Zmn-0069 薛问天: 树立正确的「无穷观」，评林益的【困惑】

【编者按。下面是薛问天先生对《zmn-0066》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。】

树立正确的「无穷观」，评林益的【困惑】

薛问天
xuewentian2006@sina.cn

(一)

我一直在想为什么林益先生会对《1=0.999...》产生困惑，而且持续不解?从林益先生的回复来看，这绝不是逻辑的问题，讲道理的问题。道理林益全都懂。正如他所说【参照教材，依葫芦画瓢就行了，这一点我一点都没有问题。】我举了很多证明 《1=0.999...》的例子，林益说【老实说...我都会，毕竟我在探讨这个问题，各种可能我都得尝试。】

照常理说，一个搞数学的人是高度相信「证明」的。为什么林益先生知道那么多关于 《1=0.999...》的证明，而且也从未发现这些证明有什么纰漏，可他总是心里不踏实，对它的正确性表示怀疑。究竟为什么?问题出在哪里?

我想来想去，这是树立正确「无穷观」的问题。什么是正确的(实)无穷观 。那就是:

「首先承认无穷和有穷都是确定的数学对象。其次承认有穷对象同无穷对象有原则区别，有质的不同。从有穷到无穷是一种质的飞跃。对有穷对象成立的规律、性质，不一定对无穷对象都必须成立，可能有些就变化了，变得不成立了。」

相反地，错误的无穷观则认为:

「无穷不是确定的对象，是正在变化的对象。从有穷到无穷，只是有穷的简单的延伸，并无质的飞跃，有穷对象同无穷对象之间没有明显的区分。在有穷情况下成立的规律和性质必然地可推及在无穷情况下也是成立的 。」

我说的「无穷观」，主要不是指表面的，口头的或者字面上的，而是指思想深处的和根深啻固的无穷观。有些人口头上、道理上也认可正确的无穷观，但是一遇到具体问题，错误的无穷观就来作怪了。所以树立正确的无穷观也不是件容易的事。要从多次的事实中，不断地总结经验，树立起正确的无穷观。

林益先生你还记得四年前(2015年)有关「无穷终点幻觉」的讨论吗?你曾对我的评论大加赞赏。但是也能听出来，你思想深处还是有保留的。我最近又找出来《 易220-薛问天：无穷终点幻觉》和《 易224-林益：赞《无穷终点幻觉》》这两篇文章，重读了一遍。

因为有穷的对象是有始有终的。所以有些人就以为这个性质可以必然推及到无穷，从而产生一种幻觉，认为无穷对象【 在很远很远的地方，有个无穷终点。 】其实这就是认为「在有穷情况下成立的性质必然地可推及无穷」的错误的「无穷观」的一种表现。

为了说明无穷和有穷的原则区别，从有穷到无穷的质的飞跃。我给你介绐我写的两篇文章《zmn-003 薛问天：无穷的忌用-》和《Zmn-0030薛问天: 再谈无穷步演算的禁忌》。文中论述了一种无穷演算，称为「0右移演算」。

设有一无穷序列0，1，2，3，…。如果把其中的0同它后面的数字交换一下位置，向右移一个位置，序列中其它元素均保持不变，就形成一个新的序列。我们把这种对序列的演算称为0右移演算。

显然经过有穷次的0右移，此序列中仍包含有0。但是经过无穷次的0右移演算后，奇迹出现了。在演算结果的序列中，0己经不再存在了。

当然这不是说不存在就不存在 。而是可以严格证明它不存在。用反证法。假定在结果序列中存在自然数n，使an=0。显然这同结果序列的an=n+1≠0相矛盾。因为我们知道在经n+1步的0右移演算后an就等于n+1。而且以后的0右移不再改变此an的值。所以在无穷次0右移后的结果序列中 an就还等于n+1而不等于0。反证法开始的假定不成立，所以使an=0的n不存在。命题得证。

有穷次0右移，0还在结果序列中，但经无穷次0右移 ，0就消失了。这就是无穷同有穷的原则不同，这就是质的飞跃。不要错误地以为有穷情况下成立的性质 ，在无穷下一定成立。要在你的思想深处牢固地树立正确的「无穷观」。

(二)

现在我们来分析林益的回复。

(1)林益先生说:

【...是否可以用相等关系表示1÷3与0.3333...，还是说不清道不明的问题。明明永远有余数，虽然是无穷的小，无限逼近于0，但毕竟不是0。终总不能眼睁睁的忽略不计吧！数学是严密的科学，不能马马虎虎吧！】

这句话是认为有穷的性质必然可推及无穷的错误的典型事例。

我们知道对于除法中有这样的关系:<被除数>=<除数>×<商数>+<余数>。

对于1÷3来说有如下关系:

1=3×0.3+0.1，

1=3×0.33+0.01，

1=3×0.333+0.001，

......。

也就是说当商是有穷小数0.3，0.33，0.333，...时，余数分别是0.1，0.01，0.001，...。余次类推。商每增加一位，余数也增加一位，1右移1位 。

林益先生说得对 【 明明永远有余数，虽然是无穷的小，无限逼近于0毕竟不是0。】这正是说的是在商是有穷小数时的情况。也就是说商是有穷小数的情况下余数不等于0。

那么在商是无穷小数0.333...时，余数是否还不等于0呢。在这里林益先生把在商是有穷小数的情况下成立的性质「余数不等于0」，必然地推及到无穷了。他认为在商是无穷小数的情况下也应该「余数不等于0」。于是他说【 终总不能眼睁睁的忽略不计吧！】这句话说的是商是无穷小数0.333...的情况。

