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Zmn-0087薛问天:也谈康托尔和罗素悖论-评李鸿仪先生的错误论点

已有 878 次阅读 2020-1-15 20:37 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0087薛问天:也谈康托尔和罗素悖论-评李鸿仪先生的错误论点
【编者按。下
是薛问天先对《zmn-0083》李鸿仪先生的文章的评论。现在发布如下,供友们共享。请家关注并积极评论。】

 

也谈康托尔和罗素悖论

-评李鸿仪先生的错误论点
薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-c.jpg悖论己经被研究得相当清楚了。悖论不是什么逻辑的错误。现代业界公认的悖论的三要素是: “一定的背景知识的假定”,“严密无误的逻辑推导”和“能够建立矛盾等价式”(参见 张建军、 黄展骥先生合著的《矛盾与悖论新论》,河北教育出版社1998年出版。)

 在某理论系统中出现悖论,出现矛盾,完全是该理论系统本身的问题。说明该理论系统有缺陷,有漏洞,有不夠严密的地方,才出现了不协调的矛盾,并不是逻辑推理的错误。只要对理论体系作适当调整,增加一些原则或规定(或公理),完善了理论体系,这些悖论和矛盾即可完全消解。既使是通俗的用自然语言表述的【说谎者悖论】等,也可从语义学和语用学的角度对自然语言作些适当的限制,而使悖论得到完全的消解。

至于集合论中的康托尔悖论和罗素悖论,同样不是逻辑的错误,而是由于早期(朴素)集合论不严密和不成熟所致。现代集合论,由于严格地区分了「集合」和「真类」两个不同的概念,严格地遵从有关现代集合论的原则和公理。这些悖论已经得到了完全的消解。李鸿仪先生说的【 一直到现在,该悖论仍然困扰着人们......,且一直没有公认的消解方法。】并不符合事实。

下面 我们来具体评论一下李鴻仪先生在《0083》中的错误观点。


(
一)

他的基本观点是认为悖论是逻辑运用的错误。【 所谓逻辑悖论只不过是人们的思维不严格、使得推理范围偏离了可行域所致。】【 康托悖论的原因在于康托将在动态地变化着的、不符合同一律的“一切集合”看成是静止不变的、符合同一律的概念所致。】【 康托推导的逻辑错误在于:用“一切集合”定义了一个新集合后,“一切集合”这一概念的外延已经发生了变化,故这时对“一切集合”的同一律已经不再成立,推理已不在可行域之内,从而得出了悖论。】李先生的结论是【 康托悖论和罗素悖论实际上根本不存在。】

李先生把客观事物分成两类,一类是【静止不变的】,对这类事物形式逻辑的三大定律成立,【 形式逻辑才有可靠性可言。】李先生把这类事物称为【可行域】。另一类事物是【动态变化着的】。对这类事物,三大定律不成立,【推理己不在可行域之内】,形式逻辑的推理不可用。李先生甚至在最后得出了这样的结论【 由于世界在不断地变化,建立在静止不变基础上的形式逻辑并不具有普适性,而只能应用在很小的时间和空间范围内,即应用在可行域内。】

我认为这种把客观事物硬性地分为两类事物的观点是错误的。要知道按照唯物辩证法的观点,所有的客观事物都是处在运动之中的,都是动态变化着的,没有绝对静止不变的事物。而另一方面动态变化的事物也都有其相对的稳定性,即相对的不变性。相对稳定性是变化着的事物的一种属性。没有这种相对的稳定性,世界也是不可想像的。我们不仅要认识到事物的【动态变化性】,也要认识到事物的【相对稳定性】。

