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Zmn-0079 薛问天:对全称量词和皮亚诺公理的正确理解-评一阳生更大的疑惑

已有 867 次阅读 2019-12-5 09:19 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0079 薛问天:对全称量词和皮亚诺公理的正确理解-评一阳生更大的疑惑

【编者按。下是薛问天先对《zmn-0076》一阳生先生回复的评论。现在发布如下,供友们共享。请家关注并积极评论。】

 

 

对全称量词和皮亚诺公理的正确理解

-评一阳生更大的疑惑

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-c.jpg(1)  《 Zmn-0076 一阳生;更大的疑惑》中说:

【 一、您没有对我第二个问题中的关键论据【对于任一自然数n(或设n是自然数),则以n为元素的自然数集合可以表示为{0,1,2,3…n,n+1,n+2,n+3…}。】的对错做出判断,如果错误请具体指出!当然如果正确,我接下来的论证【设P是关于自然数的性质,性质P(n)真,则自然数集合中的元素如n+1、n+2,n+3等等关于性质P的真假并不确定…】应该是正确的。】

你说的这句话 【对于任一自然数n(或设n是自然数),则以n为元素的自然数集合可以表示为{0,1,2,3…n,n+1,n+2,n+3…}。】是不正确的。或者说是未表达清楚你想要说什么。

因为对于任一自然数n(或设n是自然数),则以n为元素的自然数集合应该是{n},而不是 {0,1,2,3…n,n+1,n+2,n+3…}。我猜想,你想要说的是:「全体自然数的集合」是 {0,1,2,3…n,n+1,n+2,n+3…}。其中的n是任一自然数。

接下来的论证【设P是关于自然数的性质,性质P(n)真,则自然数集合中的元素如n+1、n+2,n+3等等关于性质P的真假并不确定…】

这个论断是错误的。因为你说了n是【任一自然数】,这里又说了【 性质P(n)真】。即你说了「任一自然数n,P(n)为真。」既然任意一个自然数能使P(n)为真,显然「每个自然数」「所有自然数」都使P(n)为真。由于 n+1、n+2,n+3等等都是自然数,因而对这些数P都应为真而不是你说的【 关于性质P的真假并不确定】。

关于这点,我在《 Zmn-0067 薛问天;评一阳生先生的《两个问题》l》中己做了评论:
〖 这样的理解显然是不正确的,设「任一自然数n,P(n)为真。」既然任意一个自然数能使P(n)为真,显然「每个自然数」「所有自然数」都使P(n)为真。也就是上面所说的,虽然单纯从语义学和语用学的角度来分析,「任一」 ,「每一」和「所有」这三个词的意思并不相同。但是用来解释 (n)P(n)中的量词时,在逻辑上 (n)P(n)的真假值却是完全相同的。也就是说 「任一自然数n,P(n)为真。」就等于在说 「每一自然数n,P(n)为真。」和 「所有自然数n,P(n)为真。」

既然 「所有自然数n,P(n)为真。」把它换成等价的「所有自然数m,P(m)为真。」自然不仅对m=0,1,2,3,...,n,P(m)为真,对m=n+1,n+2,...P(m)也为真。

一阳生说的【 自然数集合中的元素如n+1、n+2,n+3等等关于性质P的真假并不确定,】以及【 须用数学归纳法证明所有自然数关于性质P的真假】,显然都不正确。因为从 「任一自然数n,P(n)为真。」己经推出了 「所有自然数m,P(m)为真。」〗

(2)  一阳生先生对皮亚诺公理五作了一些分析后所得的对公理五的理解:【 对于任一自然数n,P(n)真且P(n‘真,才能得出P对于所有的自然数都是真的。】是错误的。错误出在把【对于任一自然数n,P(n)真作为前提】。

因为 「任一」 ,「每一」和「所有」这三个词用来解释 (n)P(n)中的量词时,在逻辑上 (n)P(n)的真假值是完全相同的。也就是说 「任一自然数n,P(n)为真。」就等于在说 「每一自然数n,P(n)为真 。」和 「所有自然数n,P(n)为真。」

