博文
Zmn-0442 数 森：评李鸿仪《对角线证明可以休矣！Zmn-0403》
||
Zmn-0442 数 森：评李鸿仪《对角线证明可以休矣！Zmn-0403》
【编者按。下面是数 森先生的文章。是对李鸿仪先生的《0403》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
评李鸿仪《对角线证明可以休矣！Zmn-0403》
数 森
对李鸿仪先生文中的观点我有下面不同看法，仅供参考：
为了分析清楚问题的实质，先叙述一下一些公认的概念和结论，如果李先生不认可那就没有必要讨论了。
1. 自然数集
自然数集N={0,1,2,3,…}，注意：N中只有自然数，不存在最大数（如∞，ω等）
2.实数集
虽然实数的定义有不同种方法，但合理方法定义的所有实数都和0到1之间的十进制小数集合R[0,1)（简单、直观）有确定的一一对应关系F，所以对角线证明只要在R[0,1)中进行就可以了，这是因为如果0对应的实数为c_1，1对应的实数为c_2，2对应的实数为c_3，…，其中c_1, c_2, c_3,…为非十进制定义的某种实数（如戴德金分割或二进制实数等等），先将c_1, c_2, c_3,…根据一一对应关系F对应到R[0,1)中十进制小数a_1, a_2, a_3,…用对角线法找到b后，再根据一一对应关系F-1将b反对应到此种定义的实数d，则b不在a_1, a_2, a_3,…内和d不在c_1, c_2, c_3,…内是等价的（真假性一致）。如果要求十进制小数表述具有唯一性，则集合R[0,1)={0.a1a2a3…|ai∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}并且对任何正整数j，存在大于j的自然数k，满足ak≠9}。由此，R[0,1)中的两个实数a=0.a1a2a3…和b=0.b1b2b3…相等的充要条件是ai=bi (i=1,2,3,…)，也就是说a=0.a1a2a3…和b=0.b1b2b3…不相等的充要条件是存在某个正整数j，aj≠bj。如果a_1,a_2,a_3,…(1)和b都是R[0,1)中的实数，则b不在(1)内的充要条件是对任何正整数j，都满足b≠a_j。
3. 集合的确定性
任何一个集合所含的元素是完全确定的。也就是说，我们可以取出一个集合中的任一元素。举例说明：如A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，则任给x属于A（x∈A）表示x=0或x=1或x=2或x=3或x=4或x=5或x=6或x=7或x=8或x=9。（x可以是A中任一元素，不会多一个，也绝不会少一个）注意：1)任给x属于A不能随意增加x要满足的条件，如，任给x属于R[0,1)，则按定义x=0.a1a2a3…，除了定义规定外，不能另外加要求，如要求a1,a2,a3,…都能用某程序计算得出（因可计算实数集和实数集是不同的集合）。2) 任给x属于A有两层意思：x是A中任何一个元素；当x取出后是确定不变的一个元素（如任给n属于N，当n取出后就是一个确定的自然数，不能在以后分析中假定n=3，同时又要求n=4）。
4. 一一对应（关系）
集合A与集合B之间存在一一对应关系是指存在满足下面三个条件的A到B映射φ：1) A中任何一个元素在映射φ下都能对应到B中唯一一个元素（不能对应到B中两个或两个以上元素）。2) A中任何两个不同元素在映射φ下对应到B中元素也是不相同的。3) B中任何一个元素y都能找到A中某一元素x，使得x在映射φ下对应的元素就是y。条件3)要求在一一对应关系下，不能漏掉B中任一元素。也就是说，只要能找到B中的一个元素，其不是A中任何元素在φ下对应的元素，就能确定φ不是一一对应关系。下面用甲乙两人一段对话具体说明了一一对应关系的特性：
甲：正奇数集O+={1,3,5,…}中元素看上去要比自然数集N={0,1,2,3,…}中元素要少很多，它们之间存在一一对应关系吗？
