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Zmn-0075 薛问天: 第二代微积分求导过程没有矛盾。评师教民先生对问题 I 的错误论点。
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Zmn-0075 薛问天: 第二代微积分求导过程没有矛盾。评师教民先生对问题 I 的错误论点。
【编者按。下面是薛问天先生对《zmn-0062-1》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。】
第二代微积分求导过程没有矛盾。
评师教民先生对问题 I 的错误论点。
薛问天
xuewentian2006@sina.cn
(1) 关于问题 I 即「第二代微积分求导过程有无矛盾？」的讨论，己进入关键。我在《 Zmn-0060 薛问天；(问题I)的关键一问。》中曾发问:〖 请问师先生你根据什么，认为这个求导过程有矛盾?〗〖 难道根据第一步 在Δx≠0条件下证明 G(Δx)=F(Δx)，这里有Δx≠0；第二步求函数 F(Δx)在 Δx=0点的函数值，这里有Δx=0，就构成矛盾？〗〖 在不同情况下变量Δx取不同的值，完全是根据需要，同导数的定义完全相符。哪里来的冲突，哪里有什么矛盾?〗
终于，师先生在《0062-1》中说出了他推理的根据。原来师先生推论的根据是他认为【...第一步Δx≠0同第二步Δx=0本身就是矛盾，并不是薜问天先生所说的...会发生矛盾...。】
现在的问题明确化了。问题出在师先生的这个错误根据上。因为确实第一代微积分同第二代微积分的求导过程中，都有第一步Δx≠0，第二步Δx=0。如果师先生的这个根据成立:【 第一步Δx≠0同第二步Δx=0本身就是矛盾。】自然可以推论出 第一代微积分同第二代微积分的求导过程都有矛盾。只可惜师先生的这个根据是完全错误的， 第一步Δx≠0同第二步Δx=0 本身并不是矛盾。
什么是矛盾？矛盾就是冲突，就是在一个系统中，有命题A同它的否定命题乛A同时成立。那么我们来分析一下，第一步Δx≠0同第二步Δx=0，是不是两个相互否定的命题同时成立呢？表面上看来， Δx≠0同Δx=0似乎是两个相反的命题。其实不然，因为这里的Δx是变量而不是常量。如果我们能明确指明，这里的Δx指的是一个确定的常量，而不是可以取不同值的变量。那么毫无疑问， Δx≠0同Δx=0是两个相反的命题。这里的 Δx≠0同Δx=0本身就是矛盾。但是如果Δx是可以取不同值的变量，这里的 Δx≠0同Δx=0本身就不构成矛盾。也就是说一个变量Δx在不同情况下取不同值作出有关的判断，如果判断本身是正确的，这里就没有任何矛盾。
也就是说，「如果Δx是可以取不同值的变量，那么第一步Δx≠0同第二步Δx=0本身并不是矛盾。只有在Δx是只能取一种值的常量时，Δx≠0同Δx=0本身才是矛盾。」
关于这点我己多次举例来论证。可师先生看不懂，总说我是在喊口号。把我举的例子说成是无关的恆等式。好吧，我们就再说一遍。
例如，设有函数f(Δx)=(Δx-1)2。
第一步， 令Δx=2，知f(2)=(1)2=1。
第二步，令 Δx=0，知f(0)=(-1)2=1。
结论: 由于1=1，所以f(2)=f(0)。
这是一个完整的正确的推理和证明。师先生，如果你的根据 【 第一步Δx≠0同第二步Δx=0本身就是矛盾】成立的话，此证明豈不成了矛盾的证明，错误的证明。对这点你如何解释？
可见 【 第一步Δx≠0同第二步Δx=0本身就是矛盾】是错误的断言。也就是说，如果Δx是可以取不同值的变量，在演算和推理过程中根据不同情况的需要， 第一步Δx≠0，第二步Δx=0，这个本身并不是矛盾。根据它【本身就是矛盾】所做出的推论显然是不能成立的。
(2) 正因为师先生论证第二代微积分求导过程有矛盾的根据: 【 第一步Δx≠0同第二步Δx=0本身就是矛盾。】是错误的。所以他推论的结论【第二代微积分求导过程有矛盾】就不成立。
在第二代微积分求函数y=x2的导数过程中，因为导数定义为
lim[Δx→0](Δy/Δx)。
