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Zmn-0081薛问天：问题 I 的讨论取得了进展-评师教民《0078》的回复
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Zmn-0081薛问天：问题 I 的讨论取得了进展-评师教民《0078》的回复
【编者按。下⾯是薛问天先⽣对师教民《zmn-0078》回复的评论。现在发布如下，供⽹友们共享。请⼤家关注并积极评论。】
问题 I 的讨论取得了进展
-评师教民《0078》的回复
薛问天
xuewentian2006@sina.cn
(一) 关于问题 I 的讨论取得了进展。
听话听声锣鼓听音，不知各位看官从师教民先生的这次回复中听出点什么来没有 ?我是听出来了。我听出的结论是: 关于问题 I 的讨论取得了重大进展。
什么进展?那就是师教民先生在实际上己经承认了，他之所以得出「第二代微积分求导过程有矛盾」结论的根据 【第一步Δx≠0同第二步Δx=0本身就是矛盾】的论断是错误的。他实际上接受了我提出的论断「如果Δx是可以取不同值的变量，那么第一步Δx≠0同第二步Δx=0本身并不是矛盾。只有在Δx是只能取单一值的常量时，Δx≠0同Δx=0本身才是矛盾。(论断D)」
我为什么会从师先生的回复中得出这个结论呢？理由很简单，这个【本身就是矛盾】的错误论断是我在《0075》中提出批评的主要内容，可是在师先生的《0078》回答中并未再对此作出辩解，也没有再坚持他的的这个【本身就是矛盾】的错误论断。不仅对我提出的论断D没有提出任何异议，反而去论证说在第二代微积分求导过程中【 Δx一定是任意选定的常量而不能是变量】。如果他坚持认为 【第一步Δx≠0同第二步Δx=0本身就是矛盾】，还去讨论 Δx是常量还是是变量干什么？可见师教民先生在实际上己经承认了【本身就是矛盾】论点的错误，认可了我提出的论断D: 「如果Δx是可以取不同值的变量，那么第一步Δx≠0同第二步Δx=0本身并不是矛盾。只有在Δx是只能取单一值的常量时，Δx≠0同Δx=0本身才是矛盾。」
不过承认错误还是由师先生本人拿出点勇气来，自己说出来为好。免得又说是我【强加】给他的。
好吧！既然在 【本身就是矛盾】的论断是错误的这点，我们的讨论取得了进展，求得了共识，那就让我们进一步讨论，在第二代微积分求导过程中Δx究竟是常量还是变量。我很高兴我们的讨论前进了一步。
(二) Δx究竟是常量还是变量？
让我们对此问题作点具体的分析。Δx当然是个变量，但是也不要把它绝对化。在讨论某些问题时，我们也可以让变量的值暂时不变，此时该变量就可以看作是如同常量一般，暂时看作是常量。
最常见的例子就是二元函数f(x,y)的求偏导数的过程。二元函数z=f(x,y)是x,y两个变量的函数。无疑x,y都是变量，但是在求对x变量的偏导数时，让变量y的值暂时不变化，即把y看作常量。此时 二元函数f(x,y)就看作成变量x的一元函数，按一元函数所求的导数就是二元函数f(x,y)对变量ⅹ的偏导数。同理在求关于变量y的偏导数时，又暂时把变量ⅹ看作是常量。
可见「一个变量，在某些情况下，可以根据需要让它的值暂时不变，看作是常量。」
再例如求函数y=f(x)的二階微分 d2y。
我们知道一階微分dy=y‘dx=y’Δx。这里导函数y‘是x的函数，因而微分dy实际上是x和Δx的二元函数。由于二階微分是针对dy对变量x的函数的，所以这里需要暂时把Δx看作常量。则有
x2y=d(dy)=d(y’Δx)=d(y‘)Δx=y’‘ΔxΔx= y’‘ (Δx)2。
也就是说在求二階微分d2y时，是把Δx暂时看作是常量。
