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Zmn-0630 沈卫国：反证法以及康托对角线法证明中的逻辑问题再析

已有 1387 次阅读 2021-8-15 08:35 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0630 沈卫国：反证法以及康托对角线法证明中的逻辑问题再析

【编者按。下面是沈卫国先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

反证法以及康托对角线法证明

中的逻辑问题再析

沈卫国

内容提要：在前期工作的基础上，从一个新的视角，提出康托对角线法实际是一个半截子推导，而一个完整的推导，可以得到：从假设实数可数，推出实数不可数（康托对角线法到此为止了）；而从假设实数不可数，又可以推出没有证明实数不可数。这个结果无论是看成一个悖论（推出了矛盾），还是直接看结论，都说明由康托对角线法可以证明实数不可数的结论不成立。在此基础上，本文还分析了反证法的局限性问题。

关键词：可数；不可数；实数；康托对角线法；位数；一一对应；悖论；反证法

笔者前期论文中，对此问题的分析已经非常充分。这里对重点再进行一些总结，并从新的视角提出更为直接的论据。

讨论实数可数、不可数的问题，当然必须紧扣可数、不可数的定义。但实际上很多人一进入具体讨论，就会不自觉地脱离这个定义，因此其结论也不会正确。

可数，就是可以在某一种（只一种就足够）对应方式（函数关系、映射关系）下与自然数一一对应。

不可数，就是不能在任何一种（其实有无穷多种）对应方式下与自然数一一对应。

特别提示，按上述可数与不可数的两个互相关联的定义，如果某集合在某一种具体的对应方式下不能与自然数一一对应，则不叫不可数。这一点很多人甚至很多所谓的“专业”人士在具体应用中都没有搞的很清楚。

注意，一般教科书中可数与不可数的定义，往往没有关于“对应关系”、“函数关系”这样的表述。但没有表述不等于没有。因为很显然，任何所谓的“一一对应”，都要有相应的对应关系。但是正因为这一个应该是不言自明的“省略”，却实实在在地造成了很多人的“忽略”。这实际上不能不说是康托对角线法运用以至其结论错误的根本原因。

具体到康托对角线法（其过程从略，任何一本教科书中都有），其必要条件显然是所列出的无穷位小数表示的全部实数，如果不能在一个特殊的、具体的对应方式下，即与无穷位小数的每位的状态必须（在笔者过去的文章中，一般这里写“可以”，但严格而言“必须”更严谨）变动以体现（毕竟多进制被使用的目的本身就是能够用较少的、并且每位状态可以不同的位数去表达更多的数）必有其它实数不能与无穷小数的每一位（位数）一一对应，按前面的可数、不可数的定义，及“特别提示”，这不叫不可数。因为康托对角线法，已经无意识地、不言自明地采用了上述具体的对应方式。

总之，在任何多进制下，用于表达一个数的位数，不可能与该进制下可以表达的所有数一一对应上。原因很简单，设计多进制的目的就是不去这么一一对应，就是通过每位的状态改变来表达远多于其位数的数的。对有限位数是如此，对无限位数仍旧如此。否则还要多进制干什么？但必须明确，这种多进制下的位数与其所可以表达的数之间的对应关系，只是一个具体的对应方式。在这种特殊的对应方式下没有一一对应，并不就是不可数。举个笔者多次举过的例子：三位二进制小数，位数为3，而其可以表达8个不同的数。位数与其可以表达的数之间不能一一对应。但难道3可数，8就不可数了？有限情况如此，无限情况也一样（经常有人对此点提出异议，声称有限不能推到无限云云。但按这种观点，康托的整个理论也就没有了。他也是由有限推无限的，这是由无限公理所保障的）：所列出的无穷位小数表达的实数，一一对应与每位状态必须变动以达到对角线上每位变更后新产生的小数实数在所列出的小数实数之外，按不可数的定义，这不是全部实数不可数。必须所有无穷多种的对应方式下，实数都不能与自然数一一对应，才叫不可数。因此，本质上不可数是不能证明的：有谁能真的穷尽无穷多种证明？而证明任何集合的不可数，就需要无穷多种证明。因为对两个无穷集合而言，之间的对应方式有无穷多种。

