博文

Zmn-0337 薛问天：要认清【任意有穷】和【无穷】的区别，评黄汝广先生的论点

已有 2332 次阅读 2020-10-7 11:05 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0337 薛问天：要认清【任意有穷】和【无穷】的区别，评黄汝广先生的论点

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0333》黄汝广先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

要认清【任意有穷】和【无穷】的区别，

评黄汝广先生的论点

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

薛问天-c.jpg 本文除评论黄汝广先生的论点外，还应黄先生的要求，给出了「在区间(0,1)中挖去全部无穷个有理数」，最后剩余的是不可数无穷多个无理数的严格证明。

我们知道相机有分辨率之分。高分辨率的相机拍照出的人像，盾毛一根一根看的很清晰。可是低分辨率的相机拍照出的人像，眉毛就是黑呼呼的一片。差别很大。人脑也是一样，头脑清晰，可以把概念分得清清楚楚。头脑模糊，就分辨不出不同概念之间的区别。

能否认识【任意有穷】和【无穷】的区别，可以是检验头脑清晰度的一个标志。有人就是分不清【任意有穷个】和【无穷个】的区别。

「在区间(0,1)中挖去任意有穷个有理数」，同「在区间(0,1)中挖去全部无穷个有理数」，你能否区别它们的不同？这两者肯定是不同的。

【定理1】「在区间(0,1)中挖去任意有穷个(n个)有理数」，结果是「剩余有穷个(n+1个)开区间」。

当然这n是任意有穷个，对于所有的自然数n都成立。这是可以严格用数学归纳法证明的定理(证明略)。

那么「在区间(0,1)中挖去全部无穷个有理数」，结果就一定是「剩余有穷个开区间」吗？显然不一定。

黄汝广先生说: 【既然对于所有的自然数都成立，而我的操作的每一步只涉及自然数，当然每一步都成立，那么最终结果自然也成立。而且，虽然自然数有无穷多，但是每一个自然数却都是有穷的，当然我的操作的每一个编号也都是有穷的，我的每一步操作都是针对的有穷的自然数而不是无穷，因此，也就不存在什么由有穷推无穷的问题。】

这里要问黄先生，你说的【那么最终结果自然也成立。】你的【最终结果】指的是什么？是挖去【任意有穷个有理数数】，还是挖去【可数无穷个全部有理数】。显然，我们用数学归纳法证明的定理1，是前者而不是后者，而我们讨论要求的结果是后者而不是前者。你能区别这两者的不同吗？我们要从区间中挖去的是【无穷个】全部有理数，而不是只挖去【任意有穷个】有理数。你能说这里【不存在什么由有穷推无穷的问题】吗？

黄先生说:【实际上，薛先生根本没有明白数学归纳法的实质，因为数学归纳法的递推操作本质上就是无穷次的：既然数学归纳法的结论适用于所有自然数，而自然数有无穷多，那么一个自然数一个自然数地递归下去当然是要递推无穷次！如果递推操作只能有限次，那么数学归纳法的结论就不可能适用于全部自然数！】

数学归纳法证明的是定理1对无穷个自然数n都成立。但说的仍然是对于挖去【任意有穷个(n个)】有理数的这无穷个情况下成立，并不意味着挖去【无穷个】全部有理数时成立。很显然在挖去【无穷个】全部有理数后所剩下的一般不会是有穷个开区间。那么剩下的应该是什么呢？这才是我们要讨论的问题。

黄先生认为他证明了如下定理。

【定理2 (事实上此定理并不成立)】「在区间(0,1)中挖去可数无穷多个全部有理数」，最后剩余可数无穷多个剩余部分。

我们后面将会指出这个定理2并不成立。不过如果我们挖去的不是全部有理数，而挖去的是区间中从小到大的一个有理数的可数无穷序列: y1＜y2＜y3......＜yn＜......(如1/2＜2/3＜3/4,......。)倒是最后剩余(0,y1),(y1,y2),(y2,y3),......。这剩余的是可数无穷多个开区间。它们可以分别命名为A1,A2,A3,......。当然这每个开区间An中还含有无穷多个有理数和无理数。但请注意，这时挖去的不是全体有理数，而是部分可数无穷个有理数，因而这不是我们要求的。

全体有理数虽然有可数无穷多个，可以编号成一个无穷序列，但它排不成从小到大的一个无穷序列，而是稠密分布在区间上的。正如黄先生所分析的那样，在每挖走一个有理数yn时，这个yn必然落在某个剩余的开区间中，例如落在Am=(am,bm)中，把Am一分为二。左边是(am,yn)，右边是(yn,bm)。这里就有两种编号的规定选择。第一种选择是规定令左边区间保留原编号Am，右边区间为新增编号A_n+1。第二种选择是规定令右边区间保留原编号Am，左边区间为新增编号A_n+1。由于对每个n都有2种选择。而可能的编号规定集合的势是不可数无穷(证明略，见《0322》和《0335》中的-3.2，3.3)。

