一句，如果有计算机程序或人工智能的算法涉及这类问题，不搞清楚是不行的，肯定要出现混乱。

对于1=0.99999........的问题，我有专文谈这个问题的。这里简单说一下。赞同这个等式的人，常以1与0.99999..........之间再也插不进任何数来作为理由，因为确实显然地，任何两个不同的数之间，都有其它的数。如果1与0.999999............不是同一个数，其间应该还有其它的数存在。这看起来很有道理。但把这两个明明不同的东西硬拉在一起，无论如何也不能让人满意。原因是什么？多少年了，有人说清楚吗？我们说，1这样的数，是可以在数轴上准确定位的，但0.999999............可以吗？不行！可以定位的，只是它的不可达极限值1。注意，这里是不可达极限，也就意味着不能等于1。因为它“永远也达不到”这个1，只能无限接近这个1。它能达到的，只是它自己。可是它自己本质上是一个无穷级数，没有终结，只有不可达极限。而不可达极限又不是它自己（否则就不是不可达极限了）。那这个本身不能在数轴上准确定位的“数”又是什么呢？又是怎么回子事呢？它还是不是数了？如果我们说不是数，也太过分，因为多少年来人们都说把它当成数的，你说不是就不是了？很多人不会服。况且这只是一个定义问题。那么好，我们就说它是一个不能在数轴上不借助与其不可达极限就不能定位的数。这是其与1的区别。可是，所有的数，不是应该都可以在数轴上精确定位的吗？怎么又出来了不能精确定位的数了？回答是：其实这还不简单吗？这个是个近似数不就完了。而且不是光说的，有理论推理依据的。比如1/3，在三进制下就可以准确定位，但在十进制下，就不行，它在十进制下是0.3333333...............，没完，反映了一个数在进行含有不同质数的（比如3与10）进位制的变更时的不可通约性，也就是不可精确表达性。把一个三进制下（也就是可以不断三等分下去的）的数转换成十进制数（也就是可以不断地十等分下去的），二者之间有可能不能互相精确表达。这其实就是与质数的不可通约性有关。那么，难道一个三进制下可以精确定位的数（比如1/3）在十进制下不但不能精确定位，还不是数了？当然不是，我们只能说，这样的数在十进制下，只能无限逼近，看做是近似。当然是无限近似！这体现在在十进制下，1除以3，永远除不尽，总有余数，除不尽。而永除不尽就是永不等。一等不就马上除尽了？那么，既然1/3与0.3333333.............互相不等，当然严格意义，它们就不是一回事，一个可以在数轴上精确定位，一个不行。如果我们认为只有在数轴上（其实还包括空间上，此处不细论了）可以精确定位的，才是真正意义的数，那么，0.3333.......就只能被认为是一个趋于其不可达极限1/3的一个级数或数列，而不是严格意义的、精确的数。这就难怪它与1之间不能再加进一个其它的数了。它不断趋近于1/3，又永远到不了1/3，当然它与1/3之间不可能再有其它的数。因为这不是两个已经在数轴上固定下来的点或精确的数了（1/3当然是，但0.3333333........可不是）。于是，如果我们认为只有能够精确地在数轴上定位的数才是数的话，在这个意义上，1/3或其三进制小数是数，而十进制下的0.333333.........只是以1/3为其不可达极限，它是一个级数或数列，因此就可以在数轴上精确定位这一点而言，它根本就不是数，一个是数，一个不是，二者当然不相等。起码是不严格相等。但是，鉴于无穷小数（不止是0.333333..........这么“单纯”的数）历来被看作是数，而且我们也不可能随时变换进位制，这很不方便。因此，在这个可通融或非严格的、无限近似的意义上，我们就定义或认定或规定（以前没有明确被认识到。必须补充这个定义）0.333333...........的那个不可达极限1/3就是它的可在数轴上定位的那个数，二者等值（尽管实际上不等，这是各个互质的进位制不能精确转换这一事实所决定的）。但必须明确，这实质上只是一个定义、认定、规定，并不是像一些人认为的那样那么地理所当然。这是没有办法的办法，也就是不能随时变换进位制（这样很不方便，事实上不可能）下的通融性做法而已。只是为了方便。总之，严格意义上不等，无限近似意义上可以认为相等。就是这么回事。于是，我们以后再讨论是否1/3=0.3333.......之类的问题时，要彻底搞清究竟是基于什么意义上说的。严格不等，近似可以等。理由上面已经说了。为什么严格不等，为什么近似可以等。1/3是0.33333........的不可达极限，既然“不可达”，当然就是不等。这两个不同的函数。只要还承认这个事实，就得承认二者不等。只有可达才谈得上相等。这没什么好说的。但又由于在十进制下不能用无穷小数精确表达1/3，为了不去随时变换进位制了，那么，我们干脆就认为在十进制下，0.33333333.........就代表1/3，马虎点算了。这个意义上，二者看成一个数也是可以的。则实际应用中甚至是必须的。