总之，在此我们必须强调一个事实，就是在任何多进制下，其特定位数所能表达的数与这个特定的位数之间是不能一一对应的。这事实上也是设计多进制的目的。有限时如此，无限时也如此。这实际上也是康托对角线法得以进行下去的前提或基础。因此，整个康托对角线法的结论前，必须加上这个前提。而恰恰不可数的定义，是不能有具体的前提，因此康托对角线法无效。

以上“事实”当然很好“证明”，甚至根本就无需证明，因它就是多进制之所以被构造的目的。因此也可以看成是一个公理性的“事实”。因为下面还要引用，我们不妨称其为“事实F”。

如果康托对角线法证明实数不可数的方法成立，那么，我们甚至可以证明在多进制下，每位状态数多的多进制表达的数，比每位状态数少的多进制所表达的数“更不可数”，这当然是荒谬的。比如十进制小数，就应该比二进制小数更不可数。虽然二者都可以表达实数。必如在位数一一对应的前提下，由于十进制下每位的状态数为十个，而二进制下每位的状态数才是两个，因此我们完全可以逐位在十进制数中取二进制数中没有的状态，如此得到一个十进制实数，其必然不会出现在位数对齐条件下的二进制数中。但是，这能说明十进制实数比二进制实数还要不可数？这当然是荒唐的。由此可以看出康托对角线法的证明过程与结论，是彻底错的。它等于把“全班的学生没有都在这个屋子里”，去代替了“这个屋子不可能装下全班的人”了。

我们还可以这么看这个问题：假设我们列出了一个实数的可数子集，用对角线法，我们同样可以证明有一个此列可数实数子集外的实数在（由对角线上每位求异产生的），但这并未证明整个实数集合不可数，因为一个可数集加一个元素甚至可数无穷多的元素，仍旧是可数的，这是康托所证明的定理。但如果我们假设的是“列出了全部实数（实数可数）”，则由康托对角线法的结果，是“多出了”一个实数（对角线上新产生的那个），即原先所列出的不可能是全部实数。但这是不是就此证明了整个实数集合就是不可数的？康托认为就是。也就是证明了整个实数集合是不可数的。因此原先实际所列出的，只能是实数的一个可数真子集。但由康托集合论，可数集合加上一个元素仍旧可数。于是整个康托对角线法的完整逻辑实际可以分为两种，一种是康托自己所表述的，也就是他所认为（当然包括其后几乎所有的人）的，一种是他在对角线法的操作中没有表达，但实际必须有的。后者笔者用符号【.......................】括起来表示，并在第一次表述前用符号“→→”以示强调。就是：

由假设全部实数可数→ 可以列出整个实数集的每一个元素（实数）→→ 【整个实数集合的每一个元素（实数）可以与表示这些实数的无穷小数的每一位逐次一一对应】 → 【引用前述“事实F”，无论无意还是有意。这里实际等于是引入了新的前提条件，并且以往为康托所忽略】 → 由对角线法的操作步骤，即逐位求异，得到一个新的、不在原序列中的实数→ 【整个实数集的元素不能当采用与无穷位小数的位数逐次一一对应的特殊的对应原则时被全部列出】→ 整个实数集合不可数。

整个康托对角线法的证明过程到此结束。它不再往下进行任何推理了。但实际上我们完全可以接着上述“整个实数集合不可数”的结论继续推理：................整个实数集合不可数 → 整个实数集合的元素不可能被一一列出 → 则否定了原先的假设“列出了全部实数”→ 原先的假设就是错的 → 错的就要改正 → 应该改为实际能被做到的、也就是原先列出的只能是一个实数的可数真子集A → 在这个实数的可数真子集A上加一个对角线上产生的新实数作为元素，产生了一个新的实数的子集B，按可数的性质，任何可数集合加一个乃至可数无穷多的元素组成的新集合仍旧是可数的 → 包括了对角线上新产生的那个实数的集合B仍旧是可数的，但B原先并没有被全部列出，因为有一个元素是由从对角线上的逐位求异的步骤新得到的 → 于是得到结论：就是可数集合（如这里的B集合），在与无穷位小数的每位一一对应的前提下（对应原则下），也可以是未排成一列的。而不仅仅是只有不可数集合才不能与无穷位小数的位数一一对应地排成一列（此时能如此排成一列的是可数集合A） → 于是可数与不可数集合，都有可能在与无穷位小数一一对应的对应原则下不能排成一列 → 实数集合不可数并没有被证明。

