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Zmn-0125黄汝广:自然数集与偶数集的所谓一一对应只是幻觉

已有 521 次阅读 2020-3-24 12:51 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0125黄汝广:自然数集与偶数集的所谓一一对应只是幻觉

【编者按。下面是黄汝广先生发来的短文,现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

自然数集与偶数集的所谓一一对应只是幻觉

黄汝广

我曾说:【 事实上,如果我们仔细深究的话,“一一对应”并不是简单的一一配对,它还必须要求一一配对是可以完成的,并且配对完成后两者所剩均为空集,只有这样我们才可以说两者元素个数相等。因此,我反倒认为“一一对应”操作只能适用于有穷,无穷不适用“一一对应”恰是无穷的特性。】

而薛问天先生答复:【我们前面分析过黄先生所谓的 “一一对应”原则是 「用一一对应定义集合的势(基数) ,用势(基数)的大小来衡量集合的大小」。这是有关集合「大小」的定义。定义不是定理,不需要证明。不存在对错问题,只要不引起概念混乱,都是允许的。这也不是一一对应这个方法本身存在什么问题,一一对应是双射当然要求不重复和无遗漏。你只是认为用这样的方法来定义集合的大小不合适。你当然可以提出另外衡量集合「大小」的方法,问题是你能提出更合适的方法吗?不妨动动手试试看。】很明显,薛先生是答非所问,并把一一对应只适用于有限集而不适用无限集,歪曲为一一对应不适用于所有集合。

让我说得再详细一点:把两个集合AB看作两个黑箱,每从箱A中取出一个元素,也从箱B中取出一个元素与之对应,如此进行下去,当A空了的时候,如果B也空了,我们就说两者元素个数相等;当A空了的时候,如果B却非空,我们就说B的元素多于A;反之,当B空了的时候,如果A却非空,我们就说B的元素少于A。很显然,对于不可完成的潜无限集,这个比较法则是不适用的,因为潜无限集总是不可能被取空的,但是,对于有限集与可以完成的实无限集,因为可以被取空所以是适用的。

现在,不妨假设两个箱子都是放的全部自然数(当然是实无限意义上的),因为AB实质上是同一个集合,元素个数当然相等。而按照实无穷的观点,自然数集与其真子集偶数集也一一对应,两者元素同样多。我们仍进行上述取出操作,每从A中取出一个数n,则在B中取一个数2n与之对应,这样当A空了的时候,B中的偶数恰好被取完,但是全部奇数仍在,根据前述法则,结论只能是A的元素少于B。问题出在哪里?答案是,所谓自然数集与其真子集偶数集一一对应只是幻觉而已,当B中的偶数被全部取完的时候,A中的数并没有被取完,而是恰好取了一半,当继续进行取出操作时,B就只能动用奇数了,直到两者皆空。

 

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