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Zmn-0095 薛问天：谈数学推理的逻辑缜密性-评李鸿仪先生的数学错误
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Zmn-0095 薛问天：谈数学推理的逻辑缜密性-评李鸿仪先生的数学错误
【编者按。下面是薛问天先生对《zmn-0093》李鸿仪先生的回复(一)的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。】
谈数学推理的逻辑缜密性
-评李鸿仪先生的数学错误
薛问天
xuewentian2006@sina.cn
李鴻仪先生谈论起大道理来，头头是道。也常把「数学是一门在逻辑上相当缜密的科学」掛在嘴上。他说:【 我一再强调，数学推导需要绝对的严格，任何一点点的不严格或随意都可能在推理的长链上被不断地放大最后造成塌方式的错误。】 但是只要一谈起具体的数学问题，就露出马脚来了。数学上的每个概念都要搞得清清楚楚，每一步的逻辑推理都要有根有据。什么是有定义的数学概念，什么是直观的模糊臆想，一定要分清。哪些是公理、定理，哪些是定义一定要讲明白，絲毫马虎不得。常常那些仅凭主观的臆想，想当然地误以为是【 这么简单的】的常人皆知的【常识性的东西】，往往是最容易犯错误的地方。说实在的 ，这些话李先生肯定不爱听，但是这是事实。不了解数学中的逻辑缜密性 ，就等于没有学懂数学，数学还没有入门。
不过也不必太过悲观，【 事情是否无解？】正如李先生自己的回答: 【也未必。】只要反复思考这些问题，把它们彻底想请楚，弄懂它。过了这个门槛，就可以进入「数学之门」了。我相信会有柳暗花明又一村的时光的！
(一) 【定理a】的错误.
我们来具体评评李先生为了论证他的【 无限集的一一对应可靠吗？】而提出的错误的数学【定理】和给出的错误的【证明】。李先生文中这么说:
【定理 a：在实无限假定下，两个自然数集合之间不一定能建立一一对应关系。
证明：根据一一对应即双射的定义，能在两个无限集之间建立一一对应关系的充分必要条件是两个集合具有相同的元素数目即具有相同的基数。现有一个自然数集合 N，在实无限假定下，无限已完成，故该集合存在一个完成了的基数，设用 W 表示之，设再有一个能与 N 建立一一对应关系的自然数集合 N’，其基数自然也是 W，现在抽取 N’中的偶数组成一个新的集合，得到的偶数集基数为 W/2，再将偶数集合的每个元素除以 2，得到的集合用 N*表示，显然 N*也是一个自然数集，但其基数只有集合 N 的一半，故不能在集合 N 与 N*之间建 立一一对应关系。 证毕。】
现在来逐段评论李先生的这个【定理a】的【证明】。
笫一段【 根据一一对应即双射的定义，能在两个无限集之间建立一一对应关系的充分必要条件是两个集合具有相同的元素数目即具有相同的基数。】
【 两个集合具有相同的元素数目】，所涉及的【集合的元素数目】对有穷集合来说，这是一个明确的概念。但是对于无穷集合来说，这是一个没有严格数学定义的直觉概念。
套李先生自己的话 ， 【集合的元素数目】，【 原本是用于有限集合的，在将其推广至无限集合时， 包括(李鸿仪先生)本人在内，并没有任何人严格地证明过为何这种推广是可靠的。】
对于无穷集合，什么是【集合的元素数目】，在没有给出定义之前是没有任何意义的。不能由此参与任何推论。这里还不止是【可靠】与【不可靠】的问题，根本就没有定义。
除非你把【集合的元素数目】定义为【集合的基数】。
李先生这里说的充分必要条件，在集合论中不是一条定理，而是直接根据「基数」的定义: 【 能在两个集合之间建立一一对应关系，则称为 两个集合具有相同的基数。】