事实上，所有的无穷位小数都存在不能精确在数轴上定位的问题。特别是无理数。有理数起码哪一位是个什么数值，还是可以预先知道的。就比如0.99999..............，起码是知道它在其后的任何一位，都是9。但无理数不同了，只能算到哪里是哪里。比如π。用它的无穷小数表示，能在数轴上精确定位吗？当然不行。但π能不能定位，当然可以：只要画出一个圆，再画上这个圆的半径，圆周和半径理论上都是确定的、现实的给定的“线”（直线和曲线），不必管具体数值，此时半圆的角度就定义成π，这不就是一个定义吗？完全用不着什么无穷小数之类的。这个定义告诉人们了，这个现实世界的角度，其大小就叫做“π”。不就完了？它本身就是一个计量的“单位”，一如我们把某个线段定义成“1”一样。理论上，我们把这个“π”就定义成“1”，现在的“1”就成了“1/π”，谁又能说在理论上不能被允许？

1=0.99999............的问题更其复杂一些，也更具有迷惑性。1/3=0.3333........，或1/9=0.1111...........，都可以用1除以3或1除以9得到。但0.999999..........什么除什么才能得到呢？不行！什么除什么也得不到0.99999...........。可见它是有其特殊性的。我们事实上只能通过由0.33333........乘以3，或0.1111111...........乘以9来得到它。于是，根据前文分析，且紧紧把握这种分析，我们知道1/3=0.3333........中的0.3333.......只是1/3的一个无限近似值或说1/3是0.3333.......的一个不可达极限值。那么，各自乘以3后，得到1=3/3=0.999999.......。但我们始终必须明白，这个0.999999...........是由是由三进制下的1/3的近似值0.3333......乘以3得到的。而1/3乘以3等于3/3数值就是等于1。这个1是三进制下的1，尽管它在数值上等于十进制下的1，但0.99999...........本质上是由它得到的。即可以认为，尽管3/3 = 三进制下的1 = 十进制下的1，但这只是数值上如此。3/3=1应该还包含有其它的信息（有别于1的）。这就是这个1（或更准确地3/3）是由三进制得到的，是三进制下的。于是，0.999999...........就是由三进制得到，反映了十进制表示下对三进制比例数的不可精确性。这也就是在十进制下我们得不到0.99999.......的原因。也就是在十进制下，不能由一个分式或做除法直接得到它。这下，这里面的来龙去脉，就彻底清楚了。这个问题，大概也只有这一种解释。

五、无穷大∞符号，通常用于运算中。能运算，当然是可数无穷。而阿列夫什么的，是“基数”，相当于无穷的等级标记。所以不是一回事。从来没有人在运算式中写上阿列夫的，而在表示基数时，也没有用∞的。这就是个规定，或习惯。没有把∞必须变成阿列夫系列的要求。当然，我说的“无穷的等级”，“基数”，是顺着现有集合论结论说的，实际我是不同意这些的。之所以把无穷问题搞得如此复杂，又有∞，还得有阿列夫，还有不同的阿里夫等等，正是反映了理论的尴尬。

六、阿列夫系列不能用于具体计算。比如，2的阿列夫次方等等的表述，只是大致表述不同阿里夫的“量级”，实际也许根本就不该这么写。所以不必太当真。它们之间，没有通常算术运算规则那样的运算关系的。只是一个“借用”写法。按我的看法，这反映了无穷理论的不成熟。给人一个假象，似乎他们可以运算似的。既然不能运算，干嘛非写成似乎可以运算的形式？这的确对很多人（不仅仅是初学者）构成了误导。这些东西，按我的结果，根本就不应该存在。所以不必当真。

七、序数与基数不是一个东西。前者强调元素之间的先后次序，后者不考虑元素的次序，只是理解成数量的等级。

八、超穷序数、超穷基数，就是一个规定。不是从无穷小数通过一一对应算出来或数出来的，它就是把无穷小数的“总数”定义成一个超穷基数等等的。不需要去算或数。

以上是我的看法，仅供参考。更具体的，请见我的其它文章。

此外，你对数学、数学学习、研究的议论我完全同意。“带着问题学”，效率最高。否则往往只是学了些时髦的名词。学了些唬人的“行话”。

附录：新华先生的文章

· Zmn-0648 新华：区间[0,1)实数集几个值得探讨问题 2021-8-28 08:42

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