Zmn-0183 薛问天：教科书己给出【微分的两套符号表示方案】-评师教民先生的《0180》

【编者按。下面是薛问天先生发来的评论文章。是对《Zmn-0180》师教民先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

教科书己给出【微分的两套符号表示方案】

-评师教民先生的《0180》薛问天

xuewentian2006@sina.cn

(一)，两套「微分」的符号表示方案

最近因同师教民先生讨论，我又去查看了一下教科书中的「微分」定义。结果惊奇地发现，几乎大家都忽略了一个事实。那就是微积分教科书实际上已把两套有关「微分」的符号表示方案，都交给公众了。第一种就是【同一符号代表不同微分，由上下文来决定，必要时给以说明】的方案。这就是现在流行的dy,dx方案。第二种就是符号标明清楚，一个符号表示一个微分，不必由读者根据上下文来判定或附加说明的方案，这就是把函数因变量微分表示为df(x0)，自变量微分仍表示为dx的方案。

我们来看 菲赫金哥尔茨《数学分析原理》(第8版)关于微分的定义。

菲书的微分定义中同时介绍了这两套符号系统。函数的因变量的微分表示为dy或df(x0)，自变量的微分都用dx表示。这两种方案都是严格的， 没有错误，都是完全可行的 。教科书没有硬性规定，由读者选择。结果多少年下来，事实证明，业界大多数人仍习惯使用第一种方案。几乎忘掉了或者忽略了第二种方案。只有少数学者使用第二方案。

现在看来教科书把两种方案都介绐出来，互为补充是绝对有好处的。在一般情况下使用第一方案，完全可以根据上下文来断定dy，dⅹ所表示的微分是那个微分 ，能区分是哪个函数在哪点的因变量的微分还是自变量的微分。应用起来相当方便。只是在一些复杂的情况，一个变量同时是自变量又是因变量或一个变量同时要考虑是多个函数的因变量时，如复合函数等，必须用文字说明清楚 。读者也必须头脑清醒不能混淆。当然在这种情况下使用第二种方案。在符号上就表示清楚了，一个符号表示一个微分，就不存在同一符号代表不同的微分，省掉在上下文中的解释，而且也不存在混淆的问题。

我在讨论中为了说明问题曾提出过一些对微分的标注方法，当然也是可行的。不过既然教科书上己经有了正式的表示。我在后面的行文中就用这些正式的符号。师教民先生的【证明】，用教科书中的这些微分符号来表示，其中的错误同样是非常的明显的。

（二），评师教民先生《0180》的错误评论

(1)，尽管师先生表面上说我对「 师教民先生对菲书的错误理解」的批评的【 这一观点是错误的】。但是在实际上没有再坚持他原先所说的【菲书只是证明了在特殊函数 dy=Δx 中有dx=Δx...，并没有证明在一般函数y=f(x)中有dx=Δx...。】等指责。而且还在①中说【薛问天先生是这样理解的，我也是这样理解的。】我重实际，只要实际上达成共识就行。

(2)师先生在②中坚持他的错误观点:关于自变量的微分【认为规定 dx=Δx 错误。】在③中说他坚持这个错误观点的理由是他多次在文中【通过正反函数 y=f(x)和 x=g(y)证明了：〖由于极限理论规定 dx=Δx 而引起了 dy=Δy 和 Δy=dy+o(Δx)≠dy 的矛盾〗。】

关于他的这个【证明】，我曾批判过说 「师先生犯了【混淆了dx①和dx②】的错误。」 师先生在文中作了辩解 ，他说不是他混淆了dx①和dx②，这两者本来就是一个。他说【 x=g(y)和 y=f(x)中的dx是同一个．同理，函数 y=f(x)和 x=g(y)中的dy 也是同一个．】而且我对他这个观点的证明也同样进行了批判。