师先生的错误在于他把在某些特殊情况下(如求二階微分这个情况)把变量Δx根据需要作为常量，作为一个一般规律，认为【 Δx虽然可以取不同的值，但是一旦取定一个值后，就不能再取其他的值了！也就是说，Δx一定是任意选定的常量而不能是变量．】而且把求二階微分的例子作为他作出此【 Δx一定是...常量】的错误论断的【证明】。进而错误地把这个论断作为一般规律应用到第二代微积分的求导过程之中，认为在求导过程中【 Δx一定是任意选定的常量而不能是变量】。
(三)二代微积分求导过程中Δx是可取不同值的变量，而不是任意选定的常量。
现在我们来分析师教民认定求导过程中有矛盾的根据: 【 Δx一定是任意选定的常量而不能是变量】 的错误。
实际上这是非常明显的事实。求导过程的两步在做着两个推论。第一步针对两个函数，一个是增量比函数G(Δx)=Δy/Δx，一个是连续函数F(Δx)=2x+Δx，这两个函数都是以Δx为自变量的函数。推论是说在Δx≠0的条件下，G(Δx)=F(Δx)，从而在Δx→0时， G(Δx)同F(Δx)的极限相等。你怎能说 这里要求【 Δx一定是任意选定的常量而不能是变量】呢，如果有这样的要求，Δx是任意选定的常量，你怎么证明 在Δx≠0的条件下两个函数相等？你怎么证明 在Δx→0时， 两个函数的极限相等？
第二步说的是，由于F(Δx)是连续函数， 在Δx→0时 F(Δx)的极限值，等于Δx=0时 F(Δx)的函数值。同样不能有 Δx是任意选定的常量的要求，否则如何既能表述 Δx→0时 F(Δx)的极限值，又能表述Δx=0时 F(Δx)的函数值，同时还能证明其值相等。
也就是说，在这两步中，是根据求导的需要，对变量Δx取不同值时所做出的两个推论， 根本没有要求Δx是任意选定的常量。所以这里不存在任何冲突和矛盾。师先生，你能具体指出来在这两步中，是哪里要求【 Δx一定是任意选定的常量而不能是变量】，于是发生了Δx≠0同Δx=0的冲突和矛盾吗?
(四)我们来看看师先生的荒谬理由，
师文中说:【(1)当然，在定义y=x2的导数时，已令Δx→0，此时Δx也只能是从任意取定的常数开始无限趋于0的变量，而不能是『可以取不同值的变量』．也就是说，如果在定义导数前，Δx取定的常数是6，那么在定义导数后，Δx就不能再取大于6的8，9等不同值了，也不能先取小于6的3后取小于6的5．】
首先要驳斥一点，我说的 『可以取不同值的变量』并不是说「变量可以不按它自身的变化规律，随意取不同的值」。任何变量都有它自身的变化规律和要求，不可能违背这些要求去取不同的值。这是基本常识。例如作为函数自变量的变量x，只能在它的定义域中取不同的值。作为函数因变量的变量y，只能根据自变量x的不同值和函数规律去取相应的不同的函数值。
自然，对于变量Δx在无限趋近于0时的变化情况，它所可以取的不同的值，也必须按照无限趋近于0的规律来取，不能任意乱取。任意乱取就不叫变量在无限趋近于0时的变化了。这是不言而喻的常识。
不要在这点上歪曲我的观点。我这里说的 『可以取不同值的变量』是按变量它自身的变化规律，取所允许的不同的值，是用来区别【 任意选定的常量】而说的。关链在于变量可以取「不同」的值，而常量只能取「单一」的选定的值。
另外 变量Δx在无限趋近于0时的变化规律和要求确切地说是这样的。「Δx无限趋近于0，是说Δx随着时间的不断延伸在发生变化，对任意小的ε，都存在这样的时刻Δ，在此Δ时刻后，Δx的值小于ε。」
首先师先生说【 Δx也只能是从任意取定的常数开始】就是不对的， Δx趋近于0并不需要什么【开始】的【取定常数】。其次说【 如果在定义导数前，Δx取定的常数是6，那么在定义导数后，Δx就不能再取大于6的8，9等不同值了，也不能先取小于6的3后取小于6的5．】更是不对的。 Δx无限趋近于0，根本同Δx如何开始和Δx在前面有限时间的取值没有任何关系，只要求「 对任意小的ε，存在这样的时刻Δ，在此Δ时刻后，Δx的值小于ε。」即可。 Δx无限趋近于0，更没有要求递減，说什么【 不能先取小于6的3后取小于6的5．】完全是错误的、毫无根据的和不负责任胡言乱语。
