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Zmn-0146 薛问天：谈同一个符号dx表示不同的微分-评沈卫国先生的议论。

已有 2483 次阅读 2020-4-12 09:00 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

【编者按。下面是薛问天先生发来的评论文章。是对《Zmn-0143》沈卫国先生评论的回复。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

谈同一个符号dx表示不同的微分

-评沈卫国先生的议论

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-c.jpg (1)，沈先生批评说【定义就是定义，没有什么道理。这个论点是错的。】他所批判的定义【没有什么道理】，这不是我的观点。我说的是【定义就是规定，不需要证明。】我这里说的【证明】是指数学证明，即数学上只有【定理】才需要【证明】，【定义】和【公理】不需要【证明】。并不等于说【定义】可以随心所欲，不讲道理，不需要考虑理论的协调(无矛盾)性，也不是说它不需要经过实践的检验。只是说它不需要给出【数学证明】。难道沈先生主张对每个【定义】都要像【定理】一样都给出【证明】吗?

(2) 沈先生谈到微分的符号，说【用同一个符号dx表示不同的微分（线性主部和增量本身）究竟会带来什么。】

是的。这点误导了不少人。我很早就己指出。有些人以为微分的记号是dx，是d后跟一个变量x，似乎微分dx仅仅只同变量x有关，于是错误地以为「对一个变量x来说，微分dx只有一个」。

实际上这是对「徵分概念」的误读。微分这个数学概念不仅同变量有关，还同变量在函数中的作用有关。我们知道函数分自变量和因变量。因而在谈论变量x的微分dx时，首先要分清这个微分dx是函数的「自变量的微分」还是函数的「因变量的微分」。这是两个不同的微分。其次，如果dx是函数的「因变量的微分」，还要分清这是哪个函数在哪个点的「微分」。要知道对于不同函数在不同点的微分都是不同的。

关于这点，在微分的定义中是讲得非常清楚的。按照微分的定义，如果变量x是函数y=f(x)的自变量，则函数y=f(x)的「自变量的微分」dx=Δx。如变量x是函数x=g(t)的因变量，则函数x=g(t)的「因变量的微分」dx=BΔt，它是Δx的线性主部，一般不等于Δx。由于一个变量x，它既可以是函数y=f(x)的「自变量」，也可以是函数x=g(t)的因变量，可见对于一个变量x来说，微分dx可能不止一个。由于函数y=f(x)的「自变量的微分」dx=Δx，它同函数f和点无关，只有一个。但是函数x=g(t)的「因变量的微分」dx=BΔt，却同函数g以及在那个点有很大关系。B是函数g在t0点的导数，对于不同函数g和在不同点t0，导数B一般是不相等的。因而相应的微分dx一般也是不相同的。综上所述，对于一个变量x来说，有一个「自变量的微分」和无数个函数的「因变量的微分」，微分dx不止一个。

但这些微分都用一个符号dx来表达，这难免引起误解。甚至有人把它认为是微积分的【矛盾】【悖论】和【危机】。其实只要认清了这个道理，完全可以通过上下文来确认这个dx是哪种微分。在有些难于用语言说清的情况下，只要对此dx加以标注，也就一目了然了，並不是什么难事。这不是现代微积分的【矛盾】【悖论】和【危机】。

一般说，一个符号通常用来表示同一个东西，这没错。但是不能把它绝对化。当一个简单记号包含不了所表示的对象的全部特征信息吋，使用同一记号，同时附以文字的「明确说明」，这个同一的记号完全可以表示不同的对象。

不能认为在所有情况下，一个符号表示的就都是一个东西。要知道有些时候，「在明确说明的条件下，一个符号完全可以表示不同的对象。」

我们对微积分的发展史应该有深入的理解。这一套微分记号dy，dx等的符号系统并不是现代人发明创造昀。而是早期的微积分方法保留下来的记号系统。早期的微分概念是模糊的、不严格的。现代的微积分理论是引入了极限概念后对原有的微积分概念进一步严格地解释后形成的。正是由于可以用定义，用文字「明确说明」微分的确切含义，所以并没有必要改变原有的微分记号。关于这点，在微分的定义中己说得相当清楚，写得明明白白。变量在函数中的地位不同，函数不同或点不同，相应的就是不同的微分变量。用定义和上下文的「明确说明」完全可以区别同一记号所表示的不同微分变量。只要正确理解，不会产生混乱。

(3)，沈先生文中提到我国著名的数理逻辑学家莫绍葵先生和著名数论专家王元先生。对这些著名专家我们大家都是相当尊重的。但是也不要把他们神化，认为他们讲的每句话都是绝对正确的。我们讨论数学向题，其实对任何科学问题都一样，我们只相信【事实和道理】，只要符合事实，讲的有道理，我们就信服。不管是谁讲的。我们不迷信任何专家和权威。对专家和权威的观点我们会认真听取，但是绝不会以他们的观点作为论证对错的依据。再大的权威讲的话，如果不符合事实，没有道理，我们会照批不误，这才是真正的科学精神。这才是每个科学工作者所应具有的基本素质。沈卫国先生，你平常不是也常把不迷信权威，不迷信洋人的口号喊个不停嘛，怎么遇到具体学术问题，竟然不是具体【摆事实讲道理】，却到处去搬起权威和洋人来了，不仅以权威名人的观点作为论证的理由，还以某洋人的观点说是【实际上与我的解释完全吻合】，作为讨论的依据。其实在我们看来，这些东西对学术讨论是一点价值都没有的。学术讨论就是要摆出你的事实，讲出你的道理来。摆不出事实讲不出道理去搬权威，搬洋人，没有一点用处！

沈先生，你不是要评论我同师教民先生的讨论吗？那么请你别在那里空议论，具体谈谈你对所讨论的问题的看法。

师教民先生认为【 x=g (y)和 y=f (x)中的 dx 是同一个微分。】我认为【dx①是函数f的自变量的微分，dx②是函数g的因变量的微分，怎么会是同一个微分变是呢？】

师先生说他可以「证明」。你认可他的证明吗？

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