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Zmn-0280 薛问天：复合函数不是函数f，评师教民先生的概念混淆
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Zmn-0280 薛问天：复合函数不是函数f，评师教民先生的概念混淆
【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0277》师教民先生的文章评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
复合函数不是函数f
-评师教民先生的概念混淆
薛问天
。
现对师教民先生的《0277》的①-⑧，分别评论如下。
（一）， 为什么师教民先生拼命要说复合函数h就是构成它的一个函数f?
师先生在文中①，引述了我证明的一个论断〖证明了复合函数 y=h (y)=f [g (y)]的因变量 y 的微分 dy③和自变量 y 的微分 dy②相等，即 dy③=dy②．〗
这段引述没有问题，有问题的是后面加了这么一句【同理有 dx③=dx②．】不知dx:③是何物，没有这个微分的定义。
师先生在文中②，提出了我承认复合函数的标记y=h (y)=f [g (y)]=f (x)[x=g (y)] 。。但是没有承认 h 同【师氏函数f】是同一个函数。
其实我所质疑的是师先生的【师氏函数f】到底是什么。如果它同复合函数是同一个函数，为什么要称其为【函数f】，总要强调它是【函数f】呢？
这本来是一个非常简单的明显的事实。由两个函数y=f(x)和x=g(y)构成一个复合函数y=h(y)。这个复合函数h，「它是不同于构成它的两个函数的任何一个函数 f 和 g 的第三个函数」。可师先生总要说【这句话是错误的．】(见文中⑧)。
师先生为他的这个【师氏函数f】起了很多名字， 【复合函数的f】，【另一个f】， 【简称为f函数】，这次又起了个各字叫【自变量x等于g (y)的函数y=f (x)】(见文中③)。
甚至对于复合函数的表示y=h(y)=f[g(x)]=f(x)[x=g(y)]，明明是复合函数的标记，却要说它是【3个f函数】或【3种f函数】(见文中⑧)。他明明知道而且反复说他的【师氏函数f】同复合函数h是同一个函数，同函数f不是一个函数，可为什么又要拚命用起名子等各种的方法说它是【函数f】呢？既然师先生也己承认【师氏函数f】的映射是复合映射f·g，不是映射f，因而它是函数h不是函数f，为什么要强调它是某种【函数f】呢？
原来他是故意把水搅混，故意混洧复合函数h同构成复合函数的函数f的区别，来为他的错误狡辩。故意混淆复合函数h和函数f的微分和导数。请看下面的分析。
(二)，复合函数的微分和导数不容篡改。
师先生文中的③是段奇文，引述如下来仔细分析。
(1)，把复合函数y=h(y)说成是【自变量x等于g (y)的函数y=f (x)】。
请问师先生，你这个复合函数的自变量是什么？是x还是y？显然复合函数的自变量是y而不是x，x只是复合函数的中间变量。把复合函数说成是【师氏函数f】最容易混淆的就是函数的自变量。复合函数的自变量是y而不是x，但是函数f的自变量是x而不是y。
(2)，【师氏函数f】偷换成【这个 f 函数 y=f (x)】。
师先生请你注意，你的【师氏函数f】是同复合函数相同的函数，并不是【 f 函数 y=f (x)】， y=f(x)[x=g(y)] 是个整体符号，代表的是复合函数，它同y=f(x)不是同一个函数。不要在这里偷换概念。
【这个 f 函数 y=f (x)的 微分也为 dy③】应为【复合函数 y=f (x)[x=g(y)]的 微分也为 dy③。】
(3)，在微分定义中有【中间变量的微分】吗？
