博文
Zmn-0287 薛问天：希望师教民先生能继续纠正错误达成共识。
||
Zmn-0287 薛问天：希望师教民先生能继续纠正错误达成共识。
【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0284》师教民先生的文章评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
希望师教民先生能继续
纠正错误达成共识。
薛问天
。
(一)，评《0284》1)①，共识
师先生说【薛问天先生承认了由函数 y=f (x)和函数 x=g (y)组成的复合函数为y=h(y)=f[g(y)]=f(x)[x=g (y)]，这是薛问天先生与我讨论微积分 2 年多来，第 1 次、也是唯一一次达成的共识、得出的统一结论． 】
是的，我承认这是共识。但绝不是第一次，也不是唯一一次共识。师先生己经默认了多次共识。以上这句话包括的共识有两点。
第一点。这里共有三个函数，编号为1的函数y=f(x)，编号为2的函数x=g(y)，以及由函数f和函数g组成的编号为3的复合函数y=h(y)。
第二点。函数f的标记是y=f(x)，函数g的标记是x=g(y)，复合函数的标记是 y=h(y)=f[g(y)]=f(x)[x=g (y)]。
我希望师先生能继续纠正错误达成共识，并且在以后的讨论中坚持这些共识。。
其实还应有第4个函数，只不过在我们过去的讨论中未曾涉及。既然师先生提到了它，我们有必要把它说清楚。前面说的是以y为自变量和因变量的复合函数y=h(y)。其实另外还有一个，以x为自变量和因变量的，映射是g·f的复合函数x=k(x)。我们称其为编号为4的函数，它的标记可以类同地写成: x=k(x)=g[f(x)]=g(y)[y=f(x)]。关于这个函:数以及它的微分和导数，我们在后面再专门讨论。
(二)，评《0284》1)②，名称的错误
师先生说:【因为复合函数y=f [g (y)]，y=f (x)[x=g(y)]的函数关系为 f，所以 y=f [g (y)]，y=f (x)[x=g (y)]都叫做复合函数 f 或 f 复合函数．】
这是师先生的严重错误，要知道，在我们的【共识】中，y=f [g (y)]，y=f (x)[x=g (y)]这都是【复合函数】的标记，怎么能说复合函数【的函数关系为 f】呢？f只是整个标记的第一个字母，怎么能把标记的第一个字母就错误的以为是【函数关系】。函数关系就是映射关系，映射是f·g而不是f。这是师先生要牢记的，不能再犯如此纸级的错误了。其实我早就告诉师先生了，我说标记是个整体的符号，就是为了让你不要以偏盖全，犯这种纸级错误！
(三)，评《0284》1)③，这就不是【证明】，是命名的错误
师先生说【......，因为 h 复合函数 y=y 和 f 复合函数 y=y 的因变量、自变量及函数关系都相同，所以复合函数 f 和 h 是同一个函数. 我的上述证明是对是错？请薛问天先生回答！】
师先生根据复合函数的标记的第一个字是f，就错误地以为复合函数【的函数关系为 f】，然后就把复合函数h【叫做复合函数 f 或 f 复合函数】了。
把复合函数h重新【叫做复合函数 f 或 f 复合函数】，这是【复合函数 f 和 h 是同一个函数】的【证明】吗？师先生怎么连【命名】和【证明】都分不清？既然是命名，给同一对象另起了另一个名字，还需要证明它们是同一个对象吗？这不是【证明】，是【命名】。
由于命名的根据有错误，所以说这是命名的错误。其实在师先生的论述中，就是矛盾的。师先生一方面说他的【复合函数f】同复合函数h【因变量、自变量及函数关系都相同，】那么它的函数关系就是h，即f·g。而另一方面又说它【的函数关系为 f，】。这就要问师先生，你究意认为复合函数【的函数关系为 f，】还是函数关系为h，即f·g？这直接关系你的命名是对还是错！
当然结论很明确，师先生把复合函数【叫做复合函数 f 或 f 复合函数】是犯了命名的错误。
(四)，评《0284》2)的三个错误。
师教民先生在2)①②③中，根据复合函数的不同的标记，说了三句话。他说:【复合函数 h即y=h (y)(在②和③中分别用的是复合函数f即y=f [g (y)]，和复合函数f即y=f (x)[x=g(y)])，因变量为y，自变为y，中间变量为x，ⅹ全隐起来(在②和③中为半隐起来和全显出来)。复合函数y=h(y)(在②和③中分别为y=f[g(y)]和y=f (x)[x=g(y)] )或它的因变量 y 对于复合函数 y=h (y)(在②和③中分别为y=f[g(y)]和y=f x)[x=g(y)] )的自变量 y 的导数为 y′=h′(y) (在②和③中是y′=f′(y))，对于中间变量 x 的导数为 f ′(x)；中间变量 x 对于复合函数 y=h (y)(在②和③中分别为y=f[g(y)]和y=f(x)[x=g(y)] )的自变量 y 的导数为 g′(y)．所以 y′=h′(y)=f ′(x)g′(y)．(在②和③中是y′=f′(y)=f ′(x)g′(y) ，)】
这段话有三个错误。 第一个错误。不同标记表示的复合函数的属性是相同的，不应有三套表述。 标记不同但所标记的是同一个函数-复合函数，因而这同一个函数的各个属性，如导数等，应该是完全相同的，不能按不同的标记列出不同的属性来。应该用相同的一段话来列出，不能列出三句不同的表述来。