在第一步中证明 在Δx≠0的条件下两个函数相等，于是在Δx→0时，这两个函数的极限相等。你说这里是要求【 Δx一定是任意选定的常量】，还是 『可以取不同值的变量』?当然是后者。如果Δx是任意选定的常量，怎么讨论在Δx≠0的条件下两个函数相等?怎么讨论Δx→0时，函数的极限？正是因为Δx是可以取不同值的变量，才能讨论Δx取所有不等于0的值时函数的相等， 正是因为Δx是可以取不同值的变量才能使Δx无限趋近于0， 如果Δx是任意选定的常量，它能无限趋近于0吗？师先生在这里说什么【 此时Δx也只能是从任意取定的常数开始无限趋于0的变量】，完全是在强词夺理。我们讨论的是只有 Δx是可以取不同值的变量才能使Δx「 无限趋于0」。而师先生却说【Δx也只能是从任意取定的常数开始无限趋于0】。请问【开始】能代表全程吗？开始 Δx是任意选定的常量，就能断定在整个求极限的过程中 【Δx一定是任意选定的常量】吗？这是什么推理的逻辑？更何况讨论Δx→0时的极限。根本同【 开始】时的Δx的取值毫无关系。无论【开始】时Δx取什么值，所求的极限值都一样！
(五) 我们来继续分析。
师先生说:【(2)第一步中的(Δy/Δx)=2x+Δx (Δx≠0) 里的2x+Δx和第 二步中的lim[Δx→0](2x+Δx)=(2x+Δx)|(Δx=0) 里的2x+Δx是同一个数学式子，所以第一、二两步中的2x+Δx里的Δx是同一个常量．所以 第一步中的Δx≠0和第二步中的Δx=0是同一个常量Δx本身的矛盾．因此薛问天先生说『第一步和第二步是在Δx取不同值时作出的所需的推论』就错误了．即使在定义极限后常量Δx成为了无限趋于0的变量，但是据极限的定义知，Δx无限趋于0但是恒不等于0，所以，薛问天先生说『Δx取不同值时作出的所需的』Δx≠0也是不能取的．所以薛问天先生的(2x+Δx)|Δx=0错误． 】
首先要指出的是(我已多次指出)在第一步 2x+Δx 后加的 (Δx≠0)是错误的，这是由于师先生的误解私自强加给求导过程的。在求导的第一步是在 (Δx≠0)的条件下证明了 (Δy/Δx)=2x+Δx，并不是说函数 2x+Δx 的定义域限定在 (Δx≠0)。这是师先生的误解，原求导过程并无此限制。 函数2x+Δx 的定义域是全体实数。因而第一步同第二步中的 2x+Δx 不仅【 是同一个数学式子】而且是同一个函数。正因为是同一个函数，而且是连续函数，才使得第一步证明的导数等于函数2x+Δx的极限值等于第二步证明的函数2x+Δx的函数值。
下面我们来分析师先生这段话，这段话由一个事实错误地推出了五个错误结论。
一个事实: 【第一步中的(Δy/Δx)=2x+Δx (Δx≠0) 里的2x+Δx和第 二步中的 lim[Δx→0](2x+Δx)=(2x+Δx)|(Δx=0)里的2x+Δx是同一个数学式子，】
这个事实没错(除了上述的在2x+Δx后加Δx≠0的错误)，而且第一步同第二步中的 2x+Δx不仅是同一个数学式子，还是同一个函数， Δx就是这同一个函数的自变量。
大家来看看，师先生根据这个事实得出的结论是什么。师先生没有提出任何理由，直接说:【 所以第一、二两步中的2x+Δx里的Δx是同一个常量．】大家不觉得这个结论来得奇怪嘛！
什么是函数，「函数就是由因变量同自变量两个变量组成的数学对象，其中因变量随着自变量的变化而变化。」自变量明明是可以在它的定义域中取不同值的变量，而师先生却堂而皇之，明目张胆地说: 【 所以第一、二两步中的2x+Δx里的Δx是同一个常量】。请问你的根据是什么？你把函数的自变量说成是【常量】的根据是什么？
正因为师先生所得出的这个基本结论【 Δx是同一个常量】是错误的，因而在此基础上所作的推论: 【 所以 第一步中的Δx≠0和第二步中的Δx=0是同一个常量Δx本身的矛盾．】就是错误的推论。基本论断错误，由此得出的来反对我的论断:【因此...】【所以...】【所以...】也都是错误的，不值一驳。
是的，我们曾在前面(二)中说过: 「一个变量，在某些情况下，可以根据需要让它的值暂时不变，看作是常量。」但是这只是「在某些情况下」和「根据需要」。
