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Zmn-0098 薛问天:再论有别于其它学科的【数学的逻辑缜密性】-评樊毅先生的回复。

已有 635 次阅读 2020-2-12 11:36 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0098 薛问天:再论有别于其它学科的【数学的逻辑缜密性】-评樊毅先生的回复。

【编者按。下面是薛问天先生对《zmn-0096》樊毅先生的回复的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。】

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再论有别于其它学科的【数学的逻辑缜密性】

-评樊毅先生的回复。
薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

 (一)关于【 数学的另类缜密性】

薛问天-c.jpg樊先生讲【 数学缜密吗?是的。数学并不是随意进行创造的。但是,数学,也并不是在逻辑上“绝对”缜密的。】

是的,没有人会去追求【绝对缜密性】。我们所谈的【数学的逻辑缜密性】,当然都是相对的。在哲学上,我们要正确地认识【绝对真理】同【相对真理】的辩证关系。人对客观的认识,客观世界在人脑中的反映,不可能是绝对相同的镜面映像。人是通过感官和抽象思维来认识外界世界的。所谓【抽象】就是抽出一部分特性,而舍去一部分特性,这就决定了认识的相对性。但是要注意 ,不要认为【相对真理】不是真理,要认识到【相对真理】也是真理。【绝对真理】是寓于【相对真理】之中的。无穷的【相对真理】的长河构成了【绝对真理】。

牛顿力学是相对真理,爱因斯坦的相对论也是相对真理。它们并不相互否定,只是各有各的适用范围而已。同样欧氏几何同非欧几何也都是正确的,只不过反映的是不同的现实空间而已。

在人类文明的发展过程中, 有些认识的发展是不断纠正错误的过程,是后面的认识否定前面认识。如现代对宇宙的认识就否定了「地心说」和「天园地方说」。但是人类的认识发展过程并不完全都是「否定」,有些认识的过程是继承和发展的过程,即后面的认识并不完全否定前面的认识,是一种扩展和深入的关系,如上述的牛顿力学同相对论的关系,欧氏几何同非欧几何的关系等。在微积分中引入了变量和极限的概念,认识到无穷小是以0为极限的实数变量,否定了无穷小是常量的早期错误概念,这是否定 。然而非标准分析把「实数」扩展为「超实数」,是在「超实数」的基础上研究微积分。这里没有絲毫否定标准分析的意思。这不是否定,而是扩展和深入。所以不要认为「相对真理」就不是真理,就一定要被后面的「相对真理」否定。而要认识到「绝对真理」是寓于「相对真理」之中的,是以「相对真理」的形式出现的。

也就是说,不要以「数学缜密性」的相对性为由,而忽视了这种「缜密性」的重要性,或降低对它的要求。

樊毅先生说【 数学的另类缜密性,其实就是“得过且过”,只要没有大的基础性矛盾(如悖论),只要能够在数学问题研究上获得进展,数学就可以不管逻辑学上的问题,继续前行。】

这实际是在说既然达不到【绝对缜密】就【适可而止】【得过且过】。去追求【另类缜密性】,实际上就是降低标准。我不同意这种看法 。

我的意见是这样的。要针对不同的场合,不同的学科,选取不同程度的【缜密性】。

樊先生讲【 在逻辑学角度来看,如果一段描述性的说明,说明了某个概念的本质特征,那么也就可以等同于定义了。】这在其它学科 ,如语言学,物理学,化学,...等,甚至应用数学,或许己足够。对于数学的应用或称为【应用数学】,可以使用一些直观的自然语言,可以灵活地采用描述性的方法来解释数学概念,论证数学定律。不一定要拘泥于严格的公理-定义-定理的形式 。但是对于「理论数学」,特别是「数学基础」之类的数学学科, 这样的【另类缜密性】是不够的,还要【再缜密】。则必须强调更严格的【数学的缜密性】。要严到这样的程度,其中的每个概念都要有严格的确切的数学定义,极少量的原始概念要有相应的原则和公理的约束。每个推理步,都要有根有据,这个根据只能是公理、定义,和逻辑推理规则,而不能是什么想当然的【常识】等其它【不言而喻】的东西。

不知在这点上我同樊先生能否得到共识。理论数学,特别是基础数学,比起其它学科来说,要有更高更严的,不同于【另类缜密性】的更严格的【逻辑缜密性】。在其它学科可以使用描述性的【定义】,一般性的【推理】,而在数学中则要求有严格意义下的【数学定义】和【数学证明】。

(二)  关亍【 a≠{a}的推理】

在素朴集合论中,表达式a={b},只是描述了b是集合a的元素 ,只是描述了两个对象b和a相互间具有的这样一种「属于」关系(b∈a)。并没有说【先有b,然后再有a】。也没有说【a是b生成的】,【a是b定义的】等。这里没有说【b一定不是集合】,也没有说【b一定不等于a】。所以你是无论如何也由此【推理】不出【对所有的a,a≠{a}】即推不出【不存在a使a={a}】来。

