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Zmn-0500 范秀山：再论0.999…不等于1
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Zmn-0500 范秀山：再论0.999…不等于1
【编者按。下面是范秀山先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
再论0.999…不等于1
范秀山
【摘 要】通过对一个典型指数级数求和案例的错误进行详细分析，表明数据类型的重要性，计算结果必须与假设类型相符，进而论证0.999…不能等于1。
【关键词】0.999…，无穷级数，无限循环小数
有人问了这样一个问题：
1+2+4+8+16+32+64+128+256+…=？
分析：
① 这是一个动态表达式，它的结果一直处于不断的变化之中，绝不会静止下来，因此不会等于一个静态的数（例如1000、100000之类的数），一定是一个动态数；
② 所有的相加项都大于0，因此其结果必定大于0。
有人给出了下面的计算。
设x是一个动态数
1+2+4+8+16+32+64+128+… = x （1）
对等式左边第2项之后的其他项提取公因式2
2+4+8+16+32+64+128+…=2（1+2+4+8+16+32+64+…） （2）
代入式（1），得
x = 1+2x （3）
x =-1 （4）
计算表明，表达式的结果居然等于-1（负数、静态数）。既不符合①也不符合②，说明计算过程存在错误。
错在哪里呢？
仔细分析，错在式（2）。
在式（2）中，等号左边是去除了第1项的x，是不完整的x，等号左边只是“部分”；而等号右边，是2个完整的x，2个“整体”。
作个比喻，式（2）等号左边相当于没有猪头的大半个“猪身子”；而等号右边，是2只完整的“猪”。
让一个不完整的猪等于2头完整的猪，是逻辑上是荒谬的，在现实中是不可能的。
最终得到的经验是，对于无穷项级数进行求和时，必须注意动态数与静态数的问题，必须要校核假设与结果的数据类型是否一致，如果不一致，则计算结果就是错误的。
无独有偶，数学界还流行着另外一个错误的证明：
设x是一个动态数
0.9+0.09+0.009+0.0009+…= x （5）
对等式左边第2项之后的其他项提取公因式0.1
0.09+0.009+0.0009+…=0.1（0.9+0.09+0.009+0.0009+…） （6）
代入式（5），得
0.9+0.1x = x （7）
x =1 （8）
由于1是一个静态数，与原假设x是一个动态数不符，因此式（8）不成立，结果错误，于是
0.9+0.09+0.009+0.0009+…≠1 （9）
如果有人一定要问，0.9+0.09+0.009+0.0009+…=？
那么可以肯定，唯一正确的答案是
0.9+0.09+0.009+0.0009+…=0.999… （10）
或者
0.999…<1 （11）
0.999…≠1 （12）
0.999…≈1 （13）
唯一错误的就是“0.999…=1”。
可惜的是，错误的“0.999…=1”还被当做“知识”，被教师们强行灌输给亿万青少年，这是令人极其痛心的。
2021. 3. 23
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