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Zmn-0076 一阳生；更大的疑惑

已有 2143 次阅读 2019-12-1 17:48 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0076 一阳生；更大的疑惑

【编者按。下面是一阳生先生的来信和对《zmn-0067》薛问天先生的评论的回答。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。】

一阳生的来信

文清慧老师您好！感谢您的转发和薛问天老师的回复。看了薛老师的回复，我反而产生了更大的疑惑。还要麻烦您转发薛老师，并可在评论上发表，谢谢！

更大的疑惑

一阳生

一、您没有对我第二个问题中的关键论据【对于任一自然数n(或设n是自然数)，则以n为元素的自然数集合可以表示为{0,1,2,3…n,n+1,n+2,n+3…}。】的对错做出判断，如果错误请具体指出！当然如果正确，我接下来的论证【设Ｐ是关于自然数的性质，性质P(n)真，则自然数集合中的元素如n+1、n+2，n+3等等关于性质Ｐ的真假并不确定…】应该是正确的。

现在引用皮诺亚公理五进一步的分析

【皮亚诺公理五(A)：设P是关于自然数的一个性质。如能证明P(0)是真的，以及能由P(n)是真的，推出P(n')也是真的。那么性质P对于所有的自然数都是真的。】其中P(0)是基础验证真，P(n)是假设真，P(n')在假设真条件下被证明为真。

皮诺亚公理五可以改写为

【P(0)是基础验证真】∧【P(n)是假设真】∧【P(n')在假设真条件下被证明为真】推出【P对于所有的自然数都是真的】。其中∧符号表达命题之间的合取关系。

现在把【对于任一自然数n，P(n)真作为前提】告知我们，即【P(n)是已知真】。把它代入置换上面的【P(n)是假设真】；P(0)真可由P(n)真直接验证，【P(0)是基础验证真】可省略。因此上面可简化为：

【P(n)是已知真】∧【P(n')在已知真条件下被证明为真】推出【P对于所有的自然数都是真的】。

简化这一步是根据皮诺亚公理五作为充分根据的，我确认没有错误！

显然上面结论告诉我们：对于任一自然数n，P(n)真且P(n')真，才能得出P对于所有的自然数都是真的。

而您仅仅从字面意思假设的【【P(n)是已知真】直接推出【P对于所有的自然数都是真的】】没有严格的根据，是未经证明的，且事实上您也未做任何的证明！希望您能给出【若P(n)真，则P(n')必真】的证明！

二、1、您的关于【关于皮亚诺公理的一些补充和说明】中的

【皮亚诺公理五(B)：设S⊆N，且满足二个条件(l) 0∈S；（ii）如果n∈S，那么n‘∈S。则S是包含全体自然数的集合，即S=N】。我的理解是应用皮亚诺公理五(A)作为前提证明Ｓ包含所有的自然数，再据集合相等定义证明与自然数集合N相等。

【皮亚诺公理五(C)：任何自然数，或者是0，或者可以由0经有穷次的后继运算而得到】。我的理解是C是皮诺亚公理一和公理二的直接推论。

【等价性证明】中的【C→A过程，即：设P是关于自然数的一个性质。而且能证P(0)是真的，以及能由P(n)是真的，推出P(n‘)也是真的。根据C知，任何自然数m，或者是0，或者可以由0经有穷次的后继运算而得到。如果此任意自然数m是0，显然 P(m)=P(0)是真的。如果此任意自然数m不是0，它可以由0经有穷次的后继运算而得到。从而由 P(0)为真，经有穷次的「由P(n)是真的，推出P(n')也是真的」推理，即可证明P(m)为真。也就是说性质P对于所有的自然数都是真的。即A得证。】

整个推理过程我的理解是等于用皮诺亚公理五(A)即P(0)真且P(n)真且P(n')真，推出对于任一m,P(m)真，进而直接得出P对于所有的自然数都是真的。

C中的对象是0和0的后继m，没有关于A中的P(0)、P(n)、P(n')的判断。显然不可能由C→A！或不可能能由皮诺亚公理一和二推出公理五！

【由A→B，B→C和C→A，可知皮亚诺公理五的三种表述形式A，B和C是相互等价的。】

C→A过程是您反驳我的一个关键论证，请您再次确认C→A过程是否正确！？

您的关于数学归纳法是演绎推理的方法，我是学习了并认可了！感谢薛老师纠正本人的错误！

2、关于我的第一个问题中的【加法定义首先规定了两个自然数可以相加(+)，相加的结果是有意义的(与等号右边的某自然数相等)，或者说这定义了加法运算。这根据加法定义可用数学归纳法直接证明。其次规定相加的结果等于某特定自然数(如0+m:=m而不是0+m:=m'；0'+m=m'而不是0'+m=(m')'，或者说这假设了自然数之间的关系。】是关键，加法定义不仅仅定义加法，而且假设自然数之间的关系。请你针对于【加法定义假设了自然数之间的关系(等号两边自然数之间的某种具体关系)】这句陈述进行评论！这是我另一个关键论据。