当然在素朴集合论中也【推理】不出来一定【存在a使a={a}】,只是没有排斥它的存在而已。

既然没有说【先有b,然后再有a】,也没有说【a是b生成的】,【a是b定义的】,自然就不存在循环生成或循环定义的错误的问题。

樊先生讲【 我的目的也根本不是证明什么a≠{a},而是为了说明循环定义的重要意义。】

是的,如果该表达式是「生成(定义)」的含义,自然存在循环定义(循环生成)的问题,因而 ,我也承认【由(I)式和(II)式生成(定义)不了集合a使a={a}。】从而当然也不承认能由此推出 【存在a使a={a}】。但是问题是「该集合不能由(I)和(II)式生成」即「没有推出该集合的存在」,并不等于「推出该集合不存在」。

只有在假定【所有的集合都是由 (I)式或(II)式生成的(定义的)】条件下 ,才能由 【由(I)式和(II)式生成(定义)不了集合a使a={a}】推出 【不存在a使a={a}】来。可惜在素朴集合论中并没有 【所有的集合都是由 (I)式和(II)式生成的(定义的)】这样的假定。

樊先生所说的【 要想让a={a},用别的“定义”方法都不行,只能强行把a定义为a={a}】 ,就隐含了他认为在素朴集合论中有上述假定。

另外在樊先生的【推理】中,用「某些个别集合」,如a=”苹果”,a=”0”,...等不可能使a={a}来作为论据,显然不具有说服力。我己说明(樊先生也己认可),这里要推出的结论是【对所有的集合a,a≠{a}。】这里樊先生说【 这里把苹果换成任何一个确定的事物都是这样。】只是一种臆想,不能作为【推理】的依据。在集合的描述a={b}中并没有強行规定a≠b。因而并没有排斥【b就是a】的可能性。只要你不在素朴集合论中强行规定 【先有b,然后再有a】,【a是b生成的】,【a是b定义的】等,就不能排斥【b就是a】的可能性。

(三) 关于【几个数学问题】

樊先生这里用了【请教】二字,实不敢当。我谈点个人看法,我们共同切磋。

樊问: 【1) S={x|xS},这里的S是否是集合?如果S是集合,那么这是否是个悖论?如果S不是集合,理由是什么?】

这取决于在哪个系统中讨论。

(1)如果是在素朴集合论中讨论。由于系统承认一般概括原则,所以承认滿足 S={x|xS}的S是集合,于是产生悖论:  对任何ⅹ,x∈S当且仅当 xS

(2)如果是在现代集合论中讨论。由于现代集合论中修改了一般概括原则,只承认S是「类」而不一定是「集合」。见张锦文的《公理集合论》中的有关论述

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所以, 滿足 S={x|xS}的S是类,而不能断定是集合。并且由于 如果该类存在,则对任何ⅹ,x∈S当且仅当 xS,是矛盾的。所以证明这样的类并不存在。即在现代集合论中 滿足 S={x|xS}的S是不存在的类。 这里并不产生悖论。这就是我的看法。

【 2) 怎样比较两个自然数的大小?】

我们可以这样来定义自然数集中的序(<)。

(1)对任意自然数a,b,如果b=a+1,则a<b。

(2)对任意自然数a,b,c,如果a<b ,b<c,则a<c。

由于任何自然数都可以由0经有穷次的后继演算而得到,所以可证这样定义的序(<)具有三歧性。即对于任意两个自然数m,n,在m<n,m=n,n<m,三者中有且只有一种成立。这样定义的序(<),就是自然数的大小。

【 3) 怎样比较两个实数的大小? 】

假定每个实数都能表示为带整数部分的无穷小数。

(1)如果两个实数的整数部分和无穷小数部分全部相等,则称此两实数相等。

(2)如果两数的整数部分相等,而a和b的无穷小数中,存在n(≥0),使前n位的有穷小数相等,a的第n+1位比b的第n+1位值小1,即b(n+1)-a(n+1)=1,以后a的无穷多位全是9,而b的各位全是0,则称a=b,两数相等。

(3)如果两数的整数部分相等, 而a和b的无穷小数中,存在n(>0),使a的前n位的有穷小数小于b的 前n位的有穷小数,而且不是(2)的情况,则称a小于b。

(4)如果a的整数部分等于b的整数部分減1,a的小数部分是0.999...,b的小数部分是0.000...,则称a=b。

(5)如果a的整数部分小于b的整数部分, 而且不是(4)的情况,则称a小于b。

【 4) 怎样比较两个复数的大小? 】

对于复数,没有定义它们之间的序关系,所以不能比较两个复数的大小。不过你可根据需要作出不同的序的定义。只是要注意作为复数的一部分的实数本身是有序的,这里必须协调一致。

【 5) 怎样比较两个序数的大小? 】

我们知道可以用一类特别的集合来定义序数。所有的序数都是集合。而且可以证明序数是「传递集合」。

定义。 如果集合s的任一元y中的任一元x,都是s自身的一元,则称集合s是传递集合。

还可以证明在序数中的属于关系(∈)滿足三歧性。即对任何两个序数序数α,β,三者: α∈β,α=β,β∈α中有且只有一个成立。

于是可以用「属于关系(∈)」来定义序数的大小。

        定义。如果序数α∈β,则称α<β。



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