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Zmn-0102 薛问天:谈严格的「数学定义」-评李鸿仪先生的错误论点。

已有 607 次阅读 2020-2-20 11:26 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0102 薛问天:谈严格的「数学定义」-评李鸿仪先生的错误论点。
【编者按。下面是薛问天先生发来的文章,评论《zmn-0097》李鸿先生的评论文章。现在发布如下,
供网友们共享。请大家关注并积极评论。】

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谈严格的「数学定义」

-评李鸿仪先生的错误论点。
薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

数学,特别是基础数学,要求有比其它学科【更缜密】的【逻辑缜密性】。要缜密到这样的程度: 数学中的每个概念(除少数的原始概念外)都要有严格的【数学定义】。【数学定义】不是用自然语言的描述和解释,而是用己有数学定义的数学概念和(或)原始概念用严格的逻辑语言表达的定义。每个认可为真的命题,除公理外,所有的定理都要有严格的【数学证明】。【数学证明】中推理的每一步都必须有根有据 ,这里的【根据】必须是公理或己经正确证明的定理,不允许有任何【 那么自然且简单,甚至显得有点不言而喻、有点多余、有点小儿科】的所谓【常识】而逃避【数学证明】。要知道这种【想当然】是最容易出错误的地方。

李鸿仪先生所犯的错误很多都与【数学定义】有关。他把对「集合」的直观描述和解释认为是【数学定义】。把他构建的【李氏集合论】全部依赖在此不是定义的【定义】之上。他把没有定义的【集合的元素数目】这个概念到处乱用,不仅用它来定义【有限集和无限集】,还作为【一一对应】的必充条件。而他对有严格数学定义的【一一对应】概念,却不按它的【定义】去评论,而是从其名称的字面上的理解,认为它的含义是要把集合中的所有元素一个个地【对应起来】,从而认为这对无穷集做不到,于是推断这个概念是不可靠的。

本文对这些错误论点逐一评论如下。

 (一) 对「集合」的描述不是「数学定义」。

我们知道康托尔对「集合」曾作过这样的刻划: 【吾人直观或思维之对象,如为相异而确定之物,其总括之全体即为集合,其组成集合之物谓之集合之元素。】这只是对集合的一种直观描述和解释,不能算作是严格的【数学定义】。因为在他的叙述中所使用的【相异而确定之物】及【其总括之全体】这些概念并不是已经有定义的数学概念 ,或原始概念。仍然是没有定义而需要定义的概念。

李鸿仪先生在文中所说的【 最简洁的集合定义是:元素的整体,因此,集合是根据元素来定义的。换言之,首先要有元素,才可能有集合,或者说,只有当元素都存在时,集合才存在。】和【 “元素的整体称为集合”是集合的一般定义,所以对任何集合都是成立的,否则怎么可以称之为一般定义?】

他所说的【最简洁的集合定义】和【集合的一般定义】,同理都只能是「集合」的一种直观的描述和解释,而够不上严格的【数学定义】。 因为在他的叙述中所使用的【元素】及【整体】这些概念并不是已经有定义的数学概念 ,或原始概念。仍然是没有定义而需要定义的概念。只不过是把没有定义的【集合】和【元素】概念换成另外的没有定义的【整体】和【元素】概念而已。是在原地打转,没有任何定义的意义。

另外,作为定义,要表达该概念的确切含义即特征属性,即该概念的其它所有属性都要能由此定义推出。显然无论康托尔和李先生的上述【定义】,都作不到这一点。例如 ,你能由此定义推出【空集存在】吗,能推出【无穷集存在】吗,能推出【所有集合的幂集存在】吗,......?

