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Zmn-0530 薛问天：有定义的无穷次演算不在禁忌之列，评一阳生《Zmn-0505》和新华《Zmn-0514》
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Zmn-0530 薛问天：有定义的无穷次演算不在禁忌之列，评一阳生《Zmn-0505》和新华《Zmn-0514》
【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对一阳生先生《Zmn-0505》和新华先生《Zmn-0514》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
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有定义的无穷次演算不在禁忌之列，
评一阳生《Zmn-0505》和新华《Zmn-0514》
薛问天
一，一阳生先生用自然数來解释有穷次和无穷次的方法是合适的，但要恰当。
我们所讨论的有穷次和无穷次的推理和演算，这个有穷次和无穷次，归结为这个次的集合是有穷集和无穷集。而有穷集和无穷集的严格定义又是基于自然数的:。我在《0494》中给出了有穷集和无穷集的严格定义。这个定义是基于自然数的。
【定义1 (有穷集)】凡是能同某个自然数n建立一一对应的集合，称为有穷集合。在这个定义里，我们是把自然数n理解为是集合。自然数当n=0，是空集n=｛｝，当n＞0，是n=｛0,1,2,...,n-1｝。
【定义2(无穷集)】如果一个集合，它不是有穷集合，则称其为无穷集合。
《Zmn-0494 薛问天：【有穷集合】同【无穷集合】在数学有严格的定义》
二，我们持实无穷观者，是承认无穷集合的存在的。同时也承认无穷序列，无穷位编码，无穷位小数，无穷级数......等无穷对象的存在。
但是有两种无穷的事情，我们认为是有禁忌的。一个是逻辑推理。我们认为逻辑推理只允许有穷次的推理，无穷步的逻辑推理是绝对禁止的。
第二个就是演算，有穷次的演算自然没有问题。但是，无穷次的演算就要注意分别不同情况，除非有明确的定义，那些没有定义的无穷次的演算也是一律禁忌的。但是，有定义的无穷次演算不在禁忌之列。例如无穷级数是无穷次的加法，必须要有明确的定义，定义无穷级数的和是部分和序列的极限，而极限是有严格的定义。又例如无穷次的函数运行，a=...f(f(f(b)))，也必须要有定义，把它定义为有穷次的运行序列f(b)，f(f(b))，... 的极限。再例如无穷个集合Sn的并集S=S1∩S2∩S3∩......，定义为s∈S当且仅当s属于所有的Sn。
也就是说不要认为所有的无穷次演算都是不可定义的，都是不可实现要禁忌的，甚至认为是【错误的】。
一阳生先生一概地说【操作次数可以达到无限次，则会得出某一自然数的后继数无限大的错误结论。】是不妥的。那些有定义的无穷次的演算是不受禁忌的，只是那些未加定义或定义不了的无穷次演算，才是必须禁忌，不能使用。例如《0157》(三)中所举的无穷次【倒排演算】就定义不了无穷次演算后的最终结果序列，从而是禁忌，而不能使用的。《Zmn-0157 薛问天：再谈【无穷步推理】和【无穷次演算】的禁忌-同林益先生切磋。》
三，数学归纳法就是用有穷步的推理來替代无穷步推理的典型例子。
我们知道每个自然数都是由0经有穷次的后继运算(即+1)而得到的。但是「所有自然数的集合」却是个无穷集。即它由无穷个元素所构成。为了论证这无穷个元素具有某个性质P，我们并不能进行无穷次的推理(无穷次的推理是被禁忌的)。人类的文明创建了数学归纳法，只用两步推理，第1步证明自然数0具有此性质，P(0)为真。第2步证明，如果P(n)为真，则P(n+1)为真。只用了两步推理，并没有用无穷步的推理，就证明了对所有的这无穷个自然数，都具有此属性。也就是说论证这无穷个元素具有此性质，并不使用禁忌的无穷步推理，仅用两步推理即可完成。
看來一阳生先生对数学归纳法的作用理解得还不甚准确。数学归纳法能证明对所有的这无穷个自然数，都具有此属性。
人们不可能把无穷集合的无穷个元素全部呈现在面前，全部感观到，但是可以通过逻辑思维，断定无穷集合的存在，以及研究它的性质。这是人类的文明和先进之处。
我们刚才说的有定义的无穷次演算，所谓定义就是由有穷次的演算來替代这无穷次的演算。例如无穷级数的求和并不是真正进行无穷次的加法(无穷次的加法是不可能实现的)，而是把它定义为部分和序列的极限。部分和是有限个项的相加可以实现，而求极限也是可以在有限步内完成，例如用ε-N的方法用有限步的推理就可实现证明。同样是用有限步的推理來替代无限步论证。
关于无穷级数求和，不要因为有的部分和序列极限不存在(发散，如1+1-1+1-1...)或无穷大(如1+1+1+...)，就否定这个无穷级数存在的价值。
当然，这是可以定义的无穷次演算，如果是不可以定义，没有这种定义的无穷次的演算就是被禁忌而不能进行的演算。
