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Zmn-0077薛问天：谈现代实无穷观-评林益先⽣《zmn-0072》的回复。
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Zmn-0077薛问天：谈现代实无穷观-评林益的回复。
【编者按。下⾯是薛问天先⽣对《zmn-0072》的评论。现在发布如下，供⽹友们共享。请⼤家关注并积极评论。】
谈现代实无穷观
-评林益先⽣《zmn-0072》的回复。
薛问天
xuewentian2006@sina.cn
看了林益先生的回复，我认为主要是「无穷观」的问题。林益先生的观点是典型的「潛无穷」观点 。建议林益先生读一些「潛无穷观」同「实无穷观」争论的历史。 同时还要注意，我们不仅要摈弃「潛无穷观」，还要同「古典实无穷观」划清界限。 要真正正确树立的是「现代实无穷观」。
我在5年前曾写过一篇短文,发布在《评论园地》上:《 易177-薛问天：区分两种实无穷观(2014.08,14)》。现引述一段供林益先生参考。
【19世纪末、20世纪初德国数学家康托尔系统地建立了集合理论、特别是关于无穷集合的理论。康托尔将无穷集合看作一个完成了的实体，他是个彻底的实无穷论者。20世纪以来集合论不断发展，已成为数学的一个非常重要的基础理论。康托尔的工作受到了包括大数学家希尔伯特在内的众多数学家的赞许，实无穷被众多的数学家所接受。
康托尔在《集合论基础》一书中指出：对于自然数序列1，2，3，…，尽管每个自然数都是从1开始，通过有穷次相继加1而产生的。但是全体自然数的集合却是一个完整的、存在着的无穷集合。这与潜无穷观认为自然数序列的生成过程永远也不会终止的观点是截然不同的。潜无穷观既然认为自然数的生成过程永远也不会完成，因而认为自然数序列并不构成一个“集合”。因为集合的元素必须是确定的，是已经完全生成好的对象。所以说，潜无穷观者并不承认全体自然数集合的存在，不承认它是一个无穷集合。】
集合论是建立在「实无穷观」的基础之上的。集合论是把“集合(包括有穷集合和无穷集合)”作为确定的数学对象来研究的 。可以设想一下，如果连全体自然数集合都不承认是确定的数学对象，那集合论的研究还怎么开展，集合论的理论还怎么建立?可见树立「实无穷观」对研究集合论有多么重要！
(1) 实无穷观认为: 「全体自然数集合」是确定的数学对象。
那么怎么理解实无穷观认为「 全体自然数的集合是一个 存在着的、完整的、确定的数学对象」呢？尽管每个自然数都是「由1经有穷次的后继运算生成的」。但是「全体自然数集合」却是「由所有自然数构成的确定的集合」。
什么是「确定的数学对象」就是说这个对象的内涵和外延不再变化。请注意我们用的是「全体」和「所有」这个词。而这个词的内涵是确定的，不变的。不管怎么变，我指的都是「全体」和「所有」，不会变成只是「一部分」或其它涵意。所以说它的内涵是确定的。至于「全体自然数集合」的外延是不是在不断变化呢?也没变，林益先生所说的 【由于这个不确定性，通过n+1体现出来，进行不断的延伸，才能形成无穷的自然数集，】所指的这些是全体自然数集的生成过程。可以认为全体自然数集是由有穷个自然数集的外延不断变化和无限延伸而生成的。所指的不确定性和变化都指的是在「全体自然数集合」生成过程中，它的有穷子集合的外延的变化。由n个自然数构成的有穷集合，延伸到由n+1个自然数构成的有穷集合。指的是在生成过程中，这些有穷集合的外延在变，而不是生成过程完成后，己经包括所有自然数的「全体自然数集合」的外延在变。而「全体自然数集合」由于己经包括了「所有的自然数」，它的外延就不可能再增加了。如能增加变多，就不能说它包括了「所有的自然数」。所以说 「全体自然数集合」它的内涵和外延都是确定不变的。因而它是确定的数学对象。