由于不同的编号规定形成不同的剩余无穷序列。这就证明了下述定理。

【定理3】「在区间(0,1)中挖去可数无穷多个全部有理数」，最后剩余的部分是由所有可能的编号规定所形成的不可数无穷多个无穷序列。

也就是说，「在区间(0,1)中挖去任意有穷个(n个)有理数」时，「剩余有穷个(n+1个)开区间」。将这些开区间按照不同的码号规则编号。当「在区间(0,1)中挖去可数无穷多个全部有理数」后，並不是如黄先生说的那样，所剩下的只有一个可数无穷序列，而是由于编号规定的不同，最后剩余的部分是不可数无穷多个无穷序列。

当然在「任意有穷时」它们是开区间的不同的有穷序列。因为任何保留编号的开区间，从中一个个切掉有穷个新增编号的开区间后，所剩的还是个开区间。但是由于有理数的稠密性，对任何保留编号的开区间，从中一个个切掉无穷个新增编号的开区间后，所剩的就不是个开区间了。我们可以证明在下述编号规定下，每个无穷序列的构成中或者全是空集，或者只有一个是单独的无理数而其它全是空集。

【定义1(编号规定α)】设α是任一无理数。区间(0,1)中全体有理数可排成一无穷序列: y1,y2,y3,...,yn,......。从区间(0,1)中逐个按此序列顺序挖去有理数。并逐次用自然数为所剩余的开区间编号:A1,A2,A3,...,An,......。如果存在k，使得对任何n>k，是严格按照下述规定进行编号，则称此编号的无穷序列为是按「编号规定α」进行编号的无穷序列。

这个规定是这样的。当要挖去的有理数yn落入区间Am中时，以yn为界点，将Am分成两个开区间，令包含有α的区间保留原编号Am，令不含有α的区间为新增编号A_n+1。如果α不在Am中，则令左边区间为保留编号Am，而右边区间为新增编号A_n+1。

【定理4】假定「在区间(0,1)中挖去可数无穷多个全部有理数」，如果最后剩余的不可数无穷多个无穷序列中，某个无穷序列是按「编号规定α」进行编号的，而且α∈(0,1)，则此无穷序列的构成中只有一个是单独的无理数α，而其它全是空集。如果α∉(0,1)，则此按「编号规定α」进行编号的无穷序列的构成，全是空集。

【证明】1)，先证如果无穷序列是按「编号规定α」进行编号的，而且α∈(0,1)，则此无穷序列的构成中只有一个是单独的无理数α。因为无理数α∈(0,1)，当挖去k个有理数后，在剩余的k+1个开区间中肯定有一个区间包连含α，按照「编号规定α」的规定，此包含α的区间始终都属保留的编号区间，因而α不会从中切掉，直到最后它仍属于此无穷序列带有此编号的集合之中。由于稠密性的缘故，比α大的和小的有理数连同无理数都被从此保留编号的区间中切掉，所以此区间最后变成仅由一个无理数α组成的集合。至于序列中那些不含有α的其它编号的区间，按照「编号规定α」的规定，只是左边的保留编号，从而对区间中的所有的无理数，区间都存在有比它小的无穷多个有理数，在后来挖走这些有理数时:，连同比它大的无理数全部一个个地被切掉，这个不含有α的区间最后变成了空集。因而证明了此无穷序列的构成中只有一个是单独的无理数α。其它全是空集。

2)，下面证明如果α∉(0,1)，则此按「编号规定α」进行编号的无穷序列的构成，全是空集。可以用反证法，假定最后此无穷序列中有一编号为Am的集合非空，含有无理数β。我们考查在有穷时，例如在挖掉yn(n＞k)时的情况。显然此时β∈Am。但是Am中肯定有小于β的无穷多个有理数，在以后挖去其中任何一个有理数时，由于按编号规定只有左边区间保留编号，因而β不会包含在Am之中，这同反证法假定β∈Am相矛盾，从而命题得证。证毕。

显然对区间中任何无理数α∈(0,1)，按「序编号规定α」进行编号的无穷序列的构成中，只有一个是单独的无理数α，而其它全是空集。于是这无穷序列的并集就是单独的无理数α，由于所有的无理数有无穷多个。根据定理3，4即可证明下述最后的结论。

【定理5(最后结论)】「在区间(0,1)中挖去可数无穷多个全部有理数」，最后剩余的部分是不可数无穷多个全部区间中的无理数。

(全文完)

返转到

zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录