四，在给定一个无穷对象时，当然不可能把所有的元素一个个地都写出來。
例如我们说给定一个序列a1,a2a3,..，当然不可能把序列的全部无穷个元素都写出来，但是只要给出一种方法，对任何n可求出an來，我们就承认给定了这个无穷序列。例如对任何n，令an=2n，就这一句话，只用了10个字，就给定了一个无穷序列- 偶数序列，这个序列有无穷个项而不是有穷个项。
再例如，康托尔定理的证明中，令b的第i位小数同ai的第i位小数不相等，就给定了无穷小数b=0.b1b2...。所给定的b是无穷小数而不是有穷小数。对这个b的存在和给定，一阳生先生是不必置疑的 。
对新华先生的《0514》给出如下评论。
1，新华先生讲【所谓“无穷步推理和无穷次演算”根本不存在，哪里能有无穷禁忌呢？】
怎么能是【根本不存在】呢，新华先生真的没有遇到:「无穷次演算」吗？
无穷级数不是无穷项的无穷次的相加吗，无穷层根号表达式不是无穷次的函数演算吗，包括你后面讨论的例子，无穷个区间的无穷次集合并演算，集合交演算，不都是无穷次演算吗？正是因为它们都有定义，才避免了禁忌，怎么能说无穷次演算【根本不存在】。
新华先生同意一阳生先生的错话： 【首先假设操作次数可以达到无限次，则会得出某一自然数的后继数无限大的错误结论。 】说这话【是完全正确的。如果操作次数达到无限次， 不就是等于存在无限大自然数吗？ 显然不存在〖操作次数可以达到无限次"〗。】
按照无穷级数和的定义，无穷个1相加等于无穷大。按照极限理论，这个无穷大并不是自然数，因而并得不出一阳生所说的【某一自然数的后继数无限大】的结论，也得不出新华先生所说的【等于存在无限大自然数】的结论，得不出这些错误的结论，你怎么能说【显然不存在〖操作次数可以达到无限次〗。】只要有合适的定义，无穷次演算仍然是可以运行的。并不受到禁忌。
2，新华先生说【既然没有无限自然数，哪里能有无限次操作呢？】
没有无限自然数是对的。因为每个自然数所表示的集合都是有穷集，但是「所有自然数的集合」却是无穷集。因而无穷级数，无穷层根号表达式，以及无穷个区间的交并运算全是无穷次的演算。怎么还能提出【哪里能有无限次操作呢？】这样的问题。
3，新华先生讲【极限理论中有 极限是无穷大的严格定义吗？显然没有。 极限为无穷大显然违背极限的定义。】
这是新华先生认知的误区。我引述一段教材，來纠正一下新华先生错误。
微积分教程(菲)，第38,39页(2段文字。)
同济大学的高等数学(上册)第35页。
4，有意思的是新华先生一方面不承认「无穷次演算」的存在，另一方面却在讨论无穷次演算的具体例子。
在文章的最后他引入了无穷个区间进行无穷次集合的并演算和交演算的例子。
1、⋃n=1∞ [-1/n,1/n]；
2、⋃n=1∞ (-1/n,1/n)；
3、⋂n=1∞ [-1/n,1/n]；
4、⋂n=1∞ (-1/n,1/n)；
5、⋃n=1∞ [-n,n]；
6、⋃n=1∞ (-n,n)；
7、⋂n=1∞ [-n,n]；
8、⋂n=1∞ (-n,n)；
这是典型的无穷次演算的例子。两个集合S1和S2，你知道它们的并演算S1∪S2和交演算S1∩S2的结果。但是你并不知道对于无穷个集合，它们的无穷并演算⋃n=1∞Sn，和无穷次交演算⋂n=1∞Sn的结果。你必须首先给出定义，才能解除禁忌。但是新华先生并未给出定义，就在那里求结果，不知他是怎么求的，当然这样做就不是严格的数学。数学要有严格的定义。我们对此给出严格的定义:
无穷并演算⋃n=1∞Sn的结果，是这样的s构成的集合，只要存在一个Sn，使s∈Sn。
无穷交演算⋂n=1∞Sn的结果，是这样的s构成的集合，对所有的Sn，都有s∈Sn。
用这样的定义我们会很快地计算出:
1、⋃n=1∞[-1/n,1/n]=[-1,1]；
2、⋃n=1∞(-1/n,1/n)=(-1,1)；
3、⋂n=1∞[-1/n,1/n]=｛0｝；
4、⋂n=1∞(-1/n,1/n)=｛0｝；
5、⋃n=1∞[-n,n]=(-∞,+∞)；
6、⋃n=1∞(-n,n)=(-∞,+∞)；
7、⋂n=1∞[-n,n]=[-1,1]；
8、⋂n=1∞(-n,n)=(-1,1)。
新华先生没有给出无穷次交集和无穷次并集演算的定义，却以端点的【最小值】和【最大值】來计算无穷次交集和并集的结果，这当然是他的主观错误臆想，结论中的(3,4)不等于｛0｝，以及认为(5)【没有确定结果】自然也都是错误的臆想，而不是按数学定义的演算。
参考资料。
Zmn-0505 一阳生： 关于无穷忌用，无穷步推理和无穷次演算禁忌真正原因的思考
Zmn-0514 新 华： 读《Zmn-0505》有感
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zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
Zmn-0517 薛问天： 集合的元素是确定的，不可改变和增加。评林益《0492》
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