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Zmn-0301 李振华：元素密度，集合的加减乘除幂
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Zmn-0301 李振华：元素密度，集合的加减乘除幂
【编者按。下面是李振华先生发来的短文。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
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元素密度，集合的加减乘除幂
李振华
在这里，在这一系列中，我会带你进入一个你未曾见过的集合论世界。通过引入元素密度的概念，研究集合的加减乘除幂运算，把集合当做数来处理，集合的运算和数的运算本质上并无区别，数的运算法则可以推广到集合，数是集合的特例。这里将采用这样一种风格：没有严格的定义，而是给出具体的例子，通过具体的例子来理解集合的运算。
元素密度和集合的加减数乘
一、集合的加法
{1,2}+{3,4}={1,2,3,4}
{1,2}+{2,3}={1,2,2,3}={1,2_2,3}
{1,2}+{1,2}=2*{1,2}={1,1,2,2}={1_2,2_2}
{a_x}+{a_y}={a_(x+y)}
允许元素在集合中出现的次数不等于1。元素出现的次数也叫元素密度，a_x表示元素a的密度为x，若x=1简记为a。
加法和基数的联系：|A|+|B|=|A+B|
二、集合的减法
减法是加法的逆运算。
{1,2,3}-{1}={2,3}
{1,2}-{1,2}={}={1_0,2_0}
{1,2}-{1,2,3,4}=-{3,4}={3_-1,4_-1}
{1,2,3}-{3,4,5}={1,2}-{4,5}={1,2,4_-1,5_-1}
{a_x}-{a_y}={a_(x-y)}
一个集合减去包含它比它大的集合，得到的是负集合，负集合中每个元素的密度都是负数，负集合的基数是负数。密度为0的元素称为空元素，空元素是任何集合的元素。
|A|-|B|=|A-B|
三、集合和数相乘
3*{1,2,3}={1,1,1,2,2,2,3,3,3}={1_3,2_3,3_3}
-2*{1,2,3}={1_-2,2_-2,3_-2}=-{1_2,2_2,3_2}
0.5*{1,2,3}={1_0.5,2_0.5,3_0.5}
2*{1_0.5,2_0.5,3_0.5}={1,2,3}
y*{a_x}={a_(x*y)}
c*|A|=|c*A|
集合的基数定义为所有元素的密度之和。这个定义和现有体系是不同的，在这里，无法用一一对应来定义集合的基数。基数的观念经过推广之后，基数可以等于任意实数。元素密度为非整数的几何实例解释：亚里士多德轮子悖论中,小圆滚动的轨迹。若区间[a,b]中点x的密度为f(x)，则区间[a,b]的长度为f(x)在区间[a,b]上的积分。负的连续统具有负的长度。
集合的乘除和数的集合定义
在上一次的讨论中，我们知道了数和集合相乘的含义，在这一次，我们将进一步讨论两个集合相乘的含义。
四、集合的乘法
{a,b}*{c,d}={a+c,a+d,b+c,b+d}
{a,b,c}*{d,e}={a+d,a+e,b+d,b+e,c+d,c+e}
{a_x,b_y}*{c_z,d_t}={(a+c)_xz,(a+d)_xt,(b+c)_yz,(b+d)_yt}
{{a},{b}}*{{c},{d}}={{a,c},{a,d},{b,c},{b,d}}
{{a},{b}}^2={{a_2},{a,b}_2,{b_2}}
|A|*|B|=|A*B|
五、数的集合表达
为什么0={}？
若x是0的集合表达，那么应满足A+x=A A*x=x。显然{}满足这个要求。
为什么1={0}?
若x是1的集合表达，那么应满足A*x=A，显然{0}满足这个要求。
这里通过等式推导出0={}，1={0}。这和现有体系是一样的。对于其它的数，这里的定义和现有体系不同。
2=1+1={0}+{0}={0,0}={0_2}
3=2+1={0,0}+{0}={0,0,0}={0_3}
n={0_n}。x={0_x}。若集合A是数，则有A=|A|
现有体系中自然数的集合定义，和集合的加法不相容。例如：1+2={0}+{0,1}={0,0,1} 3={0,1,2},1+2不等于3,这是矛盾的。按这里的标准，除了0和1之外，其它自然数的集合定义都是错误的。
六、集合除法
除法是乘法的逆运算。
A/B=X，A=B*X
{2,4,6,...}/{1}={1,3,5,...}
{1,2,3,...,}/{2,4,6,...}={0,-1}
[0,无限)/[0,1)={0,1,2,3,...}
|A|/|B|=|A/B|
七、集合的幂运算
有了上次的知识准备，这一次将探讨集合的幂运算，即给定集合A,B，求A^B。这是最难理解的运算。只讨论给定集合中元素密度都是1这种简单情况。
{0,1}^A=P(A)
{0,0}^A=2^A=2^|A|
{1,1}^A={A_2^|A|}
{0,1,2}^{a,b,c}={0,{a},{a_2}}*{0,{b},{b_2}}*{0,{c},{c_2}}
{{c},{d}}^{a,b}={{a+c,b+c},{a+c,b+d},{a+d,b+c},{a+d,b+d}}
{{c,d},{e,f}}^{a,b}={{a+c,a+d},{a+e,a+f}}*{{b+c,b+d},{b+e,b+f}}
{{c},{d},{e},{f}}^{a,b}={{a+c},{a+d},{a+e},{a+f}}*{{b+c},{b+d},{b+e},{b+f}}
|A|^|B|=|A^B|
由于引入了元素密度的观念，元素与集合，集合之间的关系需要推广，这是次要内容，这里不讲。
返转到：
zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
科学网《数学啄木鸟专栏》Zmn-000 到 Zmn-0300 期目录： 2020-8-31 20:36
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