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Zmn-0401 薛问天：量词和论域的重要作用。评杨六省先生的《0392》
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Zmn-0401 薛问天：量词和论域的重要作用。评杨六省先生的《0392》
【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对杨六省先生的《0392》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
量词和论域的重要作用。
评杨六省先生的《0392》
薛问天
。
我在《0385》中写过一句话，杨先生没有留意: 「只要把这些推论写得更仔细些，更完整些，扬先生的疑问就会迎刃而解。」
我在《0390》进一步明确说「杨先生文中的的命题，如【“√2=p/q（p和q没有公约数）】这些命题都写得不完整。没有把相应的量词和论域写出。写全了就是我说的命题B【存在整数p,q，使√2=p/q而且p,q互素。】只有写完整了，才能根据逻辑规律准确地写出它的否定命题。例如乛B≡C:【对任何整数p,q，如果√2=p/q，则p,q不互素(有公约数)】。」
后來看了杨六省先生的的《0392》。问题的关键所在就表现得更明确了。根源就出在杨六省先牛的命题表达不完整，没有说清量词和论域，从而引起了歧义。可见在命题的表达中，表明量词和论域是非常重要的。
(一)，量词和论域。
在一个命题中，如果出现了「个体变量」，它没有受到量词的约束，它不能称为是一个「命题」，因为它没有确定的真假值。它只能称为是「命题函数」。当个体变量受到「存在量词(彐)」或「全称量词(∀)」的约束时，才能称为是一个有确定的真假值的命题。例如「x＞5」，这不是一个完整的命题，它没有真假值。而「存在x使x＞5，即(彐x)[ⅹ＞5]」和「任一x都使x＞5，即(∀x)[ⅹ＞5]」，这两个命题才是有真假值的命题，前者为真，后者为假。
另外，表明「论域」，即个体变量的取值范围，也很重要。例如(x)[ⅹ＞0]，这个命题在论域是正整数时为真，但是在论域是全体整数时为假。又例如(彐x)Ⅰx^2＜0]，这个命题在论域是实数时为假，在论域是复数时为真。
可见在表达命题时，表明相应的量词和论域是相当重要的。
(二)，命题有了量词，否定命题才清晰明确。
把命题表达完整，量词表达清楚，它的否定命题的确切含义才能清晰明确。这里有个对偶原则，全称量词和存在量词在否定命题中是相互交换的。命题「任一ⅹ都使x>5」的否定命题是「存在x使(x＞5)不成立」即「存在ⅹ使x≤5」。而「存在x使x＞5」的否定命题是「任一x都使x≤5」。一般來讲，令P(x)表示一个命题函数，则有
乛(∀x)P(x) ≡ (彐x)乛P(x)，和乛(彐x)P(x) ≡ (∀x)乛P(x)。
也就是说，明确地表明命题的量词，有助于说清它的否定命题的确切含义:。量词有个对偶原则，全称量词和存在量词在否定命题中是相互交换的。
(三)，杨六省先生的不完整命题。
杨先生说【“√2=p/q（p和q没有公约数）”并不是原论题“√2不是有理数”（也即“√2=p/q（p和q不全是整数）的矛盾论题。】杨先生这里的命题，含有个体变景p,q，但未表明量词，显然是不完整的，应当说清楚是存在p,q，还是任一p,q。论域也未说清，指的是整数还是包括整数的其它数域。
我们來看原论题【√2不是有理数】的矛盾命题(即否定命题)是什么。显然这个反证法的假定应是【√2是有理数】。按照有理数的定义，可以推出【存在p,q使√2=p/ q】，即(⺕p,q)[√2=p/q]。我们在此约定论域是整数。我们知道【存在p,q使√2=p/ q】和【存在p,q使√2=p/ q且p,q互素】是等价的(注: 证明见《0385》(二)定理1) 。所谓两个命题A和B等价A≡B，是指如果A真则B真，而且如果B真则A真。所以由反证法的假定【√2是有理数】可推出(而且等价于)【存在p,q使√2=p/ q且p,q互素】。
可见，只要在杨先生的命题加上存在量词，【存在p,q，使“√2=p/q（p和q没有公约数）”】，就是原论题“√2不是有理数”的矛盾论题。
刚才的表述是约定论域是整数，如果约定论域是包括整数的实数，反证法的假定【√2是有理数】，按照有理数的定义，可以表述为【存在p,q使√2=p/ q且p,q全是整数】，可以同样证明【存在p,q使√2=p/ q且p,q全是整数】和【存在p,q使√2=p/ q且p,q是互素的整数】是等价的。
(四)，原论题的表述错误。
问题是杨先生对【原论题“√2不是有理数”（也即“√2=p/q（p和q不全是整数）】的表述是错误的。
不能把原论题“√2不是有理数”，表述为【√2=p/q（p和q不全是整数）】，这里不仅缺了量词，而且命题中的逻辑关系也未说清。
应当怎么表述呢？约定论域是实数。由于【√2是有理数】表述为【存在p,q使√2=p/ q且p,q全是整数】，那么它的否定命题就应表述为【任何p,q，如果√2=p/q，则p,q不全是整数】。这里用到了如下式子:
乛(⺕p,q)[S∧T] ≡ (∀p,q)乛[S∧T] ≡ (∀p,q)[S→乛T]。
其中S表示√2=p/q，T表示p,q全是整数。
这里论域是实数。如果约定论域是整数，由于【√2是有理数】表述为【存在p,q使√2=p/ q】，那么它的否定就应表述为【任何p,q，√2=p/q均不成立】。
综上所述，揚六省先生的质疑完全是由于在命题中没有表明量词而导致的语义混乱，如果把命题写完整，表明相应的量词和论域，命题的否定就一清二楚。这些质疑就会立即消解。
(全文完)
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