显然不能。在现代集合论中「集合」和「属于关系(∈)」是原始概念,是不能被其它更原始的概念定义的。而集合的所有这些属性都是由集合论的原则和公理所决定的 。而不是由「集合」的定义所决定的。

(二)  无穷集的【元素数目】是没有定义的概念。

李先生说【 数目有限的元素的整体称为有限集,数目非有限即无限的元素的整体称为无限集。】

这同样不能作为【有限集】和【无限集】的数学定义。因为定义中所用的概念【 数目有限的元素】和【 数目非有限即无限的元素】是没有定义的概念。

我曾经论述过【有穷集】和【无穷集】是可以由【自然数】定义的数学概念。

【对任一集合A,如果存在某自然数n,使A能同n (注意这里n是一个集合 n={0,1,...,n-1}) 一一对应,则称A是有穷集。并称有穷集A的元素数目即基数为n。】

在这个定义里不仅定义了【有穷集】,而且定义了【 有穷集的元素数目】。这是一个严格的【数学定义】,因为定义中用到的概念「自然数」和「一一对应」,这都是已经有定义的数学概念。

【无穷集】可由【有穷集】来定义 。【如果一个集合不是有穷集,则称为是无穷集。】但是【 无穷集的元素数目】,在这里没有给出定义,在没有给出【超穷基数】以前 ,【 无穷集的元素数目】是没有定义的 。

李先生原本是想把他的【李氏集合论】建立在严格的【集合定义】之上的。他滿怀信心地说:  【 让我们从集合的定义开始讨论吧,这才是真正缜密可靠的方法。如果不从定义出发,自作聪明的引入一些似是而非的东西,那就不是严格的科学。数学不能走这条邪路。】

可是李先生没有想到的是,他以为是集合的【定义】的陈述,根本不能算作是【数学定义】,用没有定义的【整体】来定义集合,只是在原地打转,没有任何意义。他的理论借以【出发】的定义不存在了,因而整个理论就崩溃了,坍塌了。建在其上的【元素的数目】也就失去了定义。

李先生说:【 如所周知,有限集合的“元素数目是有限的”,那么,不是有限集合即无限集合的元素数目,也是很明确的“不是有限的“即“是无限的”,】

李先生说的【 有限集合的“元素数目是有限的”】没有说清楚,说准确。这个【 有限的】只是个形容词,说全了应是 【 有限集合的“元素数目是与该集合一一对应的自然数”】,这个自然数是个有穷集n={0,1,...,n-1}。这样一来,对于【无穷集】只知道不存在这样的自然数同它一一对应,无论如何也推论不出无穷集的【元素数目】的定义来。李先生说【 无限集合的元素数目,也是很明确的“不是有限的“即“是无限的”,】纯属李先生的主观臆想。我们说 【 有限集合的“元素数目是与集合一一对应的自然数”】是严格的数学定义,因为其中的【一一对应】和【自然数】都是有明确定义的数学对象。而说【 无限集合的元素数目,“是无限的”,】就不能认为是【数学定义】,因为这里的【是无限的】,是个没有定义的概念,是毫无意义的,谁也不知道 【是无限的】是个什么东西。不仅没有定义,它还只是个形容词,连形容的对象都没有!

更可笑的是,李先生在谈到全体偶数的无限集时,还认为【 所得到的偶数集的元素数目毫无疑问只能是 W/2。】而且还认为是在【 严格遵守逻辑秩序的条件下】得到的。请问 这【 无限集合的元素数目,“是无限的”,】本身还没有定义,这【 “是无限的”】的二分之一又是个什么东西。 这才真正是李先生自己所说的【 不从定义出发,自作聪明的引入一些似是而非的东西】。

可见 无穷集的【元素数目】是个没有定义的概念。

 

(三)【一一对应】的严格【数学定义】

李先生说【 对有限集合来说,哪怕元素数目再多,我们都很容易将所有的元素都一一对应起来,因此所建立的一一对应是高度可靠的。但对无限集合,我们却根本做不到这一点,我们实际上只能在集合开始时的部分元素之间顾头不顾尾地建立起一一对应关系(为讨论方便, 以下将这种“一一对应“称为康托式一一对应),却无法保证在所有元素之间建立起一一对应关系,这样建立起来的所谓一一对应关系怎么可能保证是可靠的?.】

从李先生的这段陈述来看,他并不是根据【一一对应】的数学定义来理解这个概念的含义的,而是按照这个概念的名称 【一一对应】的字面含义来把握这个概念的含义的。在李先生的理解下 【一一对应】就是一个一个的对应起来。对于有限集,它的元素可以一个一个地呈现在我们的面前,因而断定【 对有限集合来说,哪怕元素数目再多,我们都很容易将所有的元素都一一对应起来,因此所建立的一一对应是高度可靠的。】对于无限集,由于人类受到时空的限制,不可能把集合的所有元素一个一个地全部呈现在我们的面前,于是李先生就断定说【 对无限集合,我们却根本做不到这一点,我们实际上只能在集合开始时的部分元素之间顾头不顾尾地建立起一一对应关系,......却无法保证在所有元素之间建立起一一对应关系,这样建立起来的所谓一一对应关系怎么可能保证是可靠的?】