有趣的是我曾批评过他的这两个【证明】，这次他只坚持了其中的一个。而未提另一个。不知是何原因。不过我还是同上次一样，后面把这两个【证明】都同样再批一遍。

(3)，师先生在④中说【 薛问天先生在他的文章 0133 和 0162 中评论时两次都不敢涉及正反函数 y=f(x)和 x=g(y)，只是重新解释极限理论中非正反函数的微分定义及其自变量的微分定义的有关内容，】

这完全不顾事实。在《0133》和《0162》中就是针对你正反函数的证明进行的批评，怎么能说是【不敢涉及正反函数......只是重新解释极限理论中非正反函数...。】

你打开《0133》看着，小标题就是「 (2)  关于y,x互为反函数的情况。」后面的第一句话就是「设 y=f(x)，x=g(y)．f,g互为反函数。...」

在《0162》中不仅说的是同样的话，而且是直接针对你的【证明】的原文图片进行评论的。怎么在你的眼里就成了【两次都不敢涉及正反函数...。】难道眼睛是用可控硅半导体作的，想㸔就能看见，不想看的就什么也看不见！

(三)，对师先生的两个【证明】再评论一遍

师先生的两个【证明】犯的是同一个错误。那就是把同一微分符号所表示的不同微分混淆了。刚好，只要用一个符号表示一个微分的，教科书中提供的微分表示符号的第二方案，就把师先生【证明】中的错误，说得一清二楚，着得明明白白。

(1)，先看师先生的第一个【证明】的错误。证明【 由于极限理论规定 dx=Δx 而引起了 dy=Δy 和 Δy=dy+o(Δx)≠dy 的矛盾。】

师教民先生的【证明】的错误是。等式dydx=ΔyΔx中的dy,dx是因变量微分。即其中的dy是df(x)，dx是dg(y)。所以等式实际上是 df(x)dg(y)=ΔyΔx。

而规定的dx=Δx中的dx是y=f(x)的自变量的微分。它不是dg(y)，代入不到式中。因而将其代入式中替代dg(y)而得出df(x)=Δy是错误的。所以师先生所得出的矛盾并不存在， df(x)并不等于Δy。

(2)，再看师先生的笫二个【证明】的错误。证明 【x=g(y)和 y=f(x)中的dx 是同一个．同理，函数 y=f(x)和 x=g(y)中的 dy 也是同一个．】

其中y=f(x)中的dx是自变量微分。而x=g(y)中的dx是dg(y)，是因变量微分。怎么能是同一个微分呢 ?

师先生的错误在于，从互反函数的导数互为倒数，只能得出df(x)/dx  =  dy/dg(y)。得不出df(x)同dy是同一个微分，也得不出dg(y)同dx是同一个微分。就如同由A/B=C/D，得不出A=C和B=D是一个道理。这点我在《0133》就已明确指出。

师教民先生，你是否认为我这个第三次对你的批评还是【不敢涉及正反函数 y=f(x)和 x=g(y)，只是重新解释极限理论中非正反函数的微分定义及其自变量的微分定义的有关内容，】?要知道我的评论全是针对你【证明】的原文的。难道你的【证明】涉及的是【非正反函数的微分】?

(全文完)

