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Zmn-0475 薛问天：论无穷次函数表达式。评范秀山《0467》和林益《0471》

已有 1526 次阅读 2021-3-8 20:52 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0475 薛问天：论无穷次函数表达式。评范秀山《0467》和林益《0471》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对范秀山先生《0467》和林益先生《0471》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

论无穷次函数表达式。

评范秀山《0467》和林益《0471》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg 当一个函数给定后，有穷次地重复实施此函数，这个运算的涵义是自明的，不需要重新定义。但是无穷次地重复实施某函数，如何正确表达，以及实施的结果等于多少，在现有数学中没有严格规定，而由于人类受时间和空间的限制，不可能在实际上做到无穷次的实施，以实际实验的方法求出结果。所以需要给以正式定义。作为在用推理的方法，认知此无穷行为的推论依据。

一，无穷次函数表达式。

设有某函数y=f(x)，定义域和值域相等都是D。设b是D中的任意一个元素b∈D。

【基本定义】我们称b为初始元。

把a1=f(b)，称为1次函数。

把a2=f(a1)=f(f(b))，称为2次函数。

把a3=f(a2)=f(f(f(b)))，称为3次函数。

……

把a_n=f(a_n-1)=f(...f(f(b)))(n个f)，称为n次函数。

……

把以上各项均称为有穷次函数。

把序列a1,a2,a3,...,an,...。称为有穷次函数序列。

把无穷次地重复实施函数f，表达为:

「a=......f(f(f(b)))」称为无穷次函数表达式。

无穷次函数表达式的数值a，定义为相应的有穷次函数序列an当n→∞时的极限。a=......f(f(f(b)))=Lim_[n_→∞]an。

例1。令f(x)=(x+7)/10。b=0。显然有穷次函数序列，a1=0.7，a2=0.77，a3=0.777，...。它以无穷小数0.777...=7/9为极限。因而无穷次函数表达式的数值等于有穷次函数序列的极限:

a=......f(f(f(b)))=(((((((0+7)/10)+7)/10)+7)/10)+...... =Lim_[n_→∞]an =0.777......=7/9。

例2。令f(x)=(x+5)/2。b=5。显然有穷次函数序列，a1=5，a2=5，a3=5，...。它以5为极限。因而无穷次函数表达式等于有穷次函数序列的极限:

a=......f(f(f(b)))=Lim_[n_→∞]an=5。

由以上关于无穷次函数表达式的定义中，可以看出几点很重要的认识。

「无穷次函数表达式」的数值等于「有穷次函数序列的极限」，这个极限是确定的值，是数，是定值，如例1，a等于7/9，例2，a等于5。是【准确的值】不是【近似的值】，是【等于的关系】，不是【约等于的关系】。我们知道有可能「有穷次函数序列」中有些不等于这个【极限】，但是「无穷次函数表达式」的数值a，却是绝对地等于这个【极限】。

再一点，对于「无穷次函数表达式」來说，初始元b的存在，有a1=f(b)，是相当重要的。无穷有【有始无终】的无穷，也有【无始有终】的无穷。我们这里考虑的「无穷次函数表达式」，是有始的，是【有始无终】的无穷，而不考虑【无始有终】的无穷。我们考虑的是「a=......f(f(f(b)))」这样的「无穷次函数表达式」。但是我们不承认没有初始元，不知道a1=f(b)的这样的无穷次函数表达式「f(f(f(......)=？」这种不知从何时对什么元开始的无限重复实施到现在的函数。我们把这样的无穷次函数的表达式，认为是无意义的，错误的表达式。