我前面己经指出: 〖 师先生的错误在于他把在某些特殊情况下(如求二階微分这个情况)根据需要把变量Δx作为常量，作为一个一般规律，认为【 Δx虽然可以取不同的值，但是一旦取定一个值后，就不能再取其他的值了！也就是说，Δx一定是任意选定的常量而不能是变量．】而且把求二階微分的例子作为他作出此错误论断的【证明】。进而错误地把这个论断作为一般规律应用到第二代微积分的求导过程之中，认为求导过程中【 Δx一定是任意选定的常量而不能是变量】。〗
在求二階微分时，由于y’是x的函数，dy=y‘Δx是x和Δx的二元函数，而二階微分是关于自变量ⅹ的函数的微分，所以在求二階微分时， 「根据需要」让它的另一个自变量暂时不变，看作是常量。
请问在求导过程中，根据导数的定义，导数等于Δx→0时函数Δy/Δx的极限，第一步证明 Δx→0时函数Δy/Δx的极限等于 Δx→0时函数2x+Δx的极限，第二步证明 Δx→0时函数2x+Δx的极限等于 Δx=0时函数2x+Δx的函数值2x。最后，根据导数的定义，第一步和第二步证明的结果，得出导数等于 Δx=0时函数2x+Δx的函数值2x。请问师先生，在这里有什么「需要」，你根据什么认为:【 Δx一定是任意选定的常量而不能是变量】。同一个函数，在自变量Δx≠0的情况下求的极限值，等于它在自变量Δx=0的情况下求的函数值，这正是连续函数的特征属性。这正是利用函数自变量是可以取不同值的变量，在取不同值时所作出的正确判断，最后所作出的正确推论。
这就如同我上次所举的例子。函数f(Δx)=(Δx-1)2。由于Δx是变量，第一步令Δx=2，得出f(Δx)=12=1，第二步令Δx=0，同样得出f(Δx)=(-1)2=1。于是我们得出结论说在Δx=2同Δx=0时函数f(Δx)的函数值相等。你说这个推论有什么矛盾？这时你还能坚持说 【 Δx一定是任意选定的常量而不能是变量】吗？难道我们在第一步讨论了Δx=2时的情况，在第二步就不能讨论Δx=0时的情况了吗?更不能讨论Δx在不同取值的情况下函数值相等这个事实了吗？师先生在此次回复中没有涉及此例。可见这才是师先生真正【 未敢评论、无力反驳的问题。】由于Δx是变量，自然允许在第一步和第二步，分别讨论在Δx取不同值的情况，最后得出正确的结论。只要各步的推论是正确的，这里就没有任何矛盾。
(六) 师先生说: 【(3)薛问天先生在第二步中说的『2x+Δx是连续函数』有两个问题：第一个问题是：函数2x+Δx的自变量是x还是Δx？】
ⅹ和Δx当然都是函数 2x+Δx的自变量。不过我们在讨论Δx→0时的极限值和函数值，自然所讨论的连续性指的是关于自变量Δx的连续性。我们在求导过程中是把变量x暂时看作是不变的常量。而不是把Δx看作不变的常量。
师接着说:【第二个问题是：函数2x+Δx和第一步中的函数2x+Δx是否同一个函数？如果薛问天先生在第二步中说的『2x+Δx是连续函数』中的函数2x+Δx的自变量是Δx且和第一步中的函数2x+Δx是同一个函数，那么薛问天先生的函数2x+Δx的标准表达式为:
G(Δx)=(Δy/Δx)=2x+Δx (Δx≠0)
薛问天先生在第一步中说的函数y=x2的导数定义式为：
y’= lim[Δx→0](Δy/Δx)=lim[Δx→0][(2x+Δx)(Δx≠0)]。 】
錯！师先生把式子写錯了！我说过在第一步和第二步中，2x+Δx是同一个函数。但我已说过多次，师先生在第一步 2x+Δx 式后添加的 (Δx≠0)是错误的。这是由于师先生的误解私自强加给求导过程的。在求导的第一步是在 (Δx≠0)的条件下证明了 (Δy/Δx)=2x+Δx，并不是说函数 2x+Δx 的定义域限定在 (Δx≠0)。这是师先生的误解，原求导过程并无此限制。 函数2x+Δx 的定义域是全体实数。所以 2x+Δx的正确表达式为:
G(Δx)=(Δy/Δx)=2x+Δx。式后并无(Δx≠0) 。
同理，函数y=x2的导数定义式为：