也许林益先生会问，你说的 「全体自然数集合」不是由这些有穷集合【 进行不断的延伸，才能形成无穷的自然数集】的吗?是的，这是指的自然数的生成过程。而当我们用了「所有的自然数」这个词以后(人的思维是通过语言进行的)，就表示自然数的生成过程己经完成， 「全体自然数集合」己经形成。这就是自然数生成过程中的量变到过程完成的质变。是一种飞跃，由外延不断变化的有穷集合序列，变成确定的外延不再变化的无穷集合。
因而林益先生所说的【 如果说无穷和有限有根本区别，那就是：有穷的数学对象不再变化，不再延伸；无穷对象不断变化，不断延伸。】是不对的。
有穷集合和无穷集合一旦给定，它们的内涵和外延就都是确定的不变的。正因为如此，它们才称得上是确定的数学对象。一个有穷集合同一个无穷集合的区别在于一个有穷集合元素的个数是有穷的，而一个无穷集合的元素个数是无穷的。並不是说无穷集合的外延可以延伸，可以变化。属于集合的元素，永远属于该集合，不属于的永远不属于。给定的无穷集合本身的外延是不能延伸和变化的，延伸后就成另外的集合了！不要认为无穷就是在不断的变化，这种把无穷看作是「不断在变」的观点是「潛无穷观」而不是「实无穷观」。
当然，我们承认自然数不断生成的过程可以完成，而且也𠄘认这个生成过程完成后所生成的结果是个确定的「全体自数集合」。但是由于这个生成过程是个无穷过程，它具有无穷过程的特点。并不像有穷过程那样，有一个确定的终结时刻。现代实无穷观认为这个无穷的生成过程尽管可以完成，但是并不存在一个确定的终结时刻，没有生成过程的最后一步，自然也就不存在最后一步所生成的最后一个自然数: 「最大自然数」了。
不仅 「全体自然数集合」是确定的数学对象，那些有明确定义的无穷集合也都是确定的数学对象。例如「全体偶数的集合」，一个数是偶数就属于该集合，不是偶数就不属于该集合。 全体偶数都在集合里，你还能认为这个集合在不断变化吗？该集合不会再变化了。所以这个无穷集是确定的数学对象。另外像「全体奇数的集合」，「全体质数的集合」，...等这些给定的无穷集合都是确定的集合，确定的数学对袅。这就是「实无穷观」对集合的看法。
(2) 关于「无穷」概念。
林益先生说: 【 既然谈到「无穷观」，首先就要明确什么叫「无穷」？如果对「无穷」的概念没有统一认识，探讨涉及「无穷」的问题，是没有任何价值和意义的，根本谈不上“树立起正确的无穷观。”。请问薛老师，什么叫无穷？你的具体「无穷观」是什么？】
我们谈「无穷」，不要抽象地谈。抽象的「无穷」概念 是从具体的「无穷对象」中抽象出来的， 是个哲学概念。我们搞数学的，就是要结合数学和逻辑学中各种实在的「无穷对象」具体地分析。「无穷观」也都是在这些具体的「无穷对象」中体现出来的。前面我们以「全体自然数集合」为例分析了「无穷集合」。指出了「实无穷观」认为这些给定的无穷集合都是确定的数学对象，而不是「潛无穷观」认为的那样，是不断变化的不确定的对象。
谈到「无穷对象」总是同「有穷对象」相对而言的。
在逻辑学中，要区分有穷步推理和无穷步推理，只有有穷步推理是有效的，而无穷步推理是不允许的 ，是禁忌使用的。
在数学中涉及的有穷和无穷对象比较多 。如:
有穷集合同无穷集合，