也就是说,一阳生用来作为公理五前提的【对于任一自然数n,P(n)真】,同作为公理五的结论的【 P对于所有的自然数都是真的】, 在逻辑上是真假值完全相同的命题。显然不能随意地把公理的结论作为公理的前提。

一阳生先生说【 而您仅仅从字面意思假设的【【P(n)是已知真】直接推出【P对于所有的自然数都是真的】】没有严格的根据,是未经证明的,且事实上您也未做任何的证明!希望您能给出【若P(n)真,则P(n’)必真】的证明!】

我们之所以能从【P(n)是已知真】直接推出【P对于所有的自然数都是真的】是因为你说了n是【任一自然数】。 说 「任一自然数n,P(n)为真。」就等于在说 「每一自然数n,P(n)为真 。」和 「所有自然数n,P(n)为真。」所以归根到底还是对全称量词的正确解释和理解的问题。不是需要给出【证明】的问题。

另外我建议一阳生先生读点《数理逻辑》的书,最好用大家公认的词汇。一阳生这里用的【 验证真】、【 假设真】和【 已知真】都不是规范的词语。使读者很难确切地把握它的严格含义。

(3)  对 【皮亚诺公理五(B):设SN,且满足二个条件(l) 0∈S;(ii)如果n∈S,那么n‘∈S。则S是包含全体自然数的集合,即S=N。】

一阳生说:【我的理解是应用皮亚诺公理五(A)作为前提证明S包含所有的自然数,再据集合相等定义证明与自然数集合N相等。】

你的理解是对的。但只是一半,只理解了A→B。还有另一半: B→A ,即以B为前提推出A。只有理解了A→B和B→A,才真正理解A同B是等价的公理。

(4)  对于 【皮亚诺公理五(C):任何自然数,或者是0,或者可以由0经有穷次的后继运算而得到】。

一阳生先生说:【我的理解是C是皮诺亚公理一和公理二的直接推论。】

这个理解是完全错误昀。由公理一和公理二绝对推导不出公理五(C)来。它们是相互独立的公理。我可以简单地举个反例来说明这点。

假设用N表示全体自然数集合,用W表示全体无理数集合。用A表示N和W的并集。A=N∪W.。即A是元素包括全体自然数和无理数的集合。我们定义后继运算就是普通的+1运算。

显然集合A滿足公理一。自然数0属于N,因而属于A。

集合A也滿足公理二。因为若a属于A,有两种可能,a是自然数或a是无理数。若a是自然数,显然a+1属于N,因而也属于A。若a是无理数,显然 a+1属于W,因而也属于A。

但是集合A并不满足公理五(C)。A中的无理数就不能由0经有穷次的后继运算而得到。可见由公理一和公理二推导不出公理五(C)来。

(5)  一阳生先生对公理五的A,B,C等价性提出了质疑,他说:【 C→A过程是您反驳我的一个关键论证,请您再次确认C→A过程是否正确!?】

C→A的推理过程是这样的:设P是关于自然数的一个性质。而且能证P(0)是真的,以及能由P(n)是真的,推出P(n‘)也是真的。根据C知, 任何自然数m,或者是0,或者可以由0经有穷次的后继运算而得到。如果此任意自然数m是0,显然 P(m)=P(0)是真的。如果此任意自然数m不是0,它可以由0经有穷次的后继运算而得到。从而由 P(0)为真,经有穷次的「 由P(n)是真的,推出P(n‘)也是真的」推理,即可证明P(m)为真。也就是说性质P对于所有的自然数都是真的。即A得证。

一阳生先生说: 【整个推理过程我的理解是等于用皮诺亚公理五(A)即P(0)真且P(n)真且P(n’)真,推出对于任一m,P(m)真,进而直接得出P对于所有的自然数都是真的。】