Y’= lim[Δx→0](Δy/Δx)= lim[Δx→0](2x+Δx)。在(2x+Δx)后 并无(Δx≠0) 。
师先生接着说: 【据极限理论知，初等函数在其定义域内都连续，而在其定义域外不连续，所以函数G(Δx)在Δx=0处的极限值不等于函数值，所以薛问天先生在第二步中说的lim[Δx→0](2x+Δx)= (2x+Δx)|Δx=0=2x就错了．】
显然这是由于师先生的误读，错误地把函数 2x+Δx 的定义域限定在 (Δx≠0)才出现的问题。实际上函数2x+Δx 的定义域是全体实数。所以不存在师先生所说的函数 2x+Δx【 在Δx=0处的极限值不等于函数值】的问题。另外，师先生在这里还把讨论的函数搞混淆了。这里所说的连续函数指的是 2x+Δx，而不是G(Δx)。G是增量比函数，即G(Δx)=Δy/Δx。它同 2x+Δx 是两个不同的函数，只是在第一步中证明了在Δx≠0的各点，这两个函数相等而已。
我己多次说明第一步和第二步中的 2x+Δx是同一个函数。师先生接着在【 如果......不是同一个函数】假定下批评我说的【无道理】的所有论断，自然就是毫无道理和毫无意义的了，我就不在此一一评述。
(七) 关于第一代微积的求导过程有矛盾。这在学术界己有公论。那就是把导数定义为dy/dx。这个定义是含混不清的。把其中的dⅹ说成是无穷小量，但当时由于没有引入极限的概念说不清无穷小量是什么?由于当时尚无变量的概念，自然认为无穷小量是个有确定的单一值的量(现在称其为常量)。可是在求导过程的第一步要求dⅹ≠0，而第二步要求dx=0。也就是说dx既等于0又不等于0，于是产生矛盾。所以贝克莱悖论通常也可以表述为“无穷小量既是0，又不是0“的矛盾。
要知道不是说，在dy/dx和2x+dx的式子中有个dx，dx就是常量。而是在第一代微积分中的定义中，把dy定义为无穷小量， 说不清无穷小量是什么? 认为无穷小量是个有确定的单一值的量(现在称其为常量)。这才引起了 “无穷小量既是0，又不是0“的矛盾。
对于第一代微积分的求导过程，师教民文中所论证的【 严格的、明确的、清楚的、果断的，并非是：犹豫不决的、含糊不清的、拖泥带水的、隐隐晦晦的】只是第一步的推论: 在dx≠0的条件下证明了dy/dx=2x+dx，和第二步的推论: 在dx=0条件下，证明了2x+dx=2x。这可以说是严格的、明确的。但这说的不是导数的定义是【严格的、明确的......】。而恰恰是导数的定义是含混不清的。 要知道薛问天先生说的是『导数的定义含混不清』 。
在第一代微积分中把导数定义为dy/dx，请问把dx这个无穷小是什么说清了吗？说清楚了怎么还会有 “无穷小量既是0，又不是0“的矛盾。怎么还会有贝克莱悖论？
(八) 经过这段讨论，终于有了进展。把问题 I ，即第二代微积分求导过程有无矛盾的问题，深入了一步。师先生过去认为【第一步Δx≠0同第二步Δx=0本身就是矛盾】，现在认识到了「 只有在Δx是只能取单一值的常量时，Δx≠0同Δx=0本身才是矛盾。」那么现在的问题 I 就变成第二代微积分求导过程中的Δx是变量还是常量的问题。当然我们知道， 「一个变量，在某些情况下，可以根据需要让它的值暂时不变，看作是常量。」因而实际上问题 I 就归结为，在二代微积分求导过程中的Δx，是否「 根据需要让它的值暂时不变，看作是常量。」
我看还是集中精力一个一个问题讨论好，才能取得进展，不是师先生说的【 使我们的讨论变得没完没了了】。现在问题 I 就剩一步了。只要师先生认识到 在二代微积分求导过程中的Δx，并没有「 根据需要让它的值暂时不变，看作是常量。」问题 I 就得到了共识 。其实解决这一问题并不难，就请师先生说出 在二代微积分求导过程中根据什么需要把Δx的值暂时不变，看作是常量。如果说不出正当的理由，问题就解决了，不会【 使我们的讨论变得没完没了了。】
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