乙：存在一一对应关系。比如，函数f：o→(o+1)/2就是O+到N的一一对应关系。
甲：在函数f对应下，1→1，3→2，5→3，…，那么自然数0由那个正奇数来对应呢？没有吧。我已找到一个自然数0，而对任何正奇数o，f(o)≠0，按一一对应关系定义，你给出的f显然不是O+与N之间的一一对应关系。
乙：我给出的函数f有问题，那函数g：o→(o-1)/2应是O+到N的一一对应关系。
甲：在函数g对应下，1→0，3→1，5→2，…，自然数不多不少全部对应上了，按定义g确实是O+到N的一一对应关系中的一个。虽然正奇数集O+中元素看上去要比自然数集N中元素要少很多，但按一一对应观点，这两集合中的元素“一样多”。
5. 反证法
有些人一看到用反证法证明，就觉得有问题（认为是一种不可靠的证明方法）。但这些人中绝大多数并没有搞清楚在什么情况下反证法会有问题。（有趣的是，直觉主义的创始人布劳威尔不认可排中律，反对在无穷集合使用反证法，但布劳威尔赖以成名的不动点定理，自己也是依赖于反证法来证明！）事实上，如果一个原命题P和原命题的否定ØP的真假性只能是以下两种情况之一：1)P为真，ØP为假。2)P为假， ØP为真。（即不存在P为可真可假，ØP为可真可假等等其它情况。）则使用反证法正确，不会产生任何错误结果。假若P为实数集可数：自然数集N与十进制小数集合R[0,1) 之间存在一一对应关系，ØP为实数集不可数：自然数集N与十进制小数集合R[0,1) 之间的任何对应关系都不是一一对应关系。由于集合的确定性，任何一个N与R[0,1) 之间的具体对应关系是不是一一对应关系的真假性是确定的，故此P与ØP的真假性只是以上两种情况之一，所以对此命题采用反证法合理，即康托用反证法证明实数集不可数是合理的方法。也许有人会有疑问，N与R[0,1) 一一对应关系（如果存在）不止只有一种，而且对应形式也可能不同，康托给出（构造）的一个对应（方阵）能代表任一N与R[0,1) 之间的任一个一一对应关系吗？答案是：从道理上说，这一一对应方阵应是认为实数集可数者给出的（不是康托认为存在而构造的，否则是自己打自己的脸），而认为实数集可数者中没人能给出（实际上是给不出）具体的一一对应方阵（当然没人能给出不等于不存在），康托是假定N与R[0,1) 之间有一个一一对应关系，则其必然对应康托证明中的一一对应方阵（因为不管什么形式对应，只要确定0对应那个十进制小数，1对应那个十进制小数，2对应那个十进制小数，…，就能得到康托证明中的方阵），故康托证明中的方阵不是固定一个（因为其中每个a_ij并没有规定一定是0或其它9个数中确定的数），其可以表示任何对应关系方阵中的一个。所以如果能确定一个十进制小数，其对应不在方阵的各行中，就证明了所有对应关系方阵都不是一一对应关系方阵，即自然数集N与十进制小数集合R[0,1) 之间的任何对应关系都不是一一对应关系。
回到正题。李先生文中认为对角线证明实数不可数有误，原因有两点：
1. 对于任意大的n，总存在m>n，有可能使得b_n=a_m，即无法保证n趋于无穷时，b=lim b_n不在(1)之内。
这个推论有问题。前面已分析过，保证b不在(1)之内的判别方法就是任给正整数m，都满足b≠a_m。反过来，保证b在(1)之内的判别方法就是存在某个正整数n，满足b=a_n。所以，即使对于每个正整数n，总存在m>n，能使得b_n=a_m，也不能保证b一定在(1)之内。举个简单例子说明这个问题：
a_1=0.000…
a_2=0.100… （A）
a_3=0.110…
…………
（对应的方阵中，对角线以下元素都为1，对角线及以上元素都为0）
