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Zmn-0586 李振华：无限序数的表达。长度的定义。

已有 1788 次阅读 2021-6-28 16:29 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0586 李振华：无限序数的表达。长度的定义。

【编者按。下面是李振华先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

无限序数的表达。长度的定义。

李振华

在前一篇文章中我给出了下面的公式：

{0,1,2,3,....}-{3/4,3/4+1,3/4+2,3/4+3,....}={0,1/(4n),2/(4n),3/(4n),...,(3n-1)/(4n)}/{0,1/(4n),2/(4n),3/(4n),...,((4n)-1)/(4n)}={0,1/(4m),2/(4m),3/(4m),...,(3m-1)/(4m)}/{0,1/(4m),2/(4m),3/(4m),...,((4m)-1)/(4m)}。N,m是正整数。

这是广义集合论演绎的结果，充分证明了广义集合论的数学真理性。为什么这条公式是对的？因为前面的观念，定义，公理都是对的。如果有人不信，那他可以用计算机去验证，算到天荒地老也找不到反例。这条公式，是集合论版本的3n/4n=3m/4m。

基本定义：

a:x元素a的重数是x。

A+B:{a,b,c:1/3,d:2,e}+{b,c:2/3,d:-1,e:-1,f}=(a,b:2,c,d,f}

A*B={x+y|x属于A,y属于B}。A*B={x+y:A(x)*B(y)|x:A(x)属于A,y:B(y)属于B}

减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。

自然数集合定义：n={0:n}。

基数对应公理：集合的运算对应基数的运算。

|A|,|B|>0。

集合A，B，如果|A/B|=1，称A和B的几何基数相等。如果|A/B|>1，称A的几何基数大于B的，如果|A/B|<1，称A的几何基数小于B的。

集合A，B，如果|A-B|=0，称A和B的算术基数相等。如果|A-B|>0，称A的算术基数大于B的，如果|A-B|<0，称A的算术基数小于B的。

有定义的东西不一定能算出来，在牛顿之前，没有人能算二次曲线的长度，围成的面积，但这些曲线都是有定义的。同样的道理，在广义集合论中，肯定存在有定义却难以计算甚至无法计算的事物。这不是定义有问题，而是人有局限性。

康托把序数和基数分开，但是在广义集合论中，基数和序数是一回事。在康托的理论中，存在最小的无限序数，无限和无限+1之间没有序数，存在没有前驱的无限序数，但是在广义集合论中，没有最小的无限序数，无限和无限+1之间有无穷多的序数，任何无限序数都有前驱。广义集合论的无限序数和超实数中的无穷大高度相似。

康托用一一对应的手法一下子就搞定了一大批无限集合，认为它们都有相同的基数，是可数集合。在广义集合论中，并无可数集的概念，当然也没有其反面不可数集的概念。广义集合论指出，那些所谓的可数集合其实都有不同的基数，值得做进一步的研究。

现在我们就来谈谈无限序数，只谈最简单的情况。

Card():取算术基数

两条公式：

Card({0,a,2a,3a,....}-{x,x+a,x+2a,.....})=x/a .......1

Card({0,x,2x,3x,....})=Card({0,1,2,3,....})/x+1/2*(1-1/x) .......2

我们以自然数集合为单位。

Card({0,1,2,3,....})=H。Card({1,2,3,4,....})=H-1。Card({-1,0,1,2,....})=H+1。Card({0,1,2,3,....,1,4,9,16,.....})=H+Card({1,4,9,16,....})。这些算术序数都有相同的几何序数H，属于几何序数H这个类。

Card({0,1,2,3,....}/2)=H/2。Card({0,2,4,6,....})=H/2+1/4。Card({1,3,5,7,....})=H/2-1/4。几何序数H/2这个类。

Card({0,1,2,3,....}*2)=2H。Card({0,1,2,3,....,0.5,1.5,2.5,.....})=2H-1/2。Card({1/3,1+1/3,2+1/3,.....,2/3,1+2/3,2+2/3,....})=2H-1。几何序数2H这个类。

[0,∞)的几何序数是Card([0,1))*H。它比自然数集合大了无穷大倍。

几何序数为0*H的类，既包括有限集合，又包括无限集合。0,1,{0,1},.....,{0,1,2,3,....,100},{1,4,9,16,....},{1,2,4,8,.....},....,[0,1),[0,2),[0,1000)，.....这些集合及其对应的基数都在这个类中。

一个几何序数就确定了一个类，不同的类意味着无穷大的差距，几何序数x*H中的x可以从0连续地变化到无限。

在广义集合论中，集合A的长度被定义为Card(A/[0,1))。长度其实是一个相对的概念。在广义集合论中，通常将[0,1)而不是[0,1]作为单位区间。为什么？因为将直线分割成无穷多个结构相同的区间，不可能出现[0,1]这样的形式。

你们是第一次见到这种代表实无限的数，这和康托的超限数完全不同，更接近于超实数。虽然大家都持实无限的观念，但发展出来的理论却完全不同。康托是用一一对应来讨论问题，我们是用集合的运算来讨论问题。

把x=2带入公式2，得到H/2+1/4，这是{0,2,4,6,....}的基数。把a=2,x=1代入公式1，得到H/2-1/4，这是{1,3,5,7,....}的基数。{0,2,4,6,....}的基数+{1,3,5,7,....}的基数={0,1,2,3,....}的基数。H/2+1/4+H/2-1/4=H。

把x=3带入公式2，得到H/3+1/3，这是{0,3,6,9,....}的基数。把a=3,x=1代入公式1，得到H/3，这是{1,4,7,10,....}的基数。把a=3,x=2代入公式1，得到H/3-1/3，这是{2,5,8,11,....}的基数。{0,3,6,9,....}的基数+{1,4,7,10,....}的基数+{2,5,8,11,....}基数={0,1,2,3,....}的基数。H/3+1/3+H/3+H/3-1/3=H。

这就是无限基数的集合意义，无限基数反映了无限集合之间的数量关系。需要注意的是，表达式中出现了分数，实无限就是这个样子。

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