有穷序列同无穷序列，
有穷(位)小数同无穷(位)小数，
有穷位编码数(自然数)同无穷位编码数(p-adic整数)，
有穷级数同无穷级数，
有穷二叉树同无穷二叉树，
有穷序数同无穷序数，
有穷基数同无穷基数，
有穷步演算和无穷步演算(部分禁忌)，
......。
我们掌握有穷的数学对象和无穷数学对象的区别，以及它们之间的关系等问题，就是要对这样实际的对象来具体分析，才能求得正确的认识，正确的「无穷观」才能得以显现。相反地，如果是空对空地空谈「无穷」，才是【 没有任何价值和意义的】。所以我主张具体问题具体分析，不要一上来就空谈什么【统一的无穷理论】。
下面我们来具体分析，「无穷小数」也是确定的对象。
(3) 无穷位小数，如「0.999...。」是确定的数学对象。
有穷位的有穷小数是确定的数学对象，这一般不存在问题。重点是，要能确认有无穷位的无穷小数也是确定的数学对象。
林益先生问道: 【 请问薛老师：“而无穷小数是小数点后有无穷位的小数。”只有确定才能保证不再变化，才能保证是“完整的有确定数值的「确定的数」。”你能确定0.999⋯有确定的无穷位吗？你能保证0.999⋯的位数是完整的不在延伸、不在变化的吗？你能保证0.999⋯是完整的有确定数值的「确定的数」吗？既然0.999⋯是“完整的有确定数值的「确定的数」。”它的位数你能表示它确定的值吗？」 】
【 小数0.999⋯有多少个9吗？你能用一个数学符号表示吗？是∞？还是ω？】
对于无穷小数「0.333... 」林益先生也有同样的问题:【 0.333⋯是无穷小数，它有确定的位数吗？为什么位数不确定，因为它的位数可以不断延伸，和值随着位数可以不断延伸也在不断变化着，不是吗？如果不在延伸，必然是有限位的。无论用哪一种方法得到的，不同样是因为它的值不确定，无限趋近于(1/3)吗？“趋近”与“等于”的含义相同吗？】
这里首先要搞清有穷(位)小数的「无穷序列」和「无穷位小数」两者的区别。这是两个不同的数学概念(对象)。「0.9，0.99，0.999，...」这是由有穷小数构成的「无穷序列」。这里的“...”代表的是那些剩余的没有写出来的无穷个有穷小数。(注意这个序列中全是有穷小数，但有无穷多个。就如同全体自然数集合中，全是有穷自然数，但有无穷多个自然数是一样。)
而「0.999...」是一个无穷(位)小数，只是一个数。但它的小数点后有无穷多个位，每位的值都是9。这里的 “...”代表的是那些剩余的没有写出来的无穷多个位及相应的值9。
后者「无穷小数」并不是前者「无穷序列」的【缩写】，这两者分别是两个不同的单独的数学对象。
就如同实无穷观把由无穷个自然数构成的全体自然集合看作是不再变化的「确定的数学对象」一样，实无穷观也把无穷小数看作是确定的对象，把其中的「无穷多个位及相应的各位的值」看作是不再变化的确定的内容。既然说它是小数点后「所有的无穷位」，它就不能再增加，再变化了。所以它是不再变化的确定的内容。
当然你也可以把无穷小数0.999...㸔作是由无穷序列0.9，0.99，0.999，...一系列有穷小数经过「无限延伸」的生成过程而生成的。但那是指无穷小数的生成过程。在生成过程中，这一系列「有穷小数」的位数不断延伸(变化)。但生成过程完成后，就己经由量变到质变，由一系列有穷小数变成了一个无穷小数了。既然无穷小数的位数己经是包含了所有无穷多个位了，就不再变化，成为确定的了。这同理解全体自然数集合是确定的数学对象是一个道理。这里有个飞跃， 由外延不断延伸的一系列有穷集合变成了一个外延不再变化的确定的无穷集合。