师先生所说的【设这个 f 函数 y=f (x)中的 x 的微分为 dx③；】，即指:【设复合函数 y=f (x)[ⅹ=g(y)]中的 x 的微分为 dx③；】
师先生的这句话充分暴露了我在(1)中所说的弊端:「把复合函数说成是【师氏函数f】最容易混淆的就是函数的自变量。复合函数的自变量是y而不是x，但是函数f的自变量是x而不是y。」
请问师先生，对该复合函数来说，x既不是函数的自变量又不是因变量。何来的微分dx③？x是复合函数的中间变量。在第二代微积分的微分定义中只有函数自变量微分和函数因变量微分的定义。根本就没有个函数中间变量的微分的定义。这是师先生别出心裁的【创造发明】。只可惜我们讨论的是第二代微积分有无矛盾，而不是评论师先生的【创造发明】。 所以说复合函数变量x的微分dx③是师先生虚构的微分，并不存在。复合函数的微分只有两个，它的因变量的微分是dy③，它的自变量的微分是dy②。
(4)，复合函数的导数是什么。
上面说过，复合函数的因变量的微分是dy③，它的自变量的微分是dy②。所以复合函数的导数是: dy③/dy②=h'(y)=f'(x)g'(y)，即dy③=f'(x)g'(y)dy②。
师先生把复合函数的导数写成f'(x)=dy③/dx③是错误的，根本就没有dx③这个微分。另一方面，我们写出h'(y)=f'(x)g'(y)，根据的是复合函数导数定理。在此定理中的f'(x)是函数y=f(x)的导数，f'(x)=dy①/dx①，这同【师氏函数f】无关。师先生把水搅混，也把他自己搞糊涂了。
既然师先生把f'(x)=dy①/dx①错写成f'(x)=dy③/dx③，所进行的推论自然无效，不能成立。
(三)，师文中的④，在函数y=f (x)后标注[ x与g (y)无关]完全没有必要。
函数y=f(x)本身就己说明该函数的自变量是x，x既然是函数的「自变量」，当然与其它函数的变量无关。所以在其后标注[ x 与 g (y)无关]，根本就是多余和没有必要的多此一举。
至于复合函数，把它写成y=f(x)[x=g(y)]，就说明它己不是「自变量是x的函数y=f(x)」了，它是自变量为y的复合函数。而这正是师先生故意混淆的地方。因而只要写出f(x)[x=g(y)]，它≠f(x)，就己非常清楚。
师先生在文的④中推出的结论 f ′(x)=dy①/dx①，和dx①dy①≠dy①dx②，dx①≠dx②．dy①≠dy②．显然都是正确的，因为函数y=f(x)和x=g(y)本来就是独立的两个不同的函数，自然变量【互不相干】。如果相干，就己不是原来的函数f了，而是由它们构成的复合函数，己是不同于f和g的第三个函数了。函数的自变量及映射都都不同了。
(四)，评师文的⑤⑥，dx①≠dx②和 dy①≠dy②是正确的。
师文中的⑤叙述了我的一个推论，即 dx①≠dx②和 dy①≠dy②。其实这个论断是微分学中的一个基本的原理。dx①是函数f的自变量的微分dx①=Δx，而dx②是函数g的因变量的微分，它是Δx的线性主部。对于一般非.线牲函数来说，dx①≠dx②。同理也有dy①≠dy②。
在师先生的文⑥中给出了一个【证明】，想证明这个论断是错误的。我们来具体分析他证明的错误。
师先生说【本来，从上述③中的内容可′知：组成正反函数或者特殊的复合函数的 y=f (x)和 x=g (y)中的=f (x)[x=g (y)]=h (y)的微分已经用 dy③表示了，但是薛问天先生在上述⑤中的推导里非要改成用 dy①表示不可．】
我真的搞不清楚，凭师教授的智商，是真的分辨不清这两者的区别，还是故意在这里搅混水。这里讲的是复合函数y=f (x)[x=g (y)]=h (y)，它是复合函数，它的因变量的微分是dy③。⑤中的推导里的是函数y=f(x)，它不是复合函数，是独立的单个函数，它的因变量的微分是dy①，当然不是dy③。