从以上完整的推导可以看出，从最初的假设“实数可数”，先是康托推出了“可以证明实数不可数”，但在继续推导并且如果“【.............】”中的对角线法得以进行的必要条件与“实数可数”等价，则可以推出“不能证明实数不可数”，于是得到一个矛盾，说明康托对角线法的证明是错的。而如果“【.............】”中的对角线法得以进行的必要条件与“实数可数”不等价，则等于承认事先引入了前述“事实F”作为整个推导的前提条件，因此只是“证明”了“整个实数不能与表达实数的无穷位小数的位数逐位一一对应”罢了，毕竟，任何实数的可数真子集B，如果去掉一个元素（实数）后，得到可数的A集合，再去与无穷位小数的位数一一对应，则在此对应原则下，B当然同样不能与无穷位的小数的位数一一对应。因此不能与无穷位小数的位数一一对应，可不是全部实数集合的“专利”。也不是“传说中的”不可数集合的“专利”。于是，由于对角线上新产生的实数加到原先列出的实数的可数子集中去仍旧是可数的，我们就不能说仅仅因为对角线上产生了一个原先列出的实数可数子集合中没有的实数，就可以断定整个实数不可数。康托对角线法只是证明了全部实数不能与无穷位小数的位数一一对应罢了，而不能进行这种对应的光实数的可数子集合就有无穷多个，那么，又如何能就此证明同样不能进行这种对应的全部实数就是不可数的？难道前述可数真子集B也是不可数的？这明明是个矛盾。

总之，这个矛盾不是说“实数有不可数的性质，又有可数的性质”。而是指“既可以证明实数不可数”，又“不可以证明实数不可数”，这个证明推出了矛盾，因此证明是错的。既然整个证明是错的，那由它“证明实数不可数”的作为中间结果的肯定结论就是错的，而作为最终结果的否定结论“不能证明实数不可数”就是对的。具体而言就是：由实数可数的假设，推出了实数不可数的中间结果。又由这个实数不可数的中间结论出发（其实就是再又以它为假设），证明其最终并没有证明实数不可数，于是由同样的反证法，就证明了第一步的结论，也就是第二步的假设“可以证明实数不可数”就是错的。这里“反证法后的反证法”，类似于人们熟知的“否定之否定”。前一个“反证法”和前一个“否定”既然又被后一个否定了，那它必然就是不完备的。相对最终结果而言，也可以说它就是错的。总之，一个方法（比如康托对角线法）如可以用于矛盾的两个命题（如可数、不可数），也就是可以推出一个矛盾，则当然要否定这个证明方法。这个结论，我们同样可以用反证法得到。这叫“其人之道，还治其人之身”。

这里涉及反证法的适用性、完备性问题。如果命题C与┐C，二者必居其一，则我们从假设一个命题C，推出了┐C，于是原先的假设C就是错的，而其否定就是┐C，这样的反证法证明当然是有效的、对的。比如假设太阳从西边出来，而如此地球必然要东往西转，但现实是地球由西往东转，因此太阳从西边出来的假设是错的，于是证得太阳是从东边出来的。而太阳不是从西边出来，就只有从东边出来（不考虑南、北方向），于是这里的反证法运用是无问题的，是正确的。但是如果我们从假设一个命题C,推出了┐C后，证明了原假设C不对，不能采用，但在假设┐C后，却没有推出C，而是得到了命题D，则这里的反证法的运用是不完备的，即从假设C出发，不但得到了┐C，继续的推理还得到了D，于是中间结论┐C就不是唯一的了，因此不能说证明了┐C，因为显然这个结论是不完备的。因此这里的反证法的运用是不完备的，不能成立。而如果如前文所述，我们把命题┐C换成“证明了命题┐C”，则由后一个反证法直接得到最终结论“没有证明命题┐C”，那个作为中间结论的“证明了命题┐C”就是被否定的错误命题。具体到前面的康托对角线法证明实数不可数的问题，就是如此。它先假设实数可数，以反证法的形式（实际是不完备的反证法）得到实数不可数。但如果实数不可数，那原先的假设实数可数就是错的，于是其实际列出的只能是一个实数的可数真子集。由同样的对角线法操作，得到一个新的实数，加到已经列出的那个实数的可数子真集中去，这个新的集合仍旧可数，于是有可数子集一开始也可以不被列出，也就是不可列出的不仅仅是不可数集，也可以是可数集，于是这里的康托对角线法的不完备的反证法就没有证明实数不可数（可数集的元素同样可以不被列出），于是通过这种方法也就是这样的不完备的反证法的运用想证明实数不可数（任何方法都无法列出）是不可能的。于是，康托对角线法的不完备的反证法证明了实数不可数的结论就是错的，因为它使用的反证法并不完备。而用该中间结论再作为假设继续推导的反证法运用倒是对的、完备的，它证明了结论“康托对角线法证明了实数不可数是错的”，即“康托对角线法没有证明实数不可数”才是对的。

