Zmn-0461 薛问天：李振华先生【区间[0,1]中全体实数长度为1/2的证明】《Zmn-0441》错在哪里？

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对李振华先生《Zmn-0441》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

李振华先生【区间[0,1]中全体实数长度为1/2的证明】《Zmn-0441》错在哪里？

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

李振华先生在《Zmn-0441》中，对【区间[0,1]中全体实数长度为1/2】提供了一个证明。这个证明是错误的。

他的证明是这样说的 。

【考虑二进制下[0,1]中的全体实数，我们将对其执行以下操作：

第一步，使小数点后第一位只有0这个值，这表达了区间[0,1/2]，长度为1/2。

第二步，恢复第一位，使小数点后第二位只有0这个值，这表达了区间[0,1/4]+[1/2,3/4]，长度为1/2。

......

第n步，恢复第n-1位，使小数点后第n位只有0这个值，这表达了区间[0,1/2^n]+[2/2^n,3/2^n]+.....+[(2^n-2)/2^n,(2^n-1)/2^n]，长度为1/2。

......

无限地操作下去，区间中会剩下那些点呢？

每一次有限的操作，所得的结果都是长度为1/2的[0.1]的某个真子集，按照这个规律，我们推测，无限次操作之后，结果应该也是长度为1/2的[0,1]的某个真子集。

但事实却是，无限次操作之后，得到的将是[0,1]中的全体实数！

为什么呢？因为第n位的状态在第n+1步操作时就恢复了0和1两种状态，无限次操作之后，小数点后每一个位都有0和1两种状态，所以表达了[0,1]中的所有实数。

另一方面，每一次操作，区间的长度都是1/2，所以无限次操作之后，长度依然是1/2。】

李先生的证明错在哪里？他证明的论据是两点。

第一，【无限次操作之后，得到的将是[0,1]中的全体实数！】(A)。

第二，【无限次操作之后，结果应该也是长度为1/2。】(B)。

因为只有在这两个命题(A)和(B)都为真时，才能证明【无限次操作之后，[0,1]中的全体实数长度为1/2。】(C)。

李先生的每一步操作(第n步操作)都有两个动作，第一个动作就是【恢复第n-1位】，也就是愎复到开始状态，重新从面对【考虑二进制下[0,1]中的全体实数】开始操作。当然此时是【[0,1]中的全体实数】，长度等于1。但是紧接着第二个动作就是【使小数点后第n位只有0这个值】，从而结果只是由部分区间构成的实数，总长度只有1/2 。

也就是说李先生的每个步骡都有两个动作，先恢复成全体实数，长度为1。然后只保留部分实数，长度为1/2 。这样的操作进行无穷多次，不断地恢复成全体实数，然后只保留部分实数，不断地使长度为1，然后又使长度为1/2 。这样的操作无穷多次，怎么还能保证它是全体实数(A)，而且长度为1/2(B)呢？所以(A)和(B)都不能保证，对(C)的证明就是错误的。

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