要知道f(x)[x=g(y)]≠f(x)，一旦把复合函数写成y=f(x)[x=g(y)]，就说明它己不是「自变量是x的函数y=f(x)」了，它是自变量为y的复合函数。复合函数同单独的函数f不是相同的函数，它们的因变量的微分自然不同。这在师文④中也己确认，为何在此又混淆起来了？
师先生文中说【薛问天先生用 y=h (y)=y 是恒等函数（自然更是线性函数）证明了复合函数 y=h (y)的因变量的微分 dy③和自变量的微分 dy②相等．因为组成正反函数或者特殊的复合函数的 y=f (x)和 x=g (y)中的 y=f (x)[x=g (y)]=h (y)=y=y 是恒等函数（自然更是线性函数），所以它的因变量的微分 dy①和自变量的微分 dy②相等......。】 请注意这句话【所以它的因变量的微分 dy①】，明明复合函数因变量的微分是dy③，而师先生在论证中却硬要把它写成dy①，要知道dy①是函数y=f(x)的微分。这又一次地暴露了师先生把复合函数同函数y=f(x)混为一谈了。在这样混乱的概念之下进行的所谓【证明】，自然不能成立。
(五)，师文中的⑦，再一次严重地混淆了复合函数同函数f。
师先生在文的⑦中说:【从薛问天先生说的「f ′(x)=dy①/dx①」可知：复合函数 f：y=f (x)[x=g (y)]的微分为 dy①，自变量的微分为 dx①，......】 要知道我所写的复合函数的微分式dy③=f ′(x) g′ (y)Δy。是根据复合函数的导数定理，h'(y)=f ′(x) g′ (y)，而得出的。其中的f ′(x) =dy①/dx①就是函数y=f(ⅹ)的导数。
请问师先生用的这是什么逻辑，根据什么由此就可知【复合函数 f：y=f (x)[x=g (y)]的微分为 dy①，自变量的微分为 dx①。】而且师先生在这里毫不掩饰地公然打出【复合函数f】的旗号，声称复合函数就是以x为自变量的函数y=f(x)。声称复合函数的微分就是函数y=f(x)的微分，因变量的微分为 dy①，自变量的微分为 dx①。
师教民先生，你不觉得你的论点有多荒谬吗？你不是反复说你的【师氏函数f】同以y为自变量的复合函数y=h(y)是同一个函数吗，怎么复合函数竟然冒出一个以x为自变量的微分dx①来了，岂不是咄咄怪事？竟然堂而皇之地公开让【师氏函数f】同以x为自变量的函数y=f(x)是同一个函数了。
(六)，评师文的⑧，结论。
关于一个数学对象的的「名称」，「标记」和它的「本质含义」之间的关系。我不同意师先生的观点。师先生认为【能够反映出本质的记号都是正确的，更是妥当的。】
我不这样认为。一个对象的「名称」和「标记」，只是一个符号，一般无所谓正确和错误的问题，除非该名称或标记与已有的名称和标记有严重的冲突，才自然认为是错误的。如果是容易引起混淆，产生误解，还谈不上错误，那么大家就会公认是不妥当的。
另外，要求一个记号【反映本质】，这是不可能的。反映一个对象的本质属性的是它的定义，而不是名称和标记。名称和标记只起一个代表符号的作用。所以我们理解对象的确切的含义靠的是对象的定义而不是名称和标记。
例如我们理解「复合函数」靠的是复合函数的定义。而不是它的名称和标记，不管复合函数用什么标记都不会改变它的本质属性。本质属性是由定义决定的，而不是由各称和标记所反映的 。师先生总是在函数的名称和标记上做各种文章，其实都是徒劳的，只会引起各种混乱。
我认为师先生把复合函数用【y=f(x)，x=g(y)】表示不妥当，是因为这样的复合函数的表示容易同表示的是两个函数相混淆，产生歧义。有那么多不产生歧义的复合函数的妥当表示方法，为什么一定要这样表示呢？在同济的书中并没有明确地用这个来表示复合函数，而且在该书的再版中就更加清晰了。把复合函数同构成它的两个函数分得一清二楚。
