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Zmn-0301 李振华:元素密度,集合的加减乘除幂

已有 263 次阅读 2020-8-31 20:22 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0301 李振华:元素密度,集合的加减乘除幂

【编者按。下面是李振华先生发来的短文。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

元素密度,集合的加减乘除幂

李振华

在这里,在这一系列中,我会带你进入一个你未曾见过的集合论世界。通过引入元素密度的概念,研究集合的加减乘除幂运算,把集合当做数来处理,集合的运算和数的运算本质上并无区别,数的运算法则可以推广到集合,数是集合的特例。这里将采用这样一种风格:没有严格的定义,而是给出具体的例子,通过具体的例子来理解集合的运算。

元素密度和集合的加减数乘

一、集合的加法

{1,2}+{3,4}={1,2,3,4}

{1,2}+{2,3}={1,2,2,3}={1,2_2,3}

{1,2}+{1,2}=2*{1,2}={1,1,2,2}={1_2,2_2}

{a_x}+{a_y}={a_(x+y)}

允许元素在集合中出现的次数不等于1。元素出现的次数也叫元素密度,a_x表示元素a的密度为x,若x=1简记为a。

加法和基数的联系:|A|+|B|=|A+B|

二、集合的减法

减法是加法的逆运算。

{1,2,3}-{1}={2,3}

{1,2}-{1,2}={}={1_0,2_0}

{1,2}-{1,2,3,4}=-{3,4}={3_-1,4_-1}

{1,2,3}-{3,4,5}={1,2}-{4,5}={1,2,4_-1,5_-1}

{a_x}-{a_y}={a_(x-y)}

一个集合减去包含它比它大的集合,得到的是负集合,负集合中每个元素的密度都是负数,负集合的基数是负数。密度为0的元素称为空元素,空元素是任何集合的元素。

|A|-|B|=|A-B|

三、集合和数相乘

3*{1,2,3}={1,1,1,2,2,2,3,3,3}={1_3,2_3,3_3}

-2*{1,2,3}={1_-2,2_-2,3_-2}=-{1_2,2_2,3_2}

0.5*{1,2,3}={1_0.5,2_0.5,3_0.5}

2*{1_0.5,2_0.5,3_0.5}={1,2,3}

y*{a_x}={a_(x*y)}

c*|A|=|c*A|

集合的基数定义为所有元素的密度之和。这个定义和现有体系是不同的,在这里,无法用一一对应来定义集合的基数。基数的观念经过推广之后,基数可以等于任意实数。元素密度为非整数的几何实例解释:亚里士多德轮子悖论中,小圆滚动的轨迹。若区间[a,b]中点x的密度为f(x),则区间[a,b]的长度为f(x)在区间[a,b]上的积分。负的连续统具有负的长度。

集合的乘除和数的集合定义

在上一次的讨论中,我们知道了数和集合相乘的含义,在这一次,我们将进一步讨论两个集合相乘的含义。

四、集合的乘法

{a,b}*{c,d}={a+c,a+d,b+c,b+d}

{a,b,c}*{d,e}={a+d,a+e,b+d,b+e,c+d,c+e}

{a_x,b_y}*{c_z,d_t}={(a+c)_xz,(a+d)_xt,(b+c)_yz,(b+d)_yt}

{{a},{b}}*{{c},{d}}={{a,c},{a,d},{b,c},{b,d}}

{{a},{b}}^2={{a_2},{a,b}_2,{b_2}}

|A|*|B|=|A*B|

五、数的集合表达

为什么0={}?

若x是0的集合表达,那么应满足A+x=A A*x=x。显然{}满足这个要求。

为什么1={0}?

若x是1的集合表达,那么应满足A*x=A,显然{0}满足这个要求。

这里通过等式推导出0={},1={0}。这和现有体系是一样的。对于其它的数,这里的定义和现有体系不同。

2=1+1={0}+{0}={0,0}={0_2}

3=2+1={0,0}+{0}={0,0,0}={0_3}

n={0_n}。x={0_x}。若集合A是数,则有A=|A|

现有体系中自然数的集合定义,和集合的加法不相容。例如:1+2={0}+{0,1}={0,0,1} 3={0,1,2},1+2不等于3,这是矛盾的。按这里的标准,除了0和1之外,其它自然数的集合定义都是错误的。

六、集合除法

除法是乘法的逆运算。

A/B=X,A=B*X

{2,4,6,...}/{1}={1,3,5,...}

{1,2,3,...,}/{2,4,6,...}={0,-1}

[0,无限)/[0,1)={0,1,2,3,...}

|A|/|B|=|A/B|

七、集合的幂运算

有了上次的知识准备,这一次将探讨集合的幂运算,即给定集合A,B,求A^B。这是最难理解的运算。只讨论给定集合中元素密度都是1这种简单情况。

{0,1}^A=P(A)

{0,0}^A=2^A=2^|A|

{1,1}^A={A_2^|A|}

{0,1,2}^{a,b,c}={0,{a},{a_2}}*{0,{b},{b_2}}*{0,{c},{c_2}}

{{c},{d}}^{a,b}={{a+c,b+c},{a+c,b+d},{a+d,b+c},{a+d,b+d}}

{{c,d},{e,f}}^{a,b}={{a+c,a+d},{a+e,a+f}}*{{b+c,b+d},{b+e,b+f}}

{{c},{d},{e},{f}}^{a,b}={{a+c},{a+d},{a+e},{a+f}}*{{b+c},{b+d},{b+e},{b+f}}

|A|^|B|=|A^B|

由于引入了元素密度的观念,元素与集合,集合之间的关系需要推广,这是次要内容,这里不讲。

 

 

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