例如李鸿仪先生所举的「地球」这个例子。他认为对于地球,【 同一律并不成立。事实上,由于地球上每时每刻都在发生着各种变化,因此,严格来说,只有在完全静止的一刹那,地球这个概念才符合同一律。】这样的看法是完全错误的。地球根本不存在【完全静止的一刹那】,那么就不能用形式逻辑对「地球」这个概念进行形式逻辑的推理了吗? 难道有关地球的形式【推理己不在可行域之内】了吗?显然不是这样。例如我们说〖所有太阳的行星,都围绕着太阳转动,地球是太阳的行星,所以地球围绕着太阳转动。〗这是一个典型的关于地球的形式逻辑的推理,没有人会怀疑这样的推理的正确性,说它违背了形式逻辑的同一律。也就是说,在地球这个概念上是可以进行形式逻辑的推理的,虽然【 地球上每时每刻都在发生着各种变化】。这说明形式逻辑所依据的并不是事物是绝对【静止不变的】或【 完全静止的一刹那】,而是【动态变化着的】事物的「相对稳定性」。只要变化着的地球,保持相对的稳定性,它还是地球而没有变成不是地球,它就滿足同一律。形式逻辑的推理就是适用的。不能错误地根据【 地球上每时每刻都在发生着各种变化】,就武断认为【 同一律并不成立】,把形式逻辑的推理排除在外 。甚至把这种正确的推理看作【 是人们的思维不严格、使得推理范围偏离了可行域】以及【 形式逻辑并不具有普适性】等的严重错误。

李鸿仪先生就是沿着这样的错误思路来判定康托尔和罗素悖论的。康托尔悖论涉及到「一切集合的聚集」这个概念,虽然随着新的集合的形成,这个聚集的外延会有变化,但是它仍然有「相对的稳定性」。并不是如同李先生所说的那样变化无常,【 同一律已经不再成立,推理已不在可行域之内。 】

首先要明确 「一切集合的聚集」这是同所指的「一切集合」同时存在的对象,并不是在学者用概括的方法定义「一切集合的聚集」时才产生的新的对象。

李先生说【 用“一切集合”定义了一个新集合后,“一切集合”这一概念的外延已经发生了变化,故这时对“一切集合”的同一律已经不再成立,推理已不在可行域之内,从而得出了悖论。】这是不对的。

当假定 「一切集合的聚集」是集合时,「一切集合的集合」作为「一切集合的聚集」,是同所指的「一切集合」同时存在的。因而 「一切集合的集合」并不是在学者定义它时才产生的新的对象。在学者定义它时,它己经存在。 学者的定义只是学者对己经存在着的对象的特征属性作了一种描述和起个名字而已。这里并没有产生什么【新集合】。不存在【 “一切集合”这一概念的外延已经发生了变化】的问题。

至于这个 「一切集合的聚集」是不是一个「集合」,也是我们对所存在的事实的认识和了解的问题。 如果 「一切集合的聚集」是集合。而 「一切集合的聚集」既然是一切集合的聚集,它包括一切集合,它自然包括 「一切集合的聚集」这个集合,同时还应包含它的幂集在内。由此则可逻辑推出它的幂集的势不大于它自己的势的结论。这同集合幂集的势大于原集合的势的定理相矛盾。这就是康托尔悖论。

可见康托尔悖论是由假定「一切集合的聚集是集合」引起的。而是在论证如果「一切集合的聚集」是集合的假定成立,会产生什么样的′矛盾的问题。这并不违背形式逻辑的同一律,没有任何逻辑的错误。可见李先生把康托尔悖论认为是 【 人们的思维不严格、使得推理范围偏离了可行域】的观点是错误的。
正是由于这个矛盾是由 「一切集合的聚集是集合」这个假定引起的。所以现代的集合论认为 「一切集合的聚集」不是集合,而是「真类」。从而就完全消解了康托尔悖论。


(
二)

关于罗素悖论,李先生声称他【证明】了此悖论不存在。他【证明】了所谓的定理1。即【 对于任一根据性质φ(a)定义的集合 A={a|φ(a)} 中的元素不包括 A 本身,即 A乛∈A。】

当然,在定理1成立的条件下,罗素悖论是不存在的。但是遗憾的是这个定理1在原始的集合论中并不成立。例如当φ(a)是性质「a是一个集合」时,即A={a| a是一个集合},A是所有集合的聚集。如果A是集合,显然A∈A,并不符合李先生的【定理1】中断定的A乛∈A。这就说明定理1在早期的集合论中并不成立。

问题是李先生对定理1的【证明】是错误的。他的证明分三种情况。1)当A是空集时,显然有  A乛∈A。这没有问题。2)当A仅含一个元素时,李先生的根据是所谓的公式(1),即 a≠{a}。3)当A含有多个元素时,李先生没有根据任何理由就断定A中的一切元素ai都不等于A 。