全体自然数的集合是个确定的集合，无穷小数点后的位数(以及各位相应的值)也是个确定的集合。至于林益问道它们的个数是多少，以及如何表示。那是另一个问题，即如何度量无穷集合中元素的个数的问题。集合论用「基数」来标明集合中元素的「个数」。凡两个集合间能建立一一对应，则称为它们具有相等的基数。由于全体自然数集能同无穷小数的位集建立一一对应。所以它们的基数相等，可以用第一个超穷基数Aleph-0表示。通常称之为「可数无穷」。
(4) 关于「 无穷次0右移演算」后结果序列中0的消失的证明
林益先生对此证明产生了质疑。林说:【 “存在”通过证明就变成“不存在”，这种证明的方法可靠吗？证明的意义何在？ 】又说【 请问薛老师：0真的不存在吗？0为什么不再存在了。不再存在总应该有不再存在的理由吧！它难道它能自生自灭吗？不再存在那完全是有人故意或有人根本不懂数学把它弄失了。否则它肯定在某一被人容易忽略的地方。是的，“⋯”可以掩盖一切真实，给人留下各种不同的理解，空间，使得真理丧失。用偷梁换柱的方法去证明无穷问题，还能谈什么树立正确的「无穷观」呢？】
我们讲的「0右移演算」开始是对标谁顺序的自然数序列0，1，2，3，...进行的。经过演算后0在演算结果序列中的位置己经后移,己不是原来标准顺序的自然数序列了。经有穷次的「0右移演算」，0还保持在结果序列中。问题是经过无穷次的「0右移演算」，在演算结果序列中，0还存在不存在?我们是在「不知道」它是否存在的情况下，证明它在结果序列中不存在的。并不是如林益先生所说【 “存在”通过证明就变成“不存在”】。你根据什么说它 【 “存在”】呢？
我们说在 「 无穷次0右移演算」的结果序列中0不存在当然是有理由的 。这个理由就是该证明。如果你指不出该证明有错，证明就是最充足的理由。你要是指不出证明是在哪些地方【偷梁换柱】，你就得承认它是数学上的【真理】。
我们来分析演算的过程中结果序列的变化 。
原始序列是: 0，1，2，3，...，n-1，n，...
1次演算后: 1，0，2，3，...，n-1，n，...
2次演算后: 1，2，0，3，...，n-1，n，...
3次演算后: 1，2，3，0，...，n-1，n，...
.....
(n-1) 次 后: 1，2，3，4，...，0，n，...
n次演算后: 1，2，3，4，...，n，0，...
......
无穷次后 : 1，2，3，4，...，n，n+1，...
开始时序列的第1项是0，...，第n项是n-1，...。
经过1次0右移演算后，序列的第1项变为1，第2项变为0，序列的后面各项不变。
我们发现序列的笫1项 ，经第1次演算变为1以后，根椐0右移演算的定义，在以后的演算中该项为1将永远不会再变。所以在经无穷次右移演算后 ，结果序列的第1项必然仍为1，是确定的。
同理， 对任意的自然数n，序列的笫n项 ，经第n次演算变为n以后，根椐0右移演算的定义，在以后的演算中该项为n将永远不会再变。所以在经无穷次右移演算后 ，结果序列的第n项必然仍为n。由于这里的n是 任意的自然数，因而， 在经无穷次右移演算后的结果序列是有定义的，是确定的。正因为如此我们才断定无穷次0右移演算是有定义的无穷演算，不在禁忌之列。
这样一来， 证明「0在无穷次0右移演算的结果序列中不存在」就成为相当容易的事了。用反证法。假定0在结果序列中存在 ，即存在有自然数K＞0，0是结果序列的第K项。但这是不可能的。因为根椐前面的分析的结论，结果序列的第K项为K(＞0)。所以此假定不成立，命题得证。
