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Zmn-0205 沈卫国：简评薛问天与师教民二位先生关于微分问题的讨论

已有 1814 次阅读 2020-5-19 20:59 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0205 沈卫国：简评薛问天与师教民二位先生关于微分问题的讨论

【编者按。下面是沈卫国先生发来的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

简评薛问天与师教民二位先生关于微分问题的讨论

沈卫国

因为对自变量的微分定义问题的看法，所以我认为根本问题是一个变量微分定理的二重性问题。所以以往对这些讨论没有过于关注。最近由于二位屡次对这个问题讨论，我就费了一点心思。考虑了一下这个问题。

首先，y=f(x)，既然如此，dy=df(x)当然是没有问题的。没有薛先生所说的，dy表示自变量的微分，df(x)表示因变量的微分的问题。二者就是一样的。这个在任何微积分教材中都是如此。把二者分开，让学生自己选择。是薛先生的主意，不是教科书的。就如一个平面坐标系，横坐标为x，纵坐标为Y=f(x)，没有任何教科书说，x，y都只有在作为自变量时，才可以如此标注。而作为函数时，只允许标注成f(x)，和g(y)。薛先生也知道不分开二者的区别，连这里的最简单的讨论都很困难，几乎无法正常进行。也就是按照薛先生所言的，读者、学生根据上下文去区分dx之类符号究竟表示增量还是线性主部。真正在讨论问题时，稍微复杂一点，就无法进行下去了。这点薛先生不说、不承认，但用自己的行动承认了。他自己也不得不用什么dx+或y、f(x)去区分增量还是线性主部吧？

此外，对反函数的微分问题。师教民先生使用的导数，并不是极限法求得到那个作为极限的导数，那里的导数是无法再作为分式的，它只能是一个整体，严格讲就不应该写成dy/dx，就算如此写，也不允许把它们像分式一样地处理。但是，确实在定义了微分之后，得到dy=f’(x)Δx，这里dy与Δx都是宏观量，如此，把Δx除过来，得到dy/Δx=f’(x)，由于右边是导数（极限法求出的），左边那个两个宏观量的分式，在数值上等于导数值，于是，就把其当作导数值。这也即是克朗所说的“被不光彩地抛弃的微分，在此处又从后门进来了。”在这个意义上，当然可以将这个分式当作分式处理。也就是dy/Δx=1/(Δx/dy）=1/(dx/Δy）。这里用Δ表示自变量的增量，而d表示函数的线性主部。薛先生说，虽然上面那个式子中分母上的比式的数值是相同的，但dx≠Δx，dy≠Δy。当然这是对的。但这里也没有任何规则可以限制dx=Δx，dy=Δy，也就是在这里，作为函数g的线性主部的dx，是等于作为函数f的自变量的增量Δx的。对y的讨论也一样。省略。当然，这里的相等，是基于互为反函数的两个函数的，是特殊的。不是一般意义的函数。这点是需要注意的。从上面的讨论我们可以看出，如果把dx与Δx不做区分，都写成dx，我们都几乎无法讨论。但是如果做了这种区分，导数就又要写成丑陋的dy/Δx之类，而不能再写成简便的dy/dx。这里面的名堂，我就不多说的。为什么把明明不同的dx与Δx，（一个线性主部，一个增量本身），非要统一写成dx，往牛顿、莱布尼兹那里靠。薛先生自己琢磨吧。