问题就出在公式(1)和没有任何理由就断定「A中的一切元素ai都不等于A 」上。李先生认为根据集合的【定义】可以证明公式(1)。这其实是不对的。「集合」这个概念,以及「属于(∈)」关系,在集合论中属于原始概念,没有定义也不需要定义。在普通教科书中,对什么是集合的各种说法,只是为了让读者了解集合的一种通俗的、直观的说明和解释,並不是严格意义上的数学定义。不能根据这些「解释和说明」来进行正式的严格的证明。

在原始集合论中把集合解释为一些不同事物(对象)的聚集。提出了两种表示集合的方法。一种是罗列元素的方法: A={a1,a2,...,an}。把集合的元素直接列举出来。这种方法多用于有穷集的表示。第二种是描述元素属性的方法(概括法): A={a丨φ(a) }。表示由所有滿足性质φ(a)的a作为元素构成的集合。

要知道在原始集合论中,并没有排除那种「自反表示」的情况。例如允许出现A={...,A,...},此时就有A∈A。也允许在 A={a丨φ(a)}中A满足性质φ,即φ(A)成立。此时也有A∈A。正因为如此,在原始集合论中才有正常集同非正常集之分。可见在原始集合论中, 允许非正常集的存在,李先生的【定理1】在原始(朴素)集合论中是不成立的,是不可能得到【证明】的。

李先生的【定理1】以及公式(1),「A中的一切元素ai都不等于A 」,这些都不是在原始集合论中可证明的「定理」,而是一种李先生认可的「假定」、「原则」和「公理」。而这些正好符合现代集合论中的一些原则和公理的要求。在现代集合论中把由性质φ(a)来定义聚集的方法称为「一般概括原则」。对这种定义方法是做了严格限制的,不允许用一般概括原则来定义集合。也就是说用「一般概括原则」定义的聚集是「类」不是「集合」。另外不允许有滿足A∈A的非正常集合存在,这正是「正则公理」的一个重要的推论。也就是说李先生的定理1是在现代集合论可证明的定理(我没有具体推论,我估计可以证明。)。但并不是在早期的集合论中可证明的定理。

也就是说李先生所论证的【在定理1成立的条件下罗素悖论不存在】,正好说明是现代集合论中,由于有了所有集合必须遵守的一些原则和公理,从而使罗素悖论不可能存在,彻底消解了罗素悖论。

但是在早期的集合论中,由于没有这些严格的规定,所以才出现了有名的罗素悖论。李先生的 【 康托悖论和罗素悖论实际上根本不存在】的论点是错误的。

这里还要补充做点解释,既然「集合」这个概念是原始概念,没有定义,那么怎么来界定它的确切含义呢?原始概念的确切含义是由系统中的一系列「原则」和「公理」来决定的。就如同在几何学中的点、直线等原始概念没有定义一样,这些概念的确切念义是由几何公理所决定的。也就是说,在几何学中把滿足几何公理的数学对象称为点和直线。同样在集合论中把滿足集合论中所有原则(或公理)的数学对象称为「集合」。所以说原始概念虽没有直接的定义,并不等于说它没有确切的念义。涉及原始概念的定理虽然不能根据定义来证明,但可根据有关系统的原则和公理来证明。

 

(三)

最后我们再对李先生 【为了更详细地揭示罗素悖论的成因,......做一些最简单的具体实例演算】的错误作一些评论。

李先生首先【假定世界上只有一个平常集 S1 和另一个不平常集 S2】。这样,根据罗素悖论的 A={S |S乛∈S}(3)式,立刻可得A={S1} (4)式。李先生认为【 A 的元素中只有 S1,由(1)式可见,S1≠A,即并没有如罗素所想的那样在 A 的元素中出现 A。故 A 乛∈A,A 为平常集且并没有出现任何矛盾!】

这么明显的矛盾,李先生怎么能视而不见呢?既然【 假定世界上只有一个平常集 S1】,而又己知【 A 为平常集】,显然即可得出 S1=A。这同【 S1≠A】难道不发生矛盾吗?