我们知道，一个数学概念，表明它的确切含义和本质属性的是它的定义，而不是它的名称和标记，名称和标记只是一个指称的符号，不能要求它表明数学对象的的所有本质属性。了解复合函数的本质属性不能靠标记。尽管复合函数的标记不同，但复合函数，即它的映射和定义域则是完全相同的，例如y=h(y)，标记中没有表明变量x，但是根据它是由f和g构成的复合函数的定义，就可知x是这个复合函数的中间变量。
第二个错误。对复合函数的错误命名。 前面（二）评1)②中己经指出，师先生跟据错误的判断，认为复合函数【的函数关系为 f】，所以把复合函数错误地【叫做复合函数 f 或 f 复合函数】。师先生在②和③的这段话中，把复合函数h称为【复合函数f】，把复合函数的导数 y′=h′(y) 错误地写为y′=f′(y)，这都是严重的命各错误，违背了逻辑的同一律。
第三个错误。导数是函数的导数，不是变量的导数。
針对师先生的这段话，不能不给师先生补补课了。必须要纠正师先生对导数这个基本概念的错误认识。要明确导数是函数的导数，而不是变量对变量的导数。我们请师先生重温一下导数的确切定义。下面是同济教科书的导数定义(p75):
可见导数是函数的导数，而不是变量对变量的导数。说到导数必须说清它是哪个函数的导数。例如f'(x)是函数y=f(x)的导数，把它说成是复合函数的因变量对中间变量x的导数是不对的，g'(y)是函数x=g(y)的导数，把它说成是复合函数的中间变量x对复合函数的自变量y的导数也是错误的。因而上述师先生的这段话应改写为: 〖复合函数 y=h (y)的导数为 y′=h′(y)，函数y=f(x)的导数为 f ′(x)，函数x=g(y)的导数为 g′(y)．所以 根据复合函数导数定理，有y′=h′(y)=f ′(x)g′(y)〗。
在这里也请师先生温习一下复合函数导数定理。这是同济教科书的p89原文。
(五)，回答【不知 dx③是何物】的问题。
由于过去未曾涉及另一个以y为中间变量的复合函数x=k(x)，即第四个函数的问题。现在把它完整地陈述如下。
这里共有四个函数，它们的函数，微分和导数分别是:
编号1，y=f(x)，dy①=f'(x)Δx，dx①=Δx，dy①/dx①=f'(x)。......①
编号2，x=g(y)，dx②=g'(y)Δy，dy②=Δy，dx②/dy②=g'(y)。......②
编号3，y=h(y)=f[g(y)]，dy③=h'(y)Δy，dy②=Δy，dy③/dy②=h'(x)。......③
编号4，x=k(x)=g[f(x)]，dx④=k'(x)Δx，dx①=Δx，dx④/dx①=k'(x)。......④
在③式中列出了第3个函数，即以x为中间变量的复合函数y=h(y)=f[g(y)]，它的因变量的微分是dy③=h'(y)Δy，它的自变量的微分是dy②=Δy，复合函数y=h(y)的导数是dy③/dy②=h'(y)。根括复合函数定理，h'(y)=f'(x) g'(y)。 由于h'(y) =1，可证dy③=dy②。
在④式中列出了第四个函数，即以y为中间变量的第二个复合函数x=k(x)=g[f(x)]，它的因变量的微分是dx④=k'(x)Δx，它的自变量的微分是dx①=Δx，复合函数x=k(x)的导数是dx④/dx①=k'(x)。根括复合函数定理，k'(x)=g'(y)f'(x)。由于k'(x) =1，可证dx④=dx①。
师先生在《0284》中，把dx③定义为第二个复合函数k的因变量的微分，我记得这是第一次，以前的文章中，从未做过如此的定义。师先生请你说出來，你在哪篇文章中做过如此的定义。
我还记得师先生在《0277》中说过这样一段话：【......y=f (x)和 y=h (y)是同一个函数，......设这个 f 函数 y=f (x)中的 x 的微分为 dx③；】也就是说师先生曾【独创性地】把dx.③定义为复合函数的中间变量x的微分的。我之所以说这是师先生的独创，是因为在二代微积分中只有函数的因变量的微分和自变量的微分这两个微分的定义，从来没听说过有【函数的中间变量的微分】的定义。【不知 dx③是何物】很正常。既然师先生清楚知道【是何物】，就请说清楚，【函数的中间变量的微分】的定义是什么？它是等于Δx，还是Δx的线性主部。还是这次在《0284》中说的dx③是【复合函数k的因变量的微分】。到现在我还得要问: 【不知 dx③是何物】？？
另外再补充一句，师先生把复合函数k的自变量的微分说成是dx②，也是错识的。dx②是函数g的因变量的微分。自变量的微分是dx①=Δx，而不是dx②。
(全文完)
返转到：
zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
科学网《数学啄木鸟专栏》Zmn-000 到 Zmn-0250 期目录 2020-6-28 09:19
https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1246801.html
上一篇：Zmn-0286 欧阳耿：对李鸿仪先生2020-8-15 的回复
下一篇：Zmn-0288 李鸿仪：对欧阳先生在Zmn-0286“对李鸿仪先生2020-8 -15 的回复”所提问题的回答。