我认为把用一一对应所定义的「基数」，作为【集合的元素数目】这个 对于无穷集合来说，没有严格数学定义的直觉概念的严格数学定义，这是最好最科学的选择 。李先生似乎也认可了这点。因为他在文中用了【即】，这个字就是等同的意思。如果你认可了【基数】是 【集合的元素数目】的严格定义，你就必须按照 【基数】的定义来理解 【集合的元素数目】这个数学概念所表示的确切含意，而不能根据 【集合的元素数目】，这个词的字面含义，特别是把有穷集的有关【元素数目】的理解随意套到无穷集上来。
所以第一段在上述理解的条件下，可以明确地改为:
【 根据由一一对应(即双射)所定义的「基数」可以作为「集合元素数目」的严格定义，所以能在两个集合之间建立一一对应关系的充分必要条件是两个集合具有相同的基数即具有相同的元素数目。】
第二段【 现有一个自然数集合 N，在实无限假定下，无限已完成，故该集合存在一个完成了的基数，设用 W 表示之，设再有一个能与 N建立一一对应关系的自然数集合 N’，其基数自然也是 W，】
这段没有问题，只是把【 在实无限假定下】改为【实无限观者认为】可能更为适合。
第三段【 现在抽取 N’中的偶数组成一个新的集合，得到的偶数集基数为 W/2，】
这就大错特错了。基数中没有这个基数W/2。这是李鴻仪先生的错误的推断。李先生不是一再强调【 数学推导需要绝对的严格】，请问你这个推论是如何得出的？根据是什么？
没有根据！这个结论是李先生的主观臆想。他错误误地根据自然数的有穷集合，抽取其中偶数的集合的基数是原集合基数的一半，就错误地以为基数是w的自然数无穷集合N中偶数集合的基数是W/2。这个在有穷集合适用的规律，李先生却毫无根据地认为在无穷集下也成立。这就是李先生的错误所在。
全体偶数集合的基数不是W/2(根本就无此基数)，而是W。 将集合N’的每个元素乘以 2，得到的集合就是全体偶数集合。可见全体偶数集合同N’元素之间可一一对应。按基数的定义，显然基数相等，是W。李先生在这里犯了无根据推论的错误。
第四段【 再将偶数集合的每个元素除以 2，得到的集合用 N*表示，显然 N*也是一个自然数集，但其基数只有集合 N 的一半，故不能在集合 N 与 N*之间建 立一一对应关系。】
这一段的错误在于它根据的是第三段的错误论断: 全体偶数集合的【 基数只有集合 N 的一半】，从而所得的结论【 故不能在集合 N 与 N*之间建 立一一对应关系】自然就是错误的。实际上，全体偶数集合的基数是W，同N的基数相同，所以 集合 N 与 N*之间完全能建 立一一对应关系。
从以上分析可知，李先生明明知道全体偶数集合能同全体自然数集合N一一对应(如除2)，具有相同的基数W。却仍坚持错误地认为全体偶数集合的基数是W/2 。其实原因很简单，因为偶数集是N的真子集。在李先生的思想深处接受不了无穷集合能同它的真子集基数相等的事实。想从这里找出集合论的矛盾来。然而事实上这里没有任何矛盾。可以严格证明:「无穷集合能同它的某真子集建立一一对应关系」，这正是无穷集合区别于有穷集合的特征属性。
(二)，关于【潜无限集合】及【李氏基数】
众所周知，集合论是建立在实无穷观的基础之上的。潜无穷观根本不承认无穷集合是确定的数学对象。因而在潜无穷观上是不可能建立集合论的。关于这一点李鸿仪先生也是知晓的。但他却硬要提出【潜无限集合】及其【基数】，可以说是逻辑混乱，不伦不类。
下面我们来具体分析。
李先生把 【潜无限集合】定义为【可以扩张的有限集】。並举例说: 【 以自然数为例，普通的有限集可表示为{1，2，3,…,n}，但对潜无穷来说，n 是可以无限增加的，所以我将潜无穷的自然数集合表示为{1，2，3,…,n}，n 趋于无限。】
要知道，要定义一个集合就是要定义出该集合的元素是哪些对象。李先生的【可以扩张的有限集】根本就没有定义出来，也没有说清楚他所定义的 【潜无限集合】包括的是哪些元素。【可以扩张的有限集】在扩张的过程中产生了无穷多个有限集合，但始终都是有限集 。 在潜无穷观者看来，这【所有无穷多个有限集】不可能产生像全体自然数这样的「无穷集」。就是实无穷论者，认为扩张过程可以完成，也不认为有个「扩张过程的终点」，有个「最后一步扩张」，使 【可以扩张的有限集】达到「无限集」。