看了上述证明就明自了，林益先生的下述指责是毫无根据的。【 “显然经过有穷次的0右移，”已经改变了自然数原来的变化规律，变成新的数列，完全改变了原来自然数的变化规律，如果按照新的数列，已经不和符合自然数数列的要求，不能再称为自然数数列，却又用原来自然数的变化规律a_n=n+1去证明新的数列的变化规律，亏得薛老师能想得出来这种高明的方法，不过，证明的依据是什么？判断的标准是什么？谁能搞清楚？用没有变化的规律去证明已经变化了的现实，这就是薛老师的高招吧！」】
在我的证明中并没有【 用原来自然数的变化规律a_n=n+1去证明新的数列的变化规律】，也没有【 用没有变化的规律去证明已经变化了的现实，】这是一个非常简单的普普通通的推理证明，不是什么【高招】。证明的根据就只是无穷序列以及0右移演算的的定义，并没有用到什么【 自然数的变化规律】(我在上次说的证明中写错了，正确的写法应是「 在经过n次右移演算后 ，结果序列的第n项为n。」证明以此次和《 Zmn-0030薛问天: 再谈无穷步演算的禁忌》的表述为准。)
(5) 关于 1除以3，商为无穷小数0.333...时，余数为0的证明。
在上次文章中我曾写到:
我们知道对于除法中有这样的关系:<被除数>=<除数>×<商数>+<余数>。
对于1÷3来说有如下关系:
1=3×0.3+0.1，
1=3×0.33+0.01，
1=3×0.333+0.001，
⋯⋯。
也就是说当商分别是有穷小数0.3，0.33，0.333，⋯时，余数分别是0.1，0.01，0.001，⋯。余次类推。商每增加一位，余数也增加一位，1右移1位。
注意这里所说的各<商数>，实际上是近似商。各个不为0的<余数>，是在取近似商的情况下， 尚未被除尽的 <被除数>的<余数>，有待继续被除。而不是准确商同近似商的差。只有在 <余数>为0时， <商数>才是准确的商。
我们可以证明当 <商数>是无穷小数0.333⋯时， 1=3×0333⋯+<余数>，中的 「余数」 发生了质的飞跃。「余数不等于0」己不再成立。这个余数=0.000⋯。小数点后是无穷个0.，其中的1消失了。因为这个余数要小于所有商是有穷小数时的余数。1不可能在这个余数的任何一位出现。如果出现，就可能有某个商是有穷小数时的余数比这个余数还要小，这不可能，否则就出现矛盾。所以这个余数小数点后全是0。就如同在进行「1右移演算」，有穷次右移，1还在序列中，但无穷次的右移后，1就在序列中消失了。
林益先生问:【 敬请薛老师给出「1右移演算」，无穷次的右移后，1就在序列中消失了的证明吧。」】
林益先生误解了，我这里说的是〖 就如同在进行「1右移演算」......〗。实际证明并不是用 「1右移演算」证明的。证明是后面的那段话:〖 这个余数=0.000⋯。小数点后是无穷个0.，其中的1消失了。因为这个余数要小于所有商是有穷小数时的余数。1不可能在这个余数的任何一位出现。如果出现，就可能有某个商是有穷小数时的余数比这个余数还要小，这不可能，否则就出现矛盾。所以这个余数小数点后全是0。〗
下面对这句话作些说明。因为这里涉及无穷小数的数值等于多少的问题。
我们知道有穷小数0.a1a2...an的数值等于
a1×0.1+a2×0.01+a3×0.001+...+an×10(-n)。
是有穷项相加的和，这在概念上是清楚的。
而无穷小数0.a1a2...an...的数值等于
a1×0.1+a2×0.01+a3×0.001+...+an×10(-n)+...