他争辩说: 【C中的对象是0和0的后继m,没有关于A中的P(0)、P(n)、P(n‘)的判断。显然不可能由C→A!】

一阳生先生没有说清楚他质疑推论的什么地方?要知道证明A→C,就是假定C成立然后证明A成立。不是【 用皮诺亚公理五(A)】,而是用皮诺亚公理五(C) ,来证明皮诺亚公理五(A)的成立。要证明 公理五(A)成立,就是根据公理五(C),由 公理五(A)的假定具体推出 公理五(A)的结论。这些我都在上述证明中写得相当清楚了,也许多看几遍就能看个明白。我【再次确认】上述证明C→A的过程是正确的 。

(6)  一阳生先生说: 【 关于我的第一个问题中的【加法定义首先规定了两个自然数可以相加(+),相加的结果是有意义的(与等号右边的某自然数相等),或者说这定义了加法运算。这根据加法定义可用数学归纳法直接证明。其次规定相加的结果等于某特定自然数(如0+m:=m而不是0+m:=m‘;0’+m=m‘而不是0 ’+m=(m’)‘,或者说这假设了自然数之间的关系。】是关键,加法定义不仅仅定义加法,而且假设自然数之间的关系。请你针对于【加法定义假设了自然数之间的关系(等号两边自然数之间的某种具体关系)】这句陈述进行评论!这是我另一个关键论据。

我在《 Zmn-0067 》中己经说过〖 加法运算的定义,就是为每个自然数n和m定义相应的函数值,定义本身不是定理不需要证明。需要证明的是该定义所采用的方法是否为所有的自然数n和m都确切地定为了运算结果,即「归纳定义」的有效性需要证明。我们己经说过, 「归纳定义」的有效性,即它可以为所有的自然数n和m,确切地在有穷步内定义运算结果即函数值。能保证这点是基于自然数的「归纳结构」的。而自然数的「归纳结构」即公理五是可以在集合论中严格证明的。〗

运算也可以看作是一种函数,定义了自然数的加法运算也可以看作是定义了自然数到自然数的一个二元函数: z=f(x,y)=x+y。在集合论中二元函数 z=f(x,y)也可以看作是自然数上的一种三元关系F(z,x,y)=[ z=f(x,y)]。这些都有严格的定义。具体的运算,函数和关系,这些都是需要具体定义的,并不是「假设」。所以说一阳生先说的这句话【加法定义假设了自然数之间的关系(等号两边自然数之间的某种具体关系)】,只要把 「假设」二字去掉并没有什么错误,符合集合论的理论。至于是否能作为【 我另一个关键论据】,那就要看用它作什么样的推论了。显然以此来作为【 集合论、皮诺亚公理和加法定义(和自然数的相等公理)共同组成了数学的基础。】的论据,则显得是苍白无力的。因为这些都可以在集合论中得到确切的表述。

(7)  一阳生提出的 另有一个问题【是否可以把集合论中元素集合之间的属于关系(ϵ)定义为:若对象与集合中的某一元素相等(=),则对象属于(ϵ)集合。】如果不这样定义,如何证明:若y=a,则yϵ{a}。

属于关系 ϵ在集合论中是原始概念,并无单独的定义。它的含义是由所有的集合论公理所给定的。

集合论的外延原则(外延公理)规定,集合是由它所包含的全部元素决定的。换句话说,如果两个集合它们包含的元素完全相同,则它们是同一个集合。这种同一关系用等号「=」表示。

由外延原则规定的集合相等(=)关系,并不是集合的某个个别属性的相等,而是逻辑上的对象的同一,即集合相等就意味着它是同一个集合,在逻辑上是同一个对象,它们所具有的一切属性都是完全相同的。因而如果a∈A,a=b,自然有b∈A,因为a和b是同一个对象。如果有a∈A,A=B,自然也有a∈B,因为A和B是同一个对象。这些都是不言而喻的,不需要定义或证明,是由逻辑上的同一律所规定的。这就是说,一阳生先生所说的【 若对象与集合中的某一元素相等(=),则对象属于(ϵ)集合。】并不需要另外定义或证明,是由相等(=)的含义,即同一个对象所规定的。

至于命题【 若y=a,则yϵ{a}。】可以这样证明: 由于 aϵ{a},从y=a即可知 yϵ{a}。



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