至于师先生所说的【复合函数的f】，既然师先生承认它同复合函数是同一个函数，承认它同以x为自变量的函数y=f(x)不是同一个函数，就如我在《0268》中所说，〖而把它叫作 【复合函数的f】是错误的，应该把函数名称中的【的f】去掉，把【 f(x)[x=g(y)]中的f(x)】的 【中的f(x)】去掉，当然也更不能称它是【另一个f】，甚至错误地【简称为f函数】。也就是说，……必须公开承认这些命名的错误和混淆视听偷换概念的错误。在命题 【 h 和 f 是同一个函数】 中的f己被【复合函数】偷换概念。函数f被偷换成【复合函数】了。〗 师教民先生不仅没有承认和改正这些错误，反而在这次的《0277》中变本加厉地毫无掩饰地公开称复合函数为函数f，如称3个f为复合函数，还明确地白纸黑字的写出【复合函数f:...】。这一切都是完全错误的。
师先生在⑧中根据我说的一句话【我只承认 f (x)[x=g (y)]作为一个完整的记号,表示的是「复合函数」，当然在它与 h 之间可以画等号．】 然后说【薛问天先生在上述这段话中说的【在它与 h 之间可以画等号】说明他承认了 h (y)=f (x) [x=g (y)]，即承认了复合函数 h (y)是【构成它的两个函数的任何一个函数 f 】{其中的函数 f 就是函数 f (x)[其中 x=g (y)]}．这样，薛问天先生就自己否决了自己说的【它是不同于构成它的两个函数的任何一个 函数 f 和 g 的第三个函数】，这说明，【它是不同于构成它的两个函数的任何一个函数 f 和 g 的第三个函数】这句话是错误的．】
大家看出师先生这段话的错误了吗？我说的是f (x)[x=g (y)]作为一个完整的记号,表示的是「复合函数」，说得清清楚楚明明白白，表示的是复合函数。可是到了师先生的嘴里，就变成【说明他承认了 h (y)=f (x) [x=g (y)]，即承认了复合函数 h (y)是构成它的两个函数的任何一个函数 f 】。我什么时候承认了复合函数是函数f了。
仔细琢磨，师先生之所以这么说，还是老问题，他口头上不得不承认f(x)[x=g(y)]是复合函数，但是在他的心目中，它并不是复合函数，而是错误地认为它是函数f。师先生说【如果函数 y=f (x)和 x=g (y)构成了复合函数，那么这个复合函数就一定是构成这个复合函数中的 y=f (x)和 x=g (y)里的任何一个函数 f 或 g．】
所以我必须在这里郑重地告诉师先生，你错了！以y为自变量的复合函数y=h(y)=f(x)[x=g(y)]，它不是构成复合函数之一的，以x为自变量的函数y=f(x)。它们不仅自变量不同，而且作为函数的映射也不同，复合函数h的映射是复合映射: f·g，而函数y=f(x)的映射是f。
它们的微分也不同。复合函数y=h(y)的因变量的微分是dy③=h'(y)Δy=f ′(x) g′ (y)Δy，自变量的微分是dy②=Δy。而函数y=f(x)的因变量的微分是dy①=f'(x)Δx，自变量的微分是dx①=Δx。
自然它们的导数也不同。复合函数y=h(y)的导数是h'(y)=dy③/dy②。而函数y=f(x)的导数是f'(x)=dy①/dx①。
我再一次告师先生【在概念上一定要分清，不容混淆．】，构成复合函数的两个函数 y=f (x)，x=g (y)”，只要是两个函数，它们就是“互不相干的"。因为两个函数各有各的自变量、因变量和映射与定义域。如果两个函数相互相干，那就不是两个函数，而是形成了一个函数，叫复合函数了。这个复合函数与构成它的两个函数中的任何一个都不相同。
请大家注意师先生的用语，师先生把以y=f[g(y)]=f(x)[x=g (y)]等为标记的复合函数，称为【3 个以 f 为标记的复合函数】，这是不符合事实的，标记是个整体，不是【以f为标记】。而是【以方括号内外分别是f和g为标记】，因而所标记的是复合函数，而不是函数f。而把复合函数称为是【f 为标记的复合函数里的函数 y=f (x)】，则更是错上加错了。因为函数y=f(x)有它自有的定义，不容任意篡改和混淆。
(全文完)
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