返回到：

   zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录

• 
  

• Zmn-0182 林益：我对《再次说明有穷到无穷是一种飞跃》的回复   2020-4-30 08:52

• Zmn-0181 林益：与薛老师的《由林益的证明引发的联想》磋商   2020-4-29 12:37

• Zmn-0180 师教民： 评《「于无声处听有声」-评师教民先生<0147>的评论》   2020-4-29 08:57

• Zmn-0179 薛问天：再次说明有穷到无穷是一种飞跃-评林益先生的《0176》   2020-4-28 12:50

• Zmn-0178 薛问天：有理数和无理数【水乳交融】【密不可分】-评黄汝广《0160》   2020-4-28 08:25

• Zmn-0177 黄汝广：也谈飞矢不动悖论与抛球悖论   2020-4-27 12:54

• Zmn-0176 林益：由薛老师的证法所想到的   2020-4-27 08:59

• Zmn-0175 欧阳耿：四答薛问天先生-调和级数悖论问题   2020-4-26 17:02

• Zmn-0174 林益： 关于不同进制数的互化问题的探讨   2020-4-26 09:50

• Zmn-0173 薛问天：有穷到无穷结果会完全不同-由林益的证明引发的联想   2020-4-25 17:09

• Zmn-0172 欧阳耿：调和级数悖论与林益先生的‘1 与0.999 的困惑’   2020-4-25 11:24

• Zmn-0171 林益：也谈【芝诺悖论】和无穷级数求和   2020-4-24 15:20

• Zmn-0170 薛问天：「去其所短，取其所长」-评欧阳耿先生的《三答》   2020-4-24 09:00

• Zmn-0169 林益：回答薛老师几个问题   2020-4-23 16:15

• Zmn-0168 林益：《笑话一则》的寓意解释   2020-4-23 10:13

• Zmn-0167 薛问天：关键还是「无穷观」的问题-评林益《0165》。   2020-4-22 15:56

• Zmn-0166 薛问天：【一数两码】和【一样多】的思辨-评林益《0163》   2020-4-22 10:41

• Zmn-0165 林益：对薛老师的两个经典的例子的分析    2020-4-21 15:33

• Zmn-0164 数森，赵峰：评黄汝广《两个有关实数和真类的观点》   2020-4-21 09:36

• Zmn-0163 林益：线段上的点和全空间的点一样多！！！   2020-4-20 18:50

• Zmn-0162 薛问天：「于无声处听有声」-评师教民先生《0147》的评论   2020-4-20 11:10

• Zmn-0161 欧阳耿：三答薛问天的调和级数悖论问题   2020-4-19 16:44

• Zmn-0160 黄汝广：两个有关实数和真类的观点   2020-4-19 11:17

• Zmn-0159 赵峰：芝诺悖论和抛球问题欣赏   2020-4-18 15:37

• Zmn-0158 文兰：对张金成先生的答复   2020-4-18 09:28

• Zmn-0157 薛问天：再谈【无穷步推理】和【无穷次演算】的禁忌-同林益先生切磋。  2020-4-17 13:45

• Zmn-0156 林益：笑话一则：康托尔究竟跑了多少米？   2020-4-17 09:32

• Zmn-0155 赵峰：关于公式 7(a) 的几点理解   2020-4-16 16:38

• Zmn-0154 薛问天：谈【芝诺悖论】和无穷级数求和的对比-答欧阳耿先生。   2020-4-16 09:24

• Zmn-0153 林益：一个新奇的证明实数不可数的方法的探讨   2020-4-15 16:46

• Zmn-0152 师教民：评《谈同一个符号dx表示不同的微分…》   2020-4-15 09:09

• Zmn-0151 数森：赵峰先生关于公式7(a)的一个论证的错误   2020-4-14 15:48

• Zmn-0150 师教民：点赞沈卫国先生   2020-4-14 10:20

• Zmn-0149 林益：请教薛老师的一个问题----“无穷禁忌”   2020-4-13 17:27

• Zmn-0148 欧阳耿：再答薛问天的调和级数悖论问题II   2020-4-13 11:05

• Zmn-0147 师教民： 评《评师教民<讨论微积分的活动的总结>》   2020-4-12 19:03

• Zmn-0146 薛问天：谈同一个符号dx表示不同的微分-评沈卫国先生的议论。   2020-4-12 09:00

• Zmn-0145 薛问天：调和级数中没有【悖论】-评欧阳耿先生的回复。   2020-4-11 12:37

• Zmn-0144 赵峰： 关于公式7(a)的一个论证   2020-4-10 21:41

• Zmn-0143 沈卫国：评薛问天先生对师教民教授文章的评论   2020-4-10 13:00

• Zmn-0142 欧阳耿：答薛问天的调和级数悖论的问题   2020-4-9 13:03

• Zmn-0141 数森：答复赵峰先生的疑问   2020-4-8 19:36

• 科学网《数学啄木鸟专栏》Zmn-000到Zmn-0150期目录。 2020-4-14 14:37