Zmn-0071 反对伊战；对林益先生《0.333… 是实数吗？》的回复

【编者按。下面是反对伊战先生对《zmn-0070》林益先生文章的回复。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。】

对林益先生《0.333… 是实数吗？》的回复

反对伊战

0.333…是实数。0.333… 是有理数数列0.3, 0.33， 0.333…的缩写，而0.3, 0.33， 0.333…是一个有理数的柯西列，所以，按定义0.333… 是一个实数。一个实数，就是一个有理数的柯西列。0.3, 0.33， 0.333…这个柯西列与柯西列1/3， 1/3， 1/3…等价（因为，这两个序列的第n项之差当n趋于无穷时，趋于0），所以，0.333…=1/3。

序列0.3, 0.33， 0.333…，按定义，是一个从自然数集到有理数集的映射f，f满足对一切自然数n有f(n)= 0.333…3(n个3)。所以，0.333…是一个完全确定的东西，并非不确定，“不断变化之中”。

几千年来，人们一直将0.333…看作一个实数，并非2000年后才如此。

数的概念，来自于实际生活，人们几千年前就有了数的概念。不过，在很长时间里，数的概念并没有严格的定义。人们把能够表为两个整数之比（分母不为零）的数称为有理数， 不是有理数的数称为无理数。后来，又有了复数的概念，于是把原来的数称为实数，不是实数的复数称为虚数。

人们证明一个实数是无理数，并不是通过计算其十进制表达式来进行的。证明一个实数是无理数，通常是假设这个数是一个有理数，从而能表为m/n形式，m,n都是整数，n不为零，然后再导出矛盾，从而这个数是一个无理数。

用有理数的柯西列定义实数与“闭区间套定理”无关。另外，存在唯一实数是所有闭区间套的公共点，并不意味着有一个闭区间是单点集，可考虑下面的例子：区间为【-1/n, 1/n】, n=1,2,3,…

利用柯西列0.3, 0.33， 0.333…参与运算，并不会出问题。比如两个实数做加法。设两个有理数的柯西列，第n项分别为a_n,b_n，我们将a_n,b_n相加，得到一个新的柯西列，第n项为a_n+b_n。这样，就完成了两个实数的加法。所以，利用柯西列参与运算，没有问题。

兀的十进制表达式为序列3.1, 3.14, 3141…。关于(a_n-a_m)，假定n>m，则(a_n-a_m)的绝对值小于10的（-m）次方，所以，当n,m趋于无穷时，(a_n-a_m) 趋于0，所以，序列3.1, 3.14, 3141…为一柯西列。

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