b=0.111111…，显然对任何正整数n，都满足b_n=a_n+1（其中b_n为b的n位有限小数），b在(A)之内吗？有那个自然数M满足b=a_M？不能认为在有限中成立的结论，推到无限时仍然成立：b_n在(A)之内(n=1，2，3，…)，则b=lim b_n一定在(A)之内，这不是必然的，是需经过严格论证来说明是否成立的。再举个直观例子：设圆周率为π=3.14159265358979323846264…，π_n为π保留n位小数（去尾法）的数，π_1=3.1，π_2=3.14，π_3=3.141，…，显然π_n（n=1，2，3，…）都是有理数，由此能得出π（=lim π_n）是有理数吗？
2. 即使真的能找出不在(1)内的b，也不过是在无限集合中增加了一个元素而已，如果认为能以此改变无限集合的基数，即推翻原可数假定，显然与康托理论中的“在无限集合中增加了一个元素并不能改变无限集合的基数”相矛盾。
对于一个确定的方阵，康托找到一个不在(1)内的b，只是说明此方阵对应的N与R[0,1) 之间对应关系不是一一对应关系（前面已分析过，只要能找到一个b就能说明其不是一一对应关系。比如，我和你各有一袋颜色不同小球，只要在我袋中找到一个红色小球，且能证明你袋中没有红色小球，就能证明我袋中小球和你袋中小球不一样，而不必一定要说明我袋中有几个小球与你的不同才能证明这一点）。这与“在无限集合中增加了一个元素并不能改变无限集合的基数”不相矛盾，这是因为你不能排除还有其它的十进制小数b’也满足要求。要产生矛盾，必须证明找出（包括采用的不是康托方法）满足要求（不在(1)内）的b最多只能是可数无穷个。那么， 就康托对角线法能找到多少个满足要求的b呢？设自然数集N的基数为ω0，实数集R的基数为c，由于b中每一位至少有8个数字可选择，故满足要求的b组成的集合基数为8ω0，根据基数指数运算规律，可以证明8ω0=2ω0=c，说明康托对角线法能找到满足要求的b和实数一样多，所以不会直接产生矛盾。有人会有疑问，在二进制实数中，康托对角线法能找到同样多满足要求的b吗？前面已经详细分析过，通过二进制实数和十进制小数R[0,1)之间的一一对应关系，就可以证明同样能找到满足要求的b和实数一样多。有人进一步疑问，如果在二进制实小数中，直接采用康托对角线法能找到多少个满足要求的b呢？显然，在二进制实小数中，直接采用康托对角线法最多只能找到一个满足要求的b，但康托对角线法不是死的，康托对角线法的实质是：在正整数集N+中任取一个无穷子集N’,b在位数属于N’时按对角线法中做法确定，其它位数上可任取（只要满足二进制实小数的定义），这就是广义对角线法（若N’=N+时，就是通常说的康托对角线法）。从这个意义上说，康托证明中，不一定要求自然数集与a_11，a_22，a_33，…, a_jj，…强制一一对应，才能证明实数不可数。康托具体给出的一种对角线法只是便于更多人理解。在二进制实小数中，当N+-N’为无穷集合时（如N’ 取为正奇数集），b中由于存在无穷（可数）位（在N+-N’中），其中每一位有2种选择（0,1），故满足要求的b组成的集合的基数（除去不满足定义的可数个）为2ω0-ω0=c，所以直接采用康托广义对角线法同样能找到满足要求的b和实数一样多。最后用前面一个例子说明这个问题：如果自然数集与二进制实小数集对应同上面例子中的(A)一样，若N’取为正奇数集O+，则b可以是0.101010…等等（偶数位可以任取0和1，只要满足定义），显然0.101010…等等都不在(A)内。
以上是我对康托对角线法的一些看法，不知李先生是否能真正理解。由于工作较忙，没有必要我是不会答复评论的。
返转到
zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
科学网《数学啄木鸟专栏》Zmn-000 到 Zmn-0400 期目录： 2020-12-29 10:54
https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1271528.html
上一篇：Zmn-0441李振华：区间[0,1]中全体实数长度为1/2的一个证明方法
下一篇：Zmn-0443 林益： 回复《谈自然数的扩展--无穷位编码数》
