Zmn-0125黄汝广：自然数集与偶数集的所谓一一对应只是幻觉

【编者按。下面是黄汝广先生发来的短文，现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

自然数集与偶数集的所谓一一对应只是幻觉

黄汝广

我曾说:【 事实上，如果我们仔细深究的话，“一一对应”并不是简单的一一配对，它还必须要求一一配对是可以完成的，并且配对完成后两者所剩均为空集，只有这样我们才可以说两者元素个数相等。因此，我反倒认为“一一对应”操作只能适用于有穷，无穷不适用“一一对应”恰是无穷的特性。】

而薛问天先生答复：【我们前面分析过黄先生所谓的 “一一对应”原则是 「用一一对应定义集合的势(基数) ，用势(基数)的大小来衡量集合的大小」。这是有关集合「大小」的定义。定义不是定理，不需要证明。不存在对错问题，只要不引起概念混乱，都是允许的。这也不是一一对应这个方法本身存在什么问题，一一对应是双射当然要求不重复和无遗漏。你只是认为用这样的方法来定义集合的大小不合适。你当然可以提出另外衡量集合「大小」的方法，问题是你能提出更合适的方法吗？不妨动动手试试看。】很明显，薛先生是答非所问，并把一一对应只适用于有限集而不适用无限集，歪曲为一一对应不适用于所有集合。

让我说得再详细一点：把两个集合A和B看作两个黑箱，每从箱A中取出一个元素，也从箱B中取出一个元素与之对应，如此进行下去，当A空了的时候，如果B也空了，我们就说两者元素个数相等；当A空了的时候，如果B却非空，我们就说B的元素多于A；反之，当B空了的时候，如果A却非空，我们就说B的元素少于A。很显然，对于不可完成的潜无限集，这个比较法则是不适用的，因为潜无限集总是不可能被取空的，但是，对于有限集与可以完成的实无限集，因为可以被取空所以是适用的。

现在，不妨假设两个箱子都是放的全部自然数（当然是实无限意义上的），因为A与B实质上是同一个集合，元素个数当然相等。而按照实无穷的观点，自然数集与其真子集偶数集也一一对应，两者元素同样多。我们仍进行上述取出操作，每从A中取出一个数n，则在B中取一个数2n与之对应，这样当A空了的时候，B中的偶数恰好被取完，但是全部奇数仍在，根据前述法则，结论只能是A的元素少于B。问题出在哪里？答案是，所谓自然数集与其真子集偶数集一一对应只是幻觉而已，当B中的偶数被全部取完的时候，A中的数并没有被取完，而是恰好取了一半，当继续进行取出操作时，B就只能动用奇数了，直到两者皆空。

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