提起康托对角线法，其迷惑人或不成立的原因，是假设一个集合可数，其就可以与自然数一一对应，也就是可以排成一列。这没有错。但其从根本上忽视了此时的自然数，就是自然数，而真正意义的自然数是一数一态的。1就是1，2就是2，没有什么1里面再分出几个状态，比如像多进制下的位数那样还可以有1、2、3、.........等等不同的状态。因此，多进制下的位数，虽然其可以用自然数去标定，但其每一位都不是单态的，因此位数，当其不仅仅是单态的自然数时，也就是不是每位的状态被额外地规定死不能再变更时，它绝对不是一般意义的自然数。一个家庭，与家庭里的人，是一回事吗？能一一对应吗？除非规定一个家庭只允许有一个人。说一个集合的所有元素可以与自然数一一对应（这里指的当然是、默认是单态的、纯粹的自然数！），可不是该集合就可以与多进制下的本质上是每位多态的位数一一对应。因为显然，每位状态可以变换的目的，不就是表达比位数要多的多的数吗？那么，还怎么可能将这些多的多的数与其位数一一对应呢？必须再一次明确，可数不可数的定义，都是指的与每个单值的自然数去一一对应，而不是指的去与每位多值的位数一一对应。这是一种特殊的对应方式，与每位多值的所有组合数一一对应不上，只说明不能在与位数一一对应的前提下达到这种对应，而并没有证明这个集合不能在其它对应方式下可以与每个单值的真正意义的、纯的自然数的一一对应。康托对角线法及其结论实数不可数，问题盖出于此。其反证法的运用不完备。

这个问题，也可以理解成从康托对角线法的推论及前文所述的“延伸推理”，我们实际可以得到一个悖论。即我们能够由假设“可以证明实数可数”，可推出“不可以证明实数不可数”，进而由反证法推出“可以证明实数不可数”；但又由“证明了实数不可数”，又可以推出“没有即不可以证明实数不可数”。既然这个悖论是因为这个证明引起的，当然就要否定这个证明，也就是否定康托对角线法的有效性、完备性。在存在后半部分的悖论推导的情况下，我们当然不能只推前半部分，就说这个推导是个完备的反证法，因此否定了假设，就得到了正确的结果。具体到康托对角线法，就是不能只由假设实数可数，推出了实数不可数，就说这就是反证法，否定了原假设，证明了实数不可数（不再去管这里的所谓的“反证法”的运用是否完备）。而紧接着本可以继续进行下去进而推出悖论的推导，我们却就此舍弃了，不去再进行了。这当然是不可以的。

