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Zmn-0098 薛问天：再论有别于其它学科的【数学的逻辑缜密性】-评樊毅先生的回复。
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Zmn-0098 薛问天：再论有别于其它学科的【数学的逻辑缜密性】-评樊毅先生的回复。
【编者按。下面是薛问天先生对《zmn-0096》樊毅先生的回复的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。】
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再论有别于其它学科的【数学的逻辑缜密性】
-评樊毅先生的回复。
薛问天
xuewentian2006@sina.cn
(一)关于【 数学的另类缜密性】
樊先生讲【 数学缜密吗？是的。数学并不是随意进行创造的。但是，数学，也并不是在逻辑上“绝对”缜密的。】
是的，没有人会去追求【绝对缜密性】。我们所谈的【数学的逻辑缜密性】，当然都是相对的。在哲学上，我们要正确地认识【绝对真理】同【相对真理】的辩证关系。人对客观的认识，客观世界在人脑中的反映，不可能是绝对相同的镜面映像。人是通过感官和抽象思维来认识外界世界的。所谓【抽象】就是抽出一部分特性，而舍去一部分特性，这就决定了认识的相对性。但是要注意 ，不要认为【相对真理】不是真理，要认识到【相对真理】也是真理。【绝对真理】是寓于【相对真理】之中的。无穷的【相对真理】的长河构成了【绝对真理】。
牛顿力学是相对真理，爱因斯坦的相对论也是相对真理。它们并不相互否定，只是各有各的适用范围而已。同样欧氏几何同非欧几何也都是正确的，只不过反映的是不同的现实空间而已。
在人类文明的发展过程中， 有些认识的发展是不断纠正错误的过程，是后面的认识否定前面认识。如现代对宇宙的认识就否定了「地心说」和「天园地方说」。但是人类的认识发展过程并不完全都是「否定」，有些认识的过程是继承和发展的过程，即后面的认识并不完全否定前面的认识，是一种扩展和深入的关系，如上述的牛顿力学同相对论的关系，欧氏几何同非欧几何的关系等。在微积分中引入了变量和极限的概念，认识到无穷小是以0为极限的实数变量，否定了无穷小是常量的早期错误概念，这是否定 。然而非标准分析把「实数」扩展为「超实数」，是在「超实数」的基础上研究微积分。这里没有絲毫否定标准分析的意思。这不是否定，而是扩展和深入。所以不要认为「相对真理」就不是真理，就一定要被后面的「相对真理」否定。而要认识到「绝对真理」是寓于「相对真理」之中的，是以「相对真理」的形式出现的。
也就是说，不要以「数学缜密性」的相对性为由，而忽视了这种「缜密性」的重要性，或降低对它的要求。
樊毅先生说【 数学的另类缜密性，其实就是“得过且过”，只要没有大的基础性矛盾（如悖论），只要能够在数学问题研究上获得进展，数学就可以不管逻辑学上的问题，继续前行。】
这实际是在说既然达不到【绝对缜密】就【适可而止】【得过且过】。去追求【另类缜密性】，实际上就是降低标准。我不同意这种看法 。
我的意见是这样的。要针对不同的场合，不同的学科，选取不同程度的【缜密性】。
樊先生讲【 在逻辑学角度来看，如果一段描述性的说明，说明了某个概念的本质特征，那么也就可以等同于定义了。】这在其它学科 ，如语言学，物理学，化学，...等，甚至应用数学，或许己足够。对于数学的应用或称为【应用数学】，可以使用一些直观的自然语言，可以灵活地采用描述性的方法来解释数学概念，论证数学定律。不一定要拘泥于严格的公理-定义-定理的形式 。但是对于「理论数学」，特别是「数学基础」之类的数学学科， 这样的【另类缜密性】是不够的，还要【再缜密】。则必须强调更严格的【数学的缜密性】。要严到这样的程度，其中的每个概念都要有严格的确切的数学定义，极少量的原始概念要有相应的原则和公理的约束。每个推理步，都要有根有据，这个根据只能是公理、定义，和逻辑推理规则，而不能是什么想当然的【常识】等其它【不言而喻】的东西。
不知在这点上我同樊先生能否得到共识。理论数学，特别是基础数学，比起其它学科来说，要有更高更严的，不同于【另类缜密性】的更严格的【逻辑缜密性】。在其它学科可以使用描述性的【定义】，一般性的【推理】，而在数学中则要求有严格意义下的【数学定义】和【数学证明】。
(二) 关亍【 a≠{a}的推理】
在素朴集合论中，表达式a={b}，只是描述了b是集合a的元素 ，只是描述了两个对象b和a相互间具有的这样一种「属于」关系(b∈a)。并没有说【先有b，然后再有a】。也没有说【a是b生成的】，【a是b定义的】等。这里没有说【b一定不是集合】，也没有说【b一定不等于a】。所以你是无论如何也由此【推理】不出【对所有的a，a≠{a}】即推不出【不存在a使a={a}】来。
当然在素朴集合论中也【推理】不出来一定【存在a使a={a}】，只是没有排斥它的存在而已。
