Zmn-0566 李鸿仪：终结错误的对角线证明

【编者按。下面是李鸿仪先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

         终结错误的对角线证明

     李鸿仪

 hyli@sspu.edu.cn; leehyb@139.com

https://orcid.org/0000-0002-3758-6741

为了防止可能有的逻辑循环，我们在质疑集合论的时候，要尽量避免用集合论的观点。例如，本文在讨论实数的时候，不用实数集的概念，在讨论自然数的时候，也不用自然数集的概念。

1 康托的对角线证明

康托先假设实数是可数的，然后根据该假定，将区间[0,1）内的实数一一列出：

a₁,a₂,a₃......                                                    （1）

再用对角线法构筑了一个他认为不在（1）内的b，形成了矛盾，并据此认为他证明了实数是不可数的。

2  对角线证明中的逻辑错误

然而，如果认为（1）列出的是全体实数，那么由于b也是一个实数，（1）里面必然包含b，即这时不可能构筑一个不在（1）内的b，对角线证明失败（黄汝广在zmn_558提出了类似观点）。相反，如果认为b确实是在（1）之外，那么只能说明（1）并没有把全体实数都列出, 这时，在（1）外面找到一个实数b很正常，并不能据此认为可证明实数是不可数的。

以上简单的分析，可以更严格地用定理表述如下：

定理1 只能列出部分实数。

证明 假定可列出全部实数，列出后可用对角线法构造一个不在所列的实数b，矛盾。证毕

定理2即使在（1）外找到一个b，也没有证明实数不可数。

证明 根据定理1，（1）只列出了部分实数，所以在（1）外必然还有其他实数，无法排除b是这些实数之一的可能性。即b的存在并没有构成对可数假定的矛盾，对角线没有证明实数不可数。证毕

康托误以为，只要实数是可数的，就能够将其全部列出。但这是错的，不但实数不能全部列出（定理1），就是自然数也是不可能全部列出的：

定理3 只能列出部分自然数。

证明 假定已经从小到大一一列出了全部自然数，列完前最后列出的那个自然数显然就是最大的自然数。但这个自然数加1仍然是自然数且更大，矛盾， 证毕

所以把可数和可列完这两个完全不同的概念混淆起来是康托错误的根源：康托实际上用反证法证明的是实数是列不完的，却误以为是证明了实数是不可数的。

证明实数不可数的另外两个证明即区间套法和康托定理也存在同样的逻辑错误。

另一个明显的逻辑问题是，对角线认为在（1）之外找到b就证明了实数是不可数的，而可列可加性认为, 无论（1）是否列出了全部实数,在（1）之外增加一个、多个甚至无限个实数都不一定会改变可数性假设。

康托“一念之差”导致的错误向数学界开了一个世纪性的、到现在还没有正本清源的国际玩笑。明显缺乏纠错能力的主流数学界是否应该好好反思？

难怪著名数学家庞加莱说：我们的后代将会发现数学界病了（大意）。在我看来，不但是病了，而且还病得不轻：这么明显的逻辑错误，100多年了，主流数学界到现在竟然还没有人搞清楚！

3实数可数性的证明

其实实数的可数性根本不需要复杂的推理即可证明：

定理4 实数是可数的。

证明：设在集合R＝｛×丨x是实数｝上随机地任取一实数，将其编号为1，得x1然后再在R-｛x1｝地任取另一个数，将其编号为2.....该过程无限地延续下去，则所取的数已经与自然数一一对应了。由于每次取数都是随机的，且必定有一个数会被取出，故任何一个数都可能被取出，也可能不被取出，不存在永远取不出的数，同时，作为一个无限集，自然数的编号也是永远用不完的。证毕。

当然，这个过程是不会终止的。这个很正常：任何无限集合的元素都是永远取不完的，例如，即使在R中或｛x lx是自然数｝中随机取自然数，也是取不完的。而且在取数的过程中，“数数平等“，哪里可能存在长得“三头六臂”、“与众不同”、永远取不出的b?

不过，如果一直取实数中某一个无限真子集的数，例如一直在R中取自然数集，过程也会停不下来，这样就会导致取不到其他元素的现象。

由于实数集中可以有很多真子集，例如，

0.20000...

0.22000...

.....

---------------------

0.20000...

0.22000...

.....

---------------------

0.10000...

0.12000...

0.121....

....

---------------------

....

从概率论角度来说， 既然是随机取的，怎么可能老是盯着一个真子集取呢？所以任何一个具有概率论常识的人都不难证明（证略），在多个甚至无限多个真子集中始终只取其中一个真子集的元素的概率随着所取的数的无限增加而趋于0；而不始终只取其中一个真子集的元素的概率随着所取的数的无限增加而趋于1。退一万步讲，即使万一出现这种只在一个真子集取数的情况，即发现取出来的数正好总是某一个真子集的，也完全可以重新再选，最后总能做到不出现这种极小概率事件为止，这时，实数的可数性就得到了证明。

如果用计算机来做这个工作，出现了始终在某一个真子集里面取数的情况，则说明计算机程序在随机性上存在着Bug，修正这个Bug，再重新运行就可以了。

总之，无论用何种方法，最后总能证明实数是可数的。

事情本来就如此简单，却被康托误导得无比复杂！

正本清源，清除垃圾，是否已到了建立一个简洁且可靠的数学基础的时候了？

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