第一步，在Δx≠0的条件下证明了 (Δy/Δx)=2x+Δx，所以有
lim[Δx→0](Δy/Δx)= lim[Δx→0](2x+Δx)。
第二步，由于2x+Δx是连续函数，极限值等于函数值，所以
lim[Δx→0](2x+Δx)=(2x+Δx)|(Δx=0)=2x。
结论: 根据导数的定义和第一步第二步的推论，得出导数等于2x。
在这里Δx不是常量，而是可以取不同值的变量。第一步和第二步是在Δx取不同值时作出的所需的推论。概念清晰，推理有据，逻辑严密，没有矛盾。所以，没有任何根据能说明此求导过程有什么矛盾 。
(3) 那么为什么说第一代微积分的求导过程有矛盾呢?这里并不是根据师先生的错误断言 【 第一步Δx≠0同第二步Δx=0本身就是矛盾。】而是由于导数的定义含混不清，才使第一步Δx≠0同第二步Δx=0发生了矛盾。
问题出在第一代微积分的导数的定义。把导数定义为dy/dx。然而牛顿和莱布尼兹都说不清其中的dx究竟是什么?牛顿说dx是「逐渐消失的量」，可又说dy/dx【既不是它们在消失之前的比，又不是消失之后的比，而是正当它们消失时的比。】 莱布尼兹说dx是「无穷小」，但他说不清「无穷小既是零又不是零」。在第一步证明dy/dx=2x+dx时要求dx≠0，第二步证明dy/dx=2x时又要求dx=0。关键的问题是把导数定义为dy/dx。而实际所求的导数dy/dx是2x+dx在dx=0时的值。但是在第一步证明 dy/dx=2x+dx时却要求dx≠0，从而产生了矛盾。而且当时并没有变量和极限的概念，这里的dx并不是可以取不同值的变量，而是当时说不清楚的无穷小量。这一时期的数学家把无穷小当作一种实体存在的对象，只能有一个固定的值。所以，贝克莱悖论也可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：它必须既是0，又不是0，这无疑是一个矛盾。
(4) 结论。
关于问题 I 的关键，我在以前的评论中己反复指出，是关于对下述论断的认识：「并不是在任何推理和演算过程中 ，其过程的各步中有某变量取不同的值，就会产生矛盾。(论断A)」「而只有在推理和演算过程中，由于变量取不同值引起了冲突，导致概念的定义混乱，破坏了概念的同一性时，才会产生矛盾。(论断B)」换句话说「如果变量取不同值，並不引起冲突，并未导致概念定义的混乱，並未破坏概念的同一性，则不会产生矛盾。(论断C)」
现在还可以再补充一个论断：「如果Δx是可以取不同值的变量，那么第一步Δx≠0同第二步Δx=0本身并不是矛盾。只有在Δx是只能取一种值的常量时，Δx≠0同Δx=0本身才是矛盾。(论断D)」
师先生认为【 第二代微积分和第一代微积分一样存在贝克莱悖论，即Δx≠0和Δx=0的矛盾．】错误的根本原因就是他对上述的论断A,B,C和D没有正确认识 。而是错误地认为 【 第一步Δx≠0同第二步Δx=0本身就是矛盾。】如果他能认识到上述这些论断A,B,C和D的正确性，抛棄【本身就是矛盾】的错误论点，就立刻会发现他的有关第二代微积分求导过程有矛盾的推论是错误的。这就是我对师先生论点的评论。
(注: 本文仅关注问题 I 。那些同问题 I 无直接关系的问题，恕本文暂不评论。
例如，师先生把在求导过程第一步中，证明增量比函数Δy/Δx同函数2x+Δx相等的条件(Δx≠0)，错误地以为是对函数 2x+Δx定义域的约束，写成 2x+Δx(Δx≠0)。使其同第二步中的函数2x+Δx成为定义域不同的两个函数。这属师先生的对求导过程的理解错误。要知道在推论中，第一步和第二步中的2x+Δx是完全相同的同一个函数。
再例如 ，师先生别出心裁地说什么【 函数在x=a点的值】而又不是函数在x=a点的【函数值】。他说:【在x=a点的非连续函数即间断函数，在x无限接近a时的极限值也是该函数在x=a点的值(注意，我只是说值而没有说函数值。)】这种说法真是不伦不类。
关于这些错误等，因为错误明显，又同问题 I 的关系不大，就不在此具体评论了。)
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