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Zmn-0375 薛问天：【可数】就是【可列】，对角线证法没有错，评李鸿仪先生的跟帖。
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Zmn-0375 薛问天：【可数】就是【可列】，对角线证法没有错，评李鸿仪先生的跟帖。
【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对李鸿仪先生在《0364》文后跟帖的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
【可数】就是【可列】，对角线证法没有错。
评李鸿仪先生的跟帖
薛问天
。
李鸿仪先生在《0364》 的文后跟帖(2020-11-21 12:52)中，借题发挥，质疑起康托尔的【对角线证法】。现在评论如下。
(一)，【可数】就是【可列】，这只有一个假定。
跟帖说: 【......不过，并不是所有的反证法都是只有一个假定的。有时人们会在不自觉之中，引入第二个甚至多个假定，从而破坏了思维应有的严格性，使得反证法无效。
例如，在对角线证明中，实际上有两个假定，假定1）：实数可数，假定2）：可以将任何可数集合的元素全部列出。
在上述假定下，用对角线确实可以构筑一个没有列出的实数，从而形成矛盾。
然而，由于存在两个假定，所以无法确定所推出的矛盾究竟是推翻了哪一个假定。】
是的。如果反证法的假定是A∧B，其中A，B是两个不同的假定，则引出矛盾后，否定是就不是A，而是A∧B，即证明的不是乛A，而是乛A或乛B。可问题是李先生所说的【可数】就是【可列】，李先生所说两个假定，实际上是一个相同的假定。所以质疑不成立，最后的结论是正确的，证明了实数不可数。
(二)，【可列】并不是要求把所有元素呈现在你面前。
李鸿仪先生说: 【可数集合的定义是其元素可以与自然数一一对应，然而，我们永远也做不到将自然数全部列出，所以才只能用省略号表示无法全部列出的自然数。当然也永远不能将与其一一对应的任意可数集合的全部元素一一列出。
这是一个小学生也能理解的、十分简单且明确的事实。
所以，认为“可以将可数集合的元素全部列出”至多不过是一种与事实不符的愿望或想象。人们可以对该愿望或想象进行讨论或评论，但不能将其作为可靠的数学真理来对待，更不能将其作为一个逻辑出发点来建立可靠的、可以用来描述事实的理论体系。
事实上，只有有限集合的元素才有可能全部列出。因此，假定2）本质上是混淆了有限与无限的区别。】
[可以将集合的元素全部列出]，是指集合的全部元素可以排成一个序列An，序列以全体自然数为编号，即任何 n∈N。要求序列An的项全是集合中的元素，而且包括集合中所有的元素。李鸿仪先生错误地以为[可以将集合的元素全部列出]是指可以把集合的所有元素全部呈现在你面前。
这样的理解显然是错误的，也是做不到的。由于人类受到时间和空间的限制，只有有穷集合可以认为它的元素可以全部呈现在你的面前，对于任何无穷集合，它的元素不可能全部呈现在你面前。我们认可无穷集合的存在，以及认为两个集合的一一对应，靠的不是【親眼看见】，而是【逻辑推理】。只要有一种方法，能断定对任何自然数n，可以推出(而不是看见)序列项An的存在，我们就能断定无穷序列An的存在。因而我们可以用逻辑推理的方法推出，「如果集合是可数的，则集合是可列的，反之亦然。」可见【可数】和【可列】是等价的同一个概念。
(三)，无穷小数並不是位数不限的有穷小数。
无穷小数和有穷小数是两个不同的概念。如果小数点后有有穷个位，这是有穷小数，不管有多少个位，都是有穷小数。但是如果小数点后有无穷个位，这是无穷小数。无穷小数和有穷小数是两个不同的数学对象，这两者有原则的区别。
李鸿仪先生说:【小数的位数显然只能用有限的自然数来表示。如果小数位数的变化范围是有限的，称为有限小数；但如果小数位数的变化范围是无限的（无上界），就称为无限小数，】这样的说法显然不对，所有其小数点后的位数【能用有限的自然数来表示】的小数都是【有穷小数】。而【小数位数的变化范围是无限的（无上界）】的是无穷个有穷小数的集合，而不是一个无穷小数。每个无穷小数都是一个确定的数，只是它的位数是无穷个位。而位数可无限变化的无穷个有穷小数的集合，不是一个数而是一个无穷集，集合中每个元素都是有穷小数，每个有穷小数的位数都是有穷的。这显然是两个不同问概念，李先生将其混淆了。
(四)，对于任意位的有限小数的序列，对角线法都不成立，但对于无穷小数的序列，对角线法却是成立的。
李先生举例所证明的对角线法对于任意位有限小数的序列都不成立，是对的。因为显然对任何有限自然数m，在m位有限小数的序列中，编号为n﹥m的有限小数就没有第n位，对角线中所说的编号为n的数的第n位，即ann就不存在，自然对角线法不能成立。
:但是对于无穷小数序列而言，对任何有限自然数n，在无穷小数的序列中，编号为n的无穷小数就肯定有第n位，对角线中所说的编号为n的数的第n位，即ann肯定存在。显然对角线法就没有不成立的任何理由。
李先生所说的【既然可以证明，对任意位（无上界）的有限小数，对角线法都不能成立，那么，对无限小数，对角线也不成立。】恰恰同我们的证明相反，正是由于有限小数的位数m有限，当编号n>m时，编号为n的数的第n位不存在，对角线不成立。但对于无穷小数，编号为n的无穷小数的第n位肯定存在，于是对角线法肯定成立。
(全文完)
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