我们可以证明当商是无穷小数0.333...时发生了飞跃质变。1=3×0333...+<余数>， 这时「余数不等于0」己不再成立。这个余数=0.000...。小数点后是无穷个0。1消失了。因为这个余数要小于所有商是有穷小数时的余数。1不可能在这个余数的任何一位出现。如果出现，就可能有某个商是有穷小数时的余数比这个余数还要小 ，这不可能，否则就出现矛盾。所以这个余数小数点后全是0。就如同在进行「1右移演算」，有穷次右移，1还在序列中，但无穷次的右移后，1就在序列中消失了。

由于这个余数等于0，从而证明了1=3×0.333...=0.999...。和1÷3=0.333...。这个相等关系是可以证明的，并不是什么【说不清道不明的问题。】

可见正是【 数学是严密的科学，不能马马虎虎吧！】才不能马马虎虎地把在商是有穷小数的情况下成立的性质 「余数不等于0」，毫无理由地推及无穷，认为在商是无穷小数的时候也成立。事实证明这时余数等于0。也就是说林益先生在这里无意中犯了 认为「在有穷情况下成立的性质必然地可推及无穷」的「无穷观」的错误。

(2)林益先生对我对他的【方法一】的评论，提出了一连串的质问。

他质问:A={0.9，0.99，0.999，...} 是无穷集吗?B={0.1，0.01，0 .001，...}，及N={1，2，3，...}是无穷集合吗?无穷小数0.999...的位是否能同N构成一一对应关系，A及B是否能同N构成一一对应关系，【有什么理由认为A中的项都是有穷小数？】

显然 ，A，B，N都是无穷集合。而且A和B都同N可构成一一对应， 无穷小数0.999...的位也能同N构成一一对应关系。这一切都同A中的项都是有穷小数无关。

为什么A中的项都是有穷小数?理由很简单，A就是这么定义的。按照林益先生在《zmn-0061》的定义，集合A的元素为an=1-10^(-n)，n∈N。也就是说集合A中的元素都是小数点后有n个9的有穷小数 。这里实际上还是对自然数的理解的问题。我们说任何自然数都是有穷数，是根据皮亚诺公理五讲的。「 皮亚诺公理五(C)：任何自然数，或者是0，或者可以由0经有穷次的后继运算而得到。」(参见我刚发布的《 Zmn-0067 薛问天；评一阳生先生的《两个问题》》)。所以对任何n∈N， 小数点后有n个9的小数都是有穷小数 。

我们要想通下面这个事实。所有自然数都是有穷数，但这些有穷数有无穷多个，即所有自然数的集合是无穷集合。可是在这个无穷集合中并不包含什么「无穷大数」。

同样的 ，所有在小数点后有有穷个9的小数，如0.9，0.99，0.999，...都是有穷小数。这些有穷小数的个数有无穷多个，即集合A={0.9，0.99 ，0.999，...}是无穷集合，可是无穷小数0.999...并不包含在此集合A中。

(3)林益先生说【我的根本问题是，数列 0.9，0.99，0.999，...可以缩写为0.999...，它是康托尔基本序列，极限是1。是否可以认为认为0.999...与1是相等关系 ，可以直接写成1=0.999... 】

原来问题出在这里 。林益先生把无穷小数0.999...误认为是序列 0.9，0.99，0.999，...的缩写了 。这是一个错误的认识 。

0.9，0.99，0.999，...是无穷序列， 0.999...是无穷小数。无穷序列同无穷小数这是两个不同的数学对象，不容混淆 。无穷小数并不是无穷序列的【缩写】，而是一个单独的数学对象。

有穷小数是小数点后有有穷位的小数 。而无穷小数是小数点后有无穷位的小数。按照「实无穷观」的看法，无穷位小数并不是「在不断变化，正在生成，尚末完全生成的不确定的数」而是完整的有确定数值的「确定的数」。

既然无穷位小数有无穷个位，而人们又不可能进行无穷次地给出每位的值，那么无穷小数是否就不能给定？不是的。可以用推理的方法。如果能证明对任何自然数n，an有确定的给定值，则无穷小数0.a1a2a3...就是给定的确定的数。

用无穷循坏小数(包括0的循环)来表示和定义有理数，就有个表示不唯一的问题，例如1.000...和0.999...是两个形式不同的无穷循环小数，但是它们表示的却是同一个有理数。所有的有穷小数都有两个对应的无穷小数表示，一个是0的循环，一个是9的循环，它们是相等的。

在数学中解决这类问题的办法是先定义等价关系，再用等价关系生成等价类，用等价类来定义该数学对象。这样就解决了唯一性的问题。

这里讲的是有理数，同定义实数的柯西序列没有直接关系。在实数定义中，无穷小数、柯西序列、区间套、戴德金分割等都是定义实数的方式。最后证明它们全是相互等价的。因为有理数是实数的一部分。所以在这些定义中也涉及有理数的定义。不过同我们这里讨论的问题关系不大。

(4)不知林益先生为什么对我的这句话产生了质疑 。我说【 如果能除尽，则p/q是一个有穷位小数，如果除不尽，则p/q是一无穷小数。而且可证这个无穷小数是无穷循环小数。因而有理数集可以定义为有穷位小数集和无穷循环小数集的并集。】

林说这样【的说法没见过，...至少说，我读书时没有这种说法。】

我为此还专门查了中学的数学教材。教材上明确写着:【 事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。】( 北师大版八年级数学上册--电子课本第二章，议一议。)

可见中学课本中有这样的教学内容。

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