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Zmn-0187 薛问天：「数学讨论」离不开定义和论证-评欧阳耿先生的四答

已有 1698 次阅读 2020-5-5 22:42 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0187 薛问天：「数学讨论」离不开定义和论证-评欧阳耿先生的四答

【编者按。下面是薛问天先生发来的评论文章。是对《Zmn-0175》欧阳耿先生回答的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

「数学讨论」离不开定义和论证

-评欧阳耿先生的《四答》
薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-c.jpg 看了欧阳耿先生的《四答》。我想我同欧阳耿先生的分歧，己经相当清楚了。那就是我认为数学是逻辑相当缜密的科学，凡是有明确定义并经过严格证明的命题才认为是可以认可和正确的。凡没有明确定义，未经证明的命题就不能认为是正确的，甚至可以断定它是错误的。也就是说在数学上靠的就是逻辑的严密性。数学离不开明确的定义和严格的推理论证。离开这些就不能称之为数学。

具体说这里的各个式子。

1+...+1/2^k=1+1/2+(1/3+1/4)+...+(1/(2^k-1+1)+...+1/2^k)＞k/2。......(1)

我认为这个有穷不等式(1)式是正确的。因为它只用到有穷个数的相加运算，这种相加运算是有明确定义的。可以严格证明这个不等式对任何自然数k都是成立的。

在Oresme 的证明中用到的这个有穷不等式(1)是 Oresme 证明的重要贡献，我对 Oresme 证明的肯定就是指他提供了这个有穷不等式。这个不等式在证明调和缎数的和是无穷大的严格证明中起了决定性的作用。除此之外，我并没有认可 Oresme 证明的任何内容。欧阳先生概括归纳的【薛先生的「取其精华」就是“无穷级数的加括号法则”】是不对的。我所肯定的只是 Oresme 证明提供的这个有穷不等式(1)，并没有认可欧阳耿先生所说的那些 “无穷级数的加括号法则”及什么欧阳先生所谓的【 “加括号精华”（极限思想、极限理论及其相关的操作结果），】。

1+1/2+1/3+...+1/n+......＞1+1/2+1/2+1/2+......→∞。......(2)

(2)式及欧阳先生在它后面所列的(3)(4)(5)式的错误我己多次指出。它是无穷级数。涉及到无穷个数的相加运算。在数学上并无「无穷个数相加的运算」的定义，在对此未加定义的情况下，所得出的任何不等式「不能认为是正确的，甚至可以断定它是错误的。」连什么是【无穷级数的和】都未加定义，你怎么知道左边的无穷级数的和大于右边的无穷级数的和?何况我们最后按照「无穷级数的和定义为部分和的极限」的定义算出它们都等于∞ ，显然∞＞∞并不成立。所以我认为对于(2)-(5)，作为逻辑严密的数学命题，「不能认为是正确的，甚至可以断定它是错误的。」

但是欧阳耿先生同我的看法不同，他认为【把此“加括号精华“(1)写成下式(2)这没有错吧?】【既然式(1)和(2)是正确的，那就没有理由说其佘(3)(4)(5)...式子是不正确的！】

我己经多次说明(2)式和其余各式的错在哪里。在《0154》中更加明确地说明了「欧阳耿先生列出「证明」的(1,2,3,4)四个式子，从现在严格的意义上讲有三个错误。」而且不仅列出了这三项错误(I，II，III)，还指出「这三点错误的根源在于对什么是【无穷级数的和】，没有定义。没有用【部分和的极限】来严格的定义，就不可能进行严格的推论。因而所作的关于【无穷级数的和】的推论(等于=，大于＞，和趋近于→)都是不成立的。」

我认为在数学上判断一个式子的正确与否，就看它符合不符合定义，是否经过严格的逻辑推论。

欧阳先生并不这样认为。他认讨论数学问题可以不用严格的定义，不用缜密的论证。可以凭空的讨论【思路】。欧阳耿先生在文中郑重其事的宣称【（注意：我文章中讨论的思路与内容仅仅针对这个“加括号精华”思路及其操作，根本就不讨论“无穷级数的和的定义”、不讨论调和级数究竟是收敛或发散）。】

我想这就是我们的分歧所在。我们讨论的话题就是【调和级数的和是无穷大的证明】，讨论的问题就是【 Oresme的「加括号的」证明是否正确?】如果我们【不讨论“无穷级数的和的定义”、不讨论调和级数究竟是收敛或发散】，离开了数学的定义，离开了严格的论证，这还能叫「数学讨论」吗?

是的，我见过一些这样的人。他们自称是讨论数学，但是在他们的高谈阔论中所有的概念都没有严格的定义，自然也不进行严格的推论。所有的讨论都是似是而非，雲里雾里，各种不知所曰的新创名词满天飞，空洞无物不着边际，还美其名曰叫讨论【数学的思想】。我曾经给这样的讨论起了个名字叫【侃大山】【摆龙门阵】。我认为「数学讨论」不能釆用【侃大山】和【摆龙门阵】的方式。当然这样的讨论也有它存在的空间。但我不认为这是「数学讨论」。我认为数学是逻辑缜密的科学。数学离不开严格的定义和逻辑的论证。离开了这些就不叫「数学」。我希望同欧阳耿先生的讨论是「数学讨论」而不是【侃大山】和【摆龙门阵】。

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