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Zmn-0232 薛问天：谈数学中的「微分」和「极限」概念-评新华先生的错误观点
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Zmn-0232 薛问天：谈数学中的「微分」和「极限」概念-评新华先生的错误观点
【编者按。下面是薛问天先生发来的论文，评论《zmn-0221，0223，0226》新华先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
谈数学中的「微分」和「极限」概念
-评新华先生的错误观点
薛问天
在新华先生的'《0221》《0223》和《0226》中，我发现他对数学中的「微分」和「极限」概念，有一些错误的理解和观点。现分别评论如下。
(一)，关于微分概念
(1)，微分dy,dx是随着Δx变化而变化的变量，不是【不会改变】的【定值】。
按照微分的定义，函数y=f(x)的因变量的微分dy=f'(x)Δx，自变量的微分dx=Δx，都是Δx的线性函数。 微分dy,dx是随着Δx变化而变化的变量，不是【不会改变】的【定值】。
因而新华先生所有关于 微分dy,dx是 【不会改变】的，是【定值】的观点都是错误的。
例如 新华先生在《0221》中说:【因为函数y=f(x) 和x=g(y)是恒等变形，图像只有一个，在某一确定的点的切线只有一条，斜率只有一个 k=dy/dx，因此在对两个函数微分中，dy、dx不会改变。dx与Δx不同，属性不同，Δx是可变的，dx是确定的，没有Δx，dx也是存在的，不是因为有Δx才有dx ，同样dy =Δy，dy与Δy 不同，属性不同，Δy 是可变的，dy是确定的，没有Δy ，dy也是存在的，不是因为有Δy 才有dy。】
在《0223》中说: 【既然定义Δy ⁄Δx当Δx→0的极限为曲线函数y=f(x)在该点的斜率k=dy/dx，显然，dy、dx不全等于0，而且dy 、dx在确定的点应该是定值，只是dy/dx的比值等于Δy ⁄Δx当Δx→0的极限。而Δx的值是可变的，Δy的值也随着Δx值的变化而变化。因此，我认为dy、dx与Δy、Δx的属性不同。】等都是错误的。
特别在论证中从比值k=dy/dx是定值就断定dy、dx本身是不会改变的定值，这个逻辑本身就是荒谬的。事实上，微分dy,dx 是 Δx的线性函数。是随着Δx变化而变化的变量，但它们的比值却是常数。
(2)，dy可以作为Δy的一种近似，这是dy的一个重要属性和应用，但不是微分的定义。
函数因变量的微分dy定义为函数增量Δy的「线性主部」。即Δy=dy+o(Δx)。这是微分dy的定义。正是根据这个定义，dy才可从作为Δy在一定意义下的「一种近似」。是由直线(切线)上的增量作为曲线(原函数)的增量的近似。注意近似有各种「准确度(误差)」的近似。微分只是其中的一种。近似不是微分dy的定义，而是它的一个重要属性和应用。微分具有此属性和应用并无任何不妥。并不存在新华先生所说的【 造成概念混淆，引起误解。】不妨请新华先生拿出证据来， 具体讲出造成了哪些概念混淆，引起了哪些误解。
(3)，微分的定义没有矛盾，没有问题。
按照微分的定义，函数y=f(x)的因变量的微分定义为dy=f'(x)Δx，自变量的微分定义为dx=Δx。这里没有任何问题和矛盾。凡是说有的矛盾统统都是质疑者的误解。新华先生所认为的【问题】【矛盾】【错误】【不倫不类】完全是莫须有的。
例如新华先生说:【 用dy=f'(x)∆x作为微分的定义，不伦不类，而且与微分公式 dy=f'(x)dx矛盾，必然产生∆x = dx错误。】
函数y=f(x)的因变量的微分定义为dy=f'(x)Δx，自变量的微分定义为dx=Δx。当然可以推出 dy=f'(x)dx。这里有什么矛盾?所有的矛盾都是新华先生的误解。新华先生说【 因为∆x与dx属性不同】。按照定义自变量的微分定义为dx=Δx。是相等的同一个变量怎么还【属性不同】?
