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Zmn-0065 一阳生:两个问题

已有 996 次阅读 2019-11-9 13:19 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0065  一阳生:两个问题

【编者按:这是一阳生先生的来信,信中提出了两个问题。现在发布如下,供各位网友共享,并欢迎大家关注和积极参与评论。】

 

两个问题

一阳生

 

文清慧老师您好!曾经通过您向薛问天老师请教过一些疑惑。也很荣幸的得到了薛老师的回复。可能是当时我的表达不够准确深入,现在对其中一个问题重新思考了一下。还需麻烦文清慧老师转发薛老师,并可以在评论上发表。先谢谢!

等待薛老师和所有老师的回复批评。

 

第一个问题:

用集合定义自然数:

0 = ∅

1 = {0}

2 = 1∪{1} = {0,1}

3 = 2∪{2} = {0,1,2}

4 = 3∪{3} = {0,1,2,3}

……

自然数概念本身及具体数字本身都只是名,集合是本质。

皮诺亚公理一:0是自然数。

皮诺亚公理二:若n是自然数,则n的后继n‘也是自然数。

皮诺亚公理三:所有自然数的后继都不是0。

皮诺亚公理4:自然数不同,后继不同。

用集合定义自然数,公理一、公理二是定义,公理三、公理四可以被证明。

皮诺亚公理五:设P是关于自然数的一个性质。验证P(0)是真的,并假设只要P(n)是真的,P(n‘)也是真的。那么性质P对于所有的自然数都是真的。

公理五特别的内涵是由个体推及全体,由有限推及无限。但在没有公理五的条件下,单独通过集合论可以由个体推及全体吗?或者公理五可以被集合论证明吗?(这条公理在集合论中作为结论被证明,而不是与集合论共同作为前提推出结论)。

如果不能,数学基础不能仅仅是集合论而且至少包括归纳法原理。

 

加法定义:m是自然数.为使m加上零,我们定义0+m:=m.现归纳的假定已定义好如何使m加上n.那么把m加于n则定义为n+m:=(n+m).

加法定义首先规定了两个自然数可以相加(+),相加的结果是有意义的(与等号右边的某自然数相等),或者说这定义了加法运算。这根据加法定义可用数学归纳法直接证明。其次规定相加的结果等于某特定自然数(0+m:=m而不是0+m:=m0+m=m而不是0+m=(m)),或者说这假设了自然数之间的关系。

虽然可以把自然数替换成集合,加法可以用集合的语言来定义。但这是把加法定义本身作为前提,把两个规定作为前提使用的结果。

加法定义中的两个规定在自然数本质为集合的条件下,依然是由加法定义本身赋予还是成为可以被集合论证明的结论呢?

如果加法定义中的两个规定是独立于集合论的,我会认为仅仅把一些特别集合定义为自然数,但依然使用自然数加法定义规定的运算法则,而运算法则本身不能在集合论中被证明(不是定义,定义是在运算法则的前提下),是没有必要的,甚至是错误的。集合论、皮诺亚公理和加法定义(和自然数的相等公理)共同组成了数学的基础。

 

第二个问题:

如果用具体的变量符号(如n)表示某个一般性的自然数,那么全称量词所有并不等价于量词任一每一

对于任一自然数n(或设n是自然数),则以n为元素的。自然数集合可以表示为{0,1,2,3…n,n+1,n+2,n+3…}。设P是关于自然数的性质,性质P(n)真,则自然数集合中的元素如n+1、n+2,n+3等等关于性质P的真假并不确定,因为n可以取值(等于)自然数集合中的元素如0,1,2,3…,n,但无法取值n+1,n+2,n+3…。因为n不等于n+1,不等于n+2,不等于n+3等等。须用数学归纳法证明所有自然数关于性质P的真假,因为在假设P(n)真条件下,证明了P(n+1)真。

 

我进一步推广了一下,如果用具体的变量符号(如x),表示某个一般性的实数,那么对于任一实数x(或设x是实数),性质P(x)真,不等价于对所有实数都真。如P(x+a)真假不确定,a0。对x进行取值,可让a为一常数,随着x取值越来越多,x+a曾经取过的值都在x的取值范围内,但总有新的取值不在x的取值范围之内。即x与x+a的取值范围并不完全重合

文清慧老师,我对这个问题重新思考了一下,对于自然数方面希望比较严谨的表达了我的认知,关于实数的推广方面,表达能力有限。



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