从另一个角度，也可以看出实数不可数并没有被康托对角线法证明。这个视角笔者在前期其它文章中早有论及，这里不妨再表述一下。

一个无穷可数集，再加一个元素（比如对角线上新产生的那个），仍旧可数。此对角线过程、步骤可以可数无穷次地进行下去。形式上就如我们“数”自然数一样，这个过程及其所添加的实数当然是可数的。那么，就算全部实数不能排成一列不再更动，但却并没有证明前述可数无穷的步骤、过程及其所新产生并新添加到原序列中的实数全体就一定构不成全部实数。此点是没有被证明的。证明的只是把对角线上多出来的那个实数加进原序列后，由于还可以继续同样的操作，因此那个（此时也仅仅是“那个”）新产生的序列也还是没有列出全部实数。但可数无穷个这样的步骤的结果相加可不可以，没有证明。这类似我们去“数”自然数，数到具体一个自然数时，都是有限个的。但这么“数”的全部，也就是可数无穷个这样的步骤，就认为列出了或“数”出了全部可数无穷个自然数。道理是一样的。

著名数学家陶哲轩在其«陶哲轩实分析»一书第435页对反证法的局限性有非常清醒、明晰的认识与表述。他写道：“反证法对于证明否定的命题，..........，是特别有用的。但是肯定的命题与否定的命题之间的界限是模糊的（命题x≥2是肯定的还是否定的？它的否命题是什么？是不是x＜2？），所以这并不是一个坚实牢固的法则”。实际上，如果不对命题的范围进行明确的限制与界定，所有不是“x≥2”的命题，都可以是它的否命题。比如“我未吃饭”这样毫不相干的命题。而且它还同样还可以视为是“x＜2”的逆命题。除非我们事先界定、规定“x≥2”与“x＜2”是个“非此即彼”的关系。但在现实中由于一些隐蔽的条件、因素的存在，做到这点并不像人们想的那么容易。就以这里讨论的康托对角线法举例：人们原本理所当然地以为（甚至还谈不上“以为”，而是根本就没有意识到），凡是能够与无穷位小数位数（以自然数标记）一一对应的集合就是可数的，反之就是不可数的。但实际上我们已经看到了，不能与无穷位小数的位数一一对应的，其实不止是不可数集（如果还有的话。证明不存在不可数集是另一个问题），还包括无穷多的可数集。于是，在此处运用反证法就是错的。原因是这里面有关命题之间没有“非此即彼”的逻辑关系（读者应能自行分辨）。

对于陶哲轩书中给出的“x≥2”与“x＜2”的关系问题，这里可以给出一个实例予以说明：设我做了一道题，如果得到了“x≥2”，我就不吃饭了。结果事实是我吃饭了，产生矛盾，按反证法，则我必未得到“x≥2”，但是不是就一定得到“x＜2”了呢？显然不是，除非我们事先约定不是“x≥2”，就是“x＜2”，非此即彼。换言之，如果那道题即使得到“x＜2”也还是错的，那么我们由反证法得到“x＜2”就是错的。反证法在这里无效，除非我们事先界定好题目结果的范围。否则得不到“x≥2”，可以是、或得到任何其它命题，而并未限定必须是“x＜2”。“x≥3”、“x≥1”.......等都满足要求。甚至还有非算术类的，这就更多了，比如“桌子”、“电灯”等等，都不是“x≥2”。小结：如果不对欲证命题进行非此即彼的约定或界定，此时运用反证法就会出错，结论就可能或可以是错的。这里的反证法是不完备的。可是，正如康托对角线法证明实数不可数这个具体实例所表明的，有时进行这种界定并不是容易的。原因是很多时候欲证命题的一些前提是隐蔽着的。

最后顺便提一下，有人也反对康托对角线法，但基本是与维特根斯坦一样从潜无穷的观点来反对的。比如自然数没有最后一个元素，根本“数”不过来，因此对角线法根本无法实施等等。但在此观点下，要否定的可不是康托对角线法了，实际上实无穷意义的自然数都得反对。因此不仅仅是一个对角线法的问题了。而笔者否定康托对角线法，完全是基于与康托一致的实无穷观点的。

著名数学大家阿蒂亚说：“过去曾经使成年人困惑的问题，在以后的年代里，连孩子们都能容易地理解”。确实，笔者已经揭示了，康托对角线法问题，实数可数不可数的问题，以及微积分求导问题，就是这样的问题。由于笔者的工作，它们都变得非常简单明确，现在所需要的，仅仅是破除迷信而已。

参考文献

从简。搜索“国家科技图书文献中心”“预印本”，沈卫国的文章

或知乎搜索“何许”文章（有些文章不全）

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