新华先生解释说:【 即使是y=x， dy/dx=∆y⁄∆x = 1，也不能认为dy=∆y，∆x=dx，它们只是比值相同，如 5/6=10/12，如果认为 5=10，6=12，那是天大的笑话，不是太幼稚，就是白痴。】
这完全是新华先生的误解，这种情况(对于恒等函数y=x)不仅【比值相同】而且数值相同， dy=∆y，∆x=dx。也就是说是明知5/6=5/6，却认为5≠5，6≠6，才构成 【天大的笑话，不是太幼稚，就是白痴。】
在微分的定义中明确规定「自变量的微分定义为dx=Δx。」这有什么【错误】？不妨请新华先生具体讲讲，你认为【错误】【矛盾】是什么？在哪里？不要抽象地空喊有矛盾，要具体讲矛盾是什么。然后我们才能讨论它否真的是矛盾。
(二)，关于极限概念
(1)，不存在能与【不能直接取得极限】的问题。
新华先生说【 ∆y/∆x是不能直接取得极限的】。数列和函数要么有极限，要么无极限。只要按极限的定义，或通过求极限的法则(定理)求出的极限都是极限，所以并无能与【不能直接取得极限】的问题。新华先生爱用一些么棱两可的语言。什么叫【直接取得极限】？求极限有各种各样的法则和定理，你把用哪条法则求出的极限叫 【直接取得极限】，把用哪条法则求出的极限叫不是【直接取得极限】?
(2)，不存在极限是可达的与【是不可达的】的问题。
数列和函数要么有极限，要么无极限。只要按极限的定义，或通过求极限的法则(定理)求出的极限都是极限，所以并无极限是可达的与【 是不可达的】的问题。
新华先生讲【 对∆y/∆x而言，极限是不可达的。∆y/∆x是常数除外，】不知新华先生所讲的【可达】是什么意思。【 对∆y/∆x而言，极限是不可达的。】是否还有【可达的极限】?要知道，当Δx→0时函数f(Δx)的极限同在Δx=0点的函数值是否有定义及等于多少，从极限概念上讲，根本没有关系。不管在Δx=0点的函数值f(0)是否有定义和等于多少， 当Δx→0时函数f(Δx)有极限就是有极限，无极限就是无极限。 Δx→0时函数有无极限同Δx=0时有无函数值没有关系 。在极限概念中，Δx是趋近于0，不是等于0。也就是说极限是在Δx未达到0(不等于0)情况下函数值f(Δx)的一种属性，而极限不是在Δx达到0(等于0)情况下函数值f(Δx)的属性。 从这个意义上讲，所有极限都是「不可达」的。这是从函数自变量 Δx是趋近于0，不是等于0来讲，极限是不可达的。如果从函数值f(Δx)来讲，用在Δx≠0的情况下是否有同极限值相同的函数值来定可达与不可达更没有意义。因为有无极限同它没有关系。常函数有极限，而大量的有极限的函数并不都是常函数。
(3)，把函数的极限比喻为通过外力作用下的变异，末必恰当。
新华先生说【 取极限是变异运算，是通过“外力”作用，强行令∆x=0，发生“突变”或称“飞跃”，改变原来给定的变化规律，取得极限。任何取极限运算，都是通过“外力”作用，改变原来给定的变化规律的，除了常数数列之外。】
尽管这段话不是严格的数学论证，是新华先生的对极限的感性认识，我把它看作是一种比喻。但是我认为这样的比喻未必恰当。
首先，函数y=f(x)当x→a时y→b，函数的极限是b(或当n→∞时数列An→b)只是函数的一个属性，这里并不存在【变异】。并没有把函数f【变成】极限b。函数是函数，极限是极限。极限是b只是函数f的一个属性。
其次，函数f当x→a时的极限是b，这是函数的内在属性所决定的，并不是【 通过“外力”作用，强行令∆x=0，】而且极限只是x在a点附近(x无限趋近于0时)函数值f(x)的一种属性(无限趋近于b)。并没有【强行令∆x=0。】
最后，函数f有函数的变化规律，极限b只是一个常数 ，有它自己的属性。不存在【改变原来给定的变化规律的】问题。
另外新华先生所说的【由割线变切线，改变了属性，】的说法只是一种形象直观的比喻，并不是严格的陈述。割线有割线的定义，切线有切线的定义。割线是割线，切线是切线，割线变不成切线。只是在割线同切线的斜率间有这样一种关系「当Δx→0时，割线斜率的极限等于切线斜率」。并不是【由割线变切线，改变了属性，】割线是割线的属性，切线是切线的属性没有变。
瞬时速度的例子也同样。平均速度是平均速度，瞬时速度是瞬时速度。平均速度的极限是瞬时速度，只是说明它们两者的关系，并不是说平均速度就【变异】成瞬时速度了 。所以【 称取极限是变异运算】并不恰当。
(全文完)
返转到：
zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
Zmn-0220 师教民：评《混淆了函数h同函数f的微分-评师教民先生的<0214>》
科学网《数学啄木鸟专栏》Zmn-000 到 Zmn-0200 期目录：2020-5-14 09:54
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