在这里李先生的错误在于严重地低估了人类的逻辑思维推理能力。在集合论中人们用严格的一连串【数学定义】表达了两个集合的【一一对应】,这里的集合不仅可以是有穷集而且可以是无穷集。人们在论证无穷集时,并不需要把集合的所有元素一个个地全部呈现在眼前。只需要用【有穷步】的逻辑推理就可以用【所有的】【存在】【相等】【不等】,......等纯逻辑词彙以及原始的集合概念来完全表达【无穷集合】的【一一对应】和推论出、证明出它应有的属性。我们来看【一一对应】概念的定义链是怎么表达的。

【定义1(一一对应)】如果存在集合X到集合Y的双射。则称集合X同集合Y一一对应。

【定义2(双射)】 如果集合X到集合Y的映射y=f(x)滿足条件:
(1)【满射】对任何y∈Y存在x∈X,使 y=f(x)。
(2)【单射】对任何y∈Y,若 y=f(x1),y=f(x2),则x1=x2。
则称此映射是集合X到集合Y的双射。

李先生说: 【 问题的关键是,真正的双射,必须保证每个元素都能一一对应,其充要条件是元素数目相等(没有争论的必要,回家去自己证明一下吧),如果元素数目不清楚,如何保证建立的是真正的双射?顾头不顾尾的康托式一一对应能够保证吗?】

李先生你认为上述双射的定义有问题吗?你心目中的【真正的双射】与此有何不同?此定义当然能 【 保证每个元素都能一一对应,】但不知能不能保证【 其充要条件是元素数目相等】,因为【元素数目】是个没有定义的概念。没有定义的概念怎么保证,怎么证明。李先生很聪明,给我布置了一个无法完成的【家庭作业】。这个充要条件是你提出的,当然应该由你来证明。先不要说证明,你先把 【元素数目】这个没有定义的概念的定义搞清楚再说。

【定义3(映射)】 如果集合X同集合Y的关系R(x,y)满足【单值条件】: 对任何x∈X,则有y1使R(x,y1)成立,若还有y2,使R(x,y2)成立,则y1=y2。那么就称关系R(x,y)是映射y=f(x)。

【定义4(关系)】把集合X同集合Y的笛卡尔乘积的子集,称为关系。

【定义5(笛卡尔乘积)】把集合X同集合Y中所有元素x,y构成的有序对<x,y>的集合,称为集合X同集合Y的笛卡尔乘积,记作:XxY={<x,y>丨x∈X,y∈Y}。

【定义6(子集)】 任意集合X和集合Y,如果所有X的元素x∈X,都是Y的元素x∈Y,则称X是Y的子集。

【定义7(有序对)】把集合{{x},{x,y}}称为由x,y构成的有序对,记作<x,y>。
定义6和7中只用到原始概念「集合」,未用到其它未定义的概念。



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在上述【一一对应】概念的定义链中,并未限制X和Y是有穷集。可见无穷集也是适用的。可见李先生的质疑毫无道理。

下面我们来证明全体自然数集N和全体偶数集M一一对应 。

我们设x∈N,y∈M。我们来证明N到M的映射y=2x是双射。

首先证明y=2x是满射。显然对任何y∈Y,y是偶数。令x=y/2,必然有x∈N且有y=2x。滿射得证。接着证明单射。显然对任何y∈M,若 y=2(x1),y=2(x2),则x1=x2=y/2。单射得证。从而双射得证。

尊敬的李鸿仪先生,你在上述证明中看到了你说的【 只能在集合开始时的部分元素之间顾头不顾尾地建立起一一对应关系】的现象了吗?如果没有看到,就说明你说的不是事实。以及你的论断和质疑【 无法保证在所有元素之间建立起一一对应关系,这样建立起来的所谓一一对应关系怎么可能保证是可靠的?】是亳无根据而不能成立的。

(全文完)



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