既然没有说【先有b，然后再有a】，也没有说【a是b生成的】，【a是b定义的】，自然就不存在循环生成或循环定义的错误的问题。
樊先生讲【 我的目的也根本不是证明什么a≠{a}，而是为了说明循环定义的重要意义。】
是的，如果该表达式是「生成(定义)」的含义，自然存在循环定义(循环生成)的问题，因而 ，我也承认【由(I)式和(II)式生成(定义)不了集合a使a={a}。】从而当然也不承认能由此推出 【存在a使a={a}】。但是问题是「该集合不能由(I)和(II)式生成」即「没有推出该集合的存在」，并不等于「推出该集合不存在」。
只有在假定【所有的集合都是由 (I)式或(II)式生成的(定义的)】条件下 ，才能由 【由(I)式和(II)式生成(定义)不了集合a使a={a}】推出 【不存在a使a={a}】来。可惜在素朴集合论中并没有 【所有的集合都是由 (I)式和(II)式生成的(定义的)】这样的假定。
樊先生所说的【 要想让a={a}，用别的“定义”方法都不行，只能强行把a定义为a={a}】 ，就隐含了他认为在素朴集合论中有上述假定。
另外在樊先生的【推理】中，用「某些个别集合」，如a=”苹果”，a=”0”，...等不可能使a={a}来作为论据，显然不具有说服力。我己说明(樊先生也己认可)，这里要推出的结论是【对所有的集合a，a≠{a}。】这里樊先生说【 这里把苹果换成任何一个确定的事物都是这样。】只是一种臆想，不能作为【推理】的依据。在集合的描述a={b}中并没有強行规定a≠b。因而并没有排斥【b就是a】的可能性。只要你不在素朴集合论中强行规定 【先有b，然后再有a】，【a是b生成的】，【a是b定义的】等，就不能排斥【b就是a】的可能性。
(三) 关于【几个数学问题】
樊先生这里用了【请教】二字，实不敢当。我谈点个人看法，我们共同切磋。
樊问: 【1） S={x|x∉S}，这里的S是否是集合？如果S是集合，那么这是否是个悖论？如果S不是集合，理由是什么？】
这取决于在哪个系统中讨论。
(1)如果是在素朴集合论中讨论。由于系统承认一般概括原则，所以承认滿足 S={x|x∉S}的S是集合，于是产生悖论: 对任何ⅹ，x∈S当且仅当 x∉S。
(2)如果是在现代集合论中讨论。由于现代集合论中修改了一般概括原则，只承认S是「类」而不一定是「集合」。见张锦文的《公理集合论》中的有关论述
所以， 滿足 S={x|x∉S}的S是类，而不能断定是集合。并且由于 如果该类存在，则对任何ⅹ，x∈S当且仅当 x∉S，是矛盾的。所以证明这样的类并不存在。即在现代集合论中 滿足 S={x|x∉S}的S是不存在的类。 这里并不产生悖论。这就是我的看法。
【 2） 怎样比较两个自然数的大小？】
我们可以这样来定义自然数集中的序(＜)。
(1)对任意自然数a,b，如果b=a+1，则a＜b。
(2)对任意自然数a,b,c，如果a＜b ，b＜c，则a＜c。
由于任何自然数都可以由0经有穷次的后继演算而得到，所以可证这样定义的序(＜)具有三歧性。即对于任意两个自然数m,n，在m＜n，m=n，n＜m，三者中有且只有一种成立。这样定义的序(＜)，就是自然数的大小。
【 3） 怎样比较两个实数的大小？ 】
假定每个实数都能表示为带整数部分的无穷小数。
(1)如果两个实数的整数部分和无穷小数部分全部相等，则称此两实数相等。
(2)如果两数的整数部分相等，而a和b的无穷小数中，存在n(≥0)，使前n位的有穷小数相等，a的第n+1位比b的第n+1位值小1，即b(n+1)-a(n+1)=1，以后a的无穷多位全是9，而b的各位全是0，则称a=b，两数相等。
(3)如果两数的整数部分相等， 而a和b的无穷小数中，存在n(＞0)，使a的前n位的有穷小数小于b的 前n位的有穷小数，而且不是(2)的情况，则称a小于b。
(4)如果a的整数部分等于b的整数部分減1，a的小数部分是0.999...，b的小数部分是0.000...，则称a=b。
(5)如果a的整数部分小于b的整数部分， 而且不是(4)的情况，则称a小于b。
【 4） 怎样比较两个复数的大小？ 】
对于复数，没有定义它们之间的序关系，所以不能比较两个复数的大小。不过你可根据需要作出不同的序的定义。只是要注意作为复数的一部分的实数本身是有序的，这里必须协调一致。
【 5） 怎样比较两个序数的大小？ 】
我们知道可以用一类特别的集合来定义序数。所有的序数都是集合。而且可以证明序数是「传递集合」。
定义。 如果集合s的任一元y中的任一元x，都是s自身的一元，则称集合s是传递集合。
还可以证明在序数中的属于关系(∈)滿足三歧性。即对任何两个序数序数α,β，三者: α∈β，α=β，β∈α中有且只有一个成立。
于是可以用「属于关系(∈)」来定义序数的大小。
定义。如果序数α∈β，则称α＜β。
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zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
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