只要李先生不限制一般概括方法的应用,承认一般概括方法构成的聚集是集合,罗素悖论的矛盾总是会存在的而消除不了。

实际上李先生是对「一般概括方法」做了一定的限制和改动的。但是他把这种限制看作是原始集合论中的一种必然的结果,甚至认为是可【证明】的定理,显然就不对了。

李还解释说: 【 然而,问题在于,A 是对 S 概括后才出现的,因此,在用(3)来对 S 进行概括前是不存在A 的,既如此,怎么可以在概括前就假定 A 的存在呢?

显然,罗素并没有注意到集合出现的这种先后次序,把概括后才出现的 A 当成了被概括的集合,陷入了逻辑循环和思维混乱,从而才导致了悖论。】

我在前面己经提到, 「一切集合的聚集」这是同所指的「一切集合」同时存在的对象。只要「一切集合」存在,「一切集合的聚集」也同时存在。它并不是在学者用概括的方法定义「一切集合的聚集」时才产生的新的对象。 当假定 「一切集合的聚集」是集合时,「一切集合的集合」作为「一切集合的聚集」,是同所指的「一切集合」同时存在的对象。因为你这里用了「一切」二字。如果 「一切集合的集合」是集合,则它也作为「一切集合」中的一员,是同 「一切集合」同时存在的对象。并不是在学者定义它时才产生的新的对象。在学者定义它时,它己经存在了。 学者的定义只是对己经存在着的对象的特征属性作了一种描述和起个名字而已。这里并没有产生什么【新集合】。 「一切集合的集合」是一种同「一切集合」同时存在的对象。这种存在是独立于学者的思维的,是不依学者对它的「概括」「定义」为转移的。否则,如果认为「一切集合的集合」是学者 【概括后才出现的】,【 概括前是不存在的】,那么你就解释不了由不同学者定义所出现的各个【新对象】为什么是同一个对象。解释不了这个对象究竟是哪个学者对其概括时产生的对象。李先生所说的【概括前】、【概括后】以及【 集合出现的这种先后次序】实际上是这些集合在你头脑中出现的次序,是学者的思维对这些存在的集合的认识的先后次序,并不说明是这些集合本身存在的先后次序。 要知道这种存在是独立于学者的思维的。

李先生文中还举了一个非常不恰当的例子。他说: 【 打一个比方,孩子出生之前,小家庭的一切成员只有夫妻两个人(S1和 S2),罗素却误 以为,既然是家庭的一切成员,S1和 S2中就应该包括后来才出生的孩子 A!】

要知道在这个例子中是生了小孩才改变了「小家庭的一切成员」的外延的,而不是在你数家庭成员(概括)时改变的。无论生小孩以前和以后,家庭成员数是个客观存在,不论你数(概括)多少次,都不会在你数家庭成员数时改变。不会数一次就增加一个「新成员」。 「小家庭的一切成员」是不会随着人们思维认识而改变的。

同样,所有集合的聚集是个存在,是不依人们对它的认识而转移而改变的。不会因为某个人概括一次称其为A,就增加一个新成员, 另一人再概括一次称其为B,又再增加一个新成员。

(四) 结论。

李先生说【 把包含定理 1 的素朴集合论称为新素朴集合论】。这是一句典型的不合逻辑的不倫不类的话。既然李先生声称定理1是可以用素朴集合论中的集合定义【证明】的定理。那么包含定理 1 的素朴集合论就理所当然的是素朴集合论本身,怎么会有什么【新】可言。

实际上李先生的【定理1】在 「 素朴集合论」中是【证明】不了的。确实是对 「 素朴集合论」增加了【新】的限制,增设了【新】的公理,这才称得上是【 新素朴集合论】。

不过我前面己经指出过,李先生的【定理1】是在现代集合论和公理集合论中可证的最基本的定理。并未超出现代集合论和公理集合论的范畴。所以李先生要说他提出的定理1是【 新素朴集合论】,尚需同现代集合论做些细緻的比较,看看是否确有新意。

综上所述,现在起码可以得出这样的结论: 他说的【定理1】可在 「 素朴集合论」中得到证明,以及所论证的在 「 素朴集合论」中 【 康托悖论和罗素悖论实际上根本不存在】和【 无论是康托悖论还是罗素悖论,其实都是一些诸如概念混淆之类违反同一律的非常低级的错误所导致,】等的这些论点都是完全错误的。


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