Zmn-0623 薛问天：命题等价，√2 不是有理数的证明不是谬误。评杨六省先生的《0604》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对杨六省先生的《0604》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

命题等价，√2不是有理数的证明不是谬误。

评杨六省先生的《0604》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

杨六省先生的《0604》认为【在毕达哥拉斯学派关于√2 不是有理数的证明中 隐藏着一个“复杂问语”的谬误】，这个论点是错误的。

关键是他所说的【我们要证明的是√2 不是有理数，还要看你是怎么问问题的），......简言之，“正确的问题”到底是下面两种情况中的前者，还是后者？

 ①√2 可以写成分数的形式吗？

 ②√2 可以写成最简分数的形式吗？】

这两个问题是等价的。显然如果这两个问题不等价，杨六省先生的质疑就有一定的道理，但是这两个问题是等价的 ①⇔②，扬先生的结论就是错的了。

实际上我们可以证明，对任何数A，

① ，存在整数m,n，使A=m/n。

②，存在互质整数p,q，使A=p/q。

可证这两个命题是等价的，即①⇔②。我们简单证明如下。

证明。①⇨②。设存在整数m,n，使A=m/n，若m,n互质，则②成立。若m,n不互质，则有最大公约数r，令p=m/r，q=n/r，且p,q互质。显然A=m/n=p/q，所以②成立。

②⇨①，设存在互质整数p,q，使A=p/q，显然①成立。证毕。

因而 ①√2 可以写成分数的形式和②√2 可以写成最简分数的形式这两个命题是完全等价的。

因而杨六省后面的论述，

【“反论题假则原论题真”是反证法的灵魂，也是检验反证法是否被正确应用的试金石。 原论题“√2 不是有理数”的表达式是√2=p/q（p 和 q 不都是整数），毕达哥拉斯学派把 √2=p/q（p，q 互质）设定为反论题，这是正确的吗？】

我认为是正确的，因为【√2=p/q（p 和 q 是整数）】和【√2=p/q（p，q 是互质的整数）】是等价的命题。所以【√2=p/q（p，q 是互质的整数）】就是【√2=p/q（p 和 q 是整数）】. 当然是【√2=p/q（p 和 q 不都是整数）】的反论题。等价命题的真假都是等价的，不存在不相容的问题。这说明就我们所讨论的问题而言， “反论题假则原论题真”同样是成立的，不存在任何错误。故教科书把 √2=p/q（p，q 互质）设定为反论题是一点错误都没有的。

当然如果两个命题不等价，例如

❶，存在整数m,n，使A=m*n。

❷，存在互质整数p,q，使A=p*q。

这两个命题不等价。❶⇨ ❷不成立。显然在反证法中"用❷的反论题假则得出❶的原论题为真”，就不成立了，是谬误。

杨六省先生认为毕达哥拉斯学派关于√2 不是有理数的证明是谬误，主要是没有注意到其中这两个命题的等价性。实际上因为命题是等价的，所以证明就不是谬误。

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