这是无穷项相加的和，需要严格定义。在数学上这叫无穷级数的和。在数学上把它定义为部分和序列的极限。亦即把无穷小数0.a1a2...an...的数值定义为部分和无穷序列0.a1，0.a1a2，0.a1a2a3，... 的极限。注意在这里如果此部分和序列的极限是A，则该无穷级数的和即此无穷小数的值就等于A。而不是说【该无穷小数的极限是A】。无穷小数是一个确定的数，它不是一个无穷序列，怎么会有极限呢？而是说「 此无穷小数的值就等于A」。
从这个无穷小数的数值的定义来着，无穷小数0.333...大于所有的近似商(有穷小数): 0.3，0.33，0.333，...。从而以无穷小数0.333...为商的余数必然小于所有以有穷小数0.3，0.33，0.333，...为近似商的相应的余数。基于这个事实就很容易用反证法来证明以无穷小数0.333...为商的余数等于0.000...， 小数点后是无穷个0.，其中没有1。具体证明如前所述: 1不可能在这个余数的任何一位出现。假定出现，就可能有相对于某个近似商(有穷小数)的余数比这个余数还要小。这不可能，同前述事实相矛盾。所以这个余数的小数点后全是0。证毕
以无穷小数0.333...为商的余数等于0.000...，就直接证明了1/3=0.333...。这里是等号。是说无穷小数0.333...的值等于1/3，而不是说该无穷小数的极限是1/3。无穷小数是一个确定的数，不是无穷序列，从而只有它的数值等于多少的概念，而没有它的极限是多少的概念。
，
林益先生问:【 请问薛老师：确实有人认为“在很远很远的地方，有个无穷终点。”本来0.999⋯是在不断变化着的，他却认为到了无穷终点，不再变化，变成了定值1。1不就是一个终点吗？】
首先要明确，我己多次说明，无穷小数0.999...是个确定的数，不是【正在变化着的】对象。当然可以认为它是在生成过程中，是由有穷小数的序列0.9，0.99，0.999，...无限延伸而生成的。但是这个变化是只在生成过程中才出现的。实无穷观认为这个生成过程是可以完成的。当生成过程完成后，无穷小数己具有小数点后所有的无穷个位，所以不再变化了。也就是说，这无穷个位构成的集合，是个确定的集合，因而无穷小数是个确定的数学对象。
现代实无穷观认为这个生成过程可以完成，生成过程的结果是生成了一个无穷(位)小数。但并不认为生成过程有一个确定的终止的时刻(终点，最后一步)，在终止时刻生成了这个无穷(位)小数。也就是说，并不认为这个无穷小数是生成过程中那些有穷小数的最后一个(有穷小数序列的终点)。
0.999...和1.000...是两个不同形式的无穷小数，但是根据无穷小数数值的定义(无穷级数的和)，所定义的数值相同，代表的是同一个有理数。也就是说用无穷小数来定义有理数时，表示不唯一。因而不能说1是【变化着的】0.999...的【终点】。而正确的说法是「 0.999...和1.000...是两个不同形式的无穷小数，它们的数值相同，代表的是同一个有理数。」
林益先生还说【不就是象无穷列车，有无穷个终点车站吗？自然数的终点是ω吗？否则，怎么认为一切自然数小于ω呢？怎么有ω、⋯、ω^ω，⋯，〖ω^ω〗^⋰，...的序列出现呢？ω、⋯、ω^ω，⋯，〖ω^ω〗^⋰，...不就是所谓无穷个终点车站吗？！】
不是的，【 一切自然数小于ω】，并不等于说ω是最大的自然数，不能说ω是自然数能夠到达的【终点车站】。在序数的定义中是用「全体自然数集合」来定义ω的，并不是用【最大的自然数】来定义超穷序数的 ，所以不能把ω看作是自然数可以到达的【终点】。
我们不仅要摈弃「潛无穷观」，还要同「古典实无穷观」划请界限。树立「现代实无穷观」(参见 《 易177-薛问天：区分两种实无穷观(2014.08,14)》)。
现代实无穷观认为「全体自然数集合」的生成过程，是一个由无穷的后继演算构成的生成过程，这个过程可以完成。可以生成一个称为「全体自然数集合」的确定的数学对象。但是这个无穷的生成过程并不存在一个确定的终结时刻，不存在生成过程可以达到的终点(最后一步的后继演算)。生成过程完成后所生成的数学对象，并不是在最后一步后继演算所生成的最后的(最大的)自然数。所以不要产生幻觉，以为 在很远很远的地方，有个「无穷终点」。有个「自然数可以到达的终点」。
同样，序数链中的其它没有前趋的序数，也都不能看作是前面序数可以到达的沿途【终点车站】。
林益先生文中涉及的问题很多，有些可能本文还未涉及到，就先评论到这里。
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