实无穷观者，认为扩张过程可以完成，承认这【所有无穷多个有限集】的存在。而是把这【所有无穷多个有限集】中所有元素的总和(并集，去掉重复的元素)，定义为所定义的「无穷集」的元素。而不是认为这【可以扩张的有限集】经扩张就可达到「无限集」的。
这种由有限集的不断扩张所定义的集合，在实无穷者看来，只是集合的一部分，即基数是Aleph_0(可数无穷)的集合。也就是说这些集合的基数都相同，只有一个。可李先生却别出心裁地为这些集合另定义了一套【基数】。自然它与公认的由一一对应定义的【基数】完全不同 。只能称其为【李氏基数】。
李先生 把【潜无限集合】的【基数】定义为不断增加着的有限集合的基数，并举例说: 【例如，自然数集合{1，2，3,…,n}（n 趋于无限）的基数为 n。】李先生没有说清楚，这个【 不断增加着的有限集合的基数】并不是一个确定的常数，而是一个变量，是以有限集合扩张的次数k为自变量的函数，例如n=f(k)。如果全体自然数集合的不断扩张的有限集合序列是由空集开始，然后是{1}，{1,2}，...。则相应的 【 不断增加着的有限集合的基数】是函数n=f(k)=k。
可见任何 【潜无限集合】的 【李氏基数】都是确定的，独立的函数，它不受其它集合基数的制约和影响。李先生所说的【 对于潜无限集 A 和 B，若两个无限集的基数 n,m 是有制约关系的称之为不独立的两个潜无穷集。】的情况是莫须有的，不存在的。
例如，对于对 N 进制的无限小数，其中【有限小数位数】这个 【潜无限集合】的 【李氏基数】是函数n(k)=k。而 【有限小数个数】这个 【潜无限集合】的 【李氏基数】是函数m(k)=N^k。它们都是扩张次数k的独立函数，至于 m=N^n只是这两个独立函数之间所具有的关系，而不是相互间的制约。
(三)关于【引理】和【定理b】。
李文中有一个这样的引理。【 引理 基数分别为n和m的两个潜无限集之间建立一一对应的充分必要条件是n=m.】
这个引理陈述本身的就是概念含混不清的。一一对应是集合论中的概念 。有明确定义，是指两个集合之间的双射。请问什么是【 两个潜无限集之间建立一一对应】?要知道 【潜无限集合】並不是一个集合，而是 【可以扩张的有限集】，是【无穷多个有限集】。你说的【 建立一一对应】是指的哪些集合之间的【一一对应】。如果指的是这些相应的【无穷多个有限集】之间。显然就是对任何k，有n(k)=m(k)，这就是【李氏基数】的定义。
不知李先生是否看出【李氏基数】 把基数定义为 【潜无限集合】中不断增加着的有限集合的基数的弊端。同一个全体自然数的集合N={1,2,3,...}，作为 【潜无限集合】 你可以每次增加1个元素这样扩张: {} ,{1},{1,2},{1,2,3},... ，也可以每次增加两个元素这样扩张: {},{1,2},{1,2,3,4},...。显然它们的【李氏基数】分别是n=k和m=2k是不相同的。结果出现了「同一个集合N有不同的李氏基数」。而这正是李先生【定理a】批判一一对应不可靠的理由 : 【 两个自然数集合之间不一定能建立一一对应关系】，那么 「同一个集合N有不同的李氏基数」是否说明【李氏基数】不可靠！
再看李先生的【定理b】
【 定理 b 任意两个独立的潜无限集 A、B 之间都可以建立一一对应关系。】
不知李先生查觉到没有，【李氏基数】己陷入一派逻辑混乱的泥潭之中。我们把【定理b】和【引理】放在一起，可以直接推出如下结论: 【 任意两个独立的潜无限集，如果它们的李氏基数分别为n和m，则n=m。】请问这意味着什么?这意味着潜无限集的李氏基数可以等于任何无限增大的函数。它己经同是哪个潜无限集的李氏基数无关，可以等于任何其它潛无限集的李氏基数。请问定义这样的【李氏基数】还有何意义?
(四)关于其它问题。
李文还有其它一些错误推论。
(1)关于康托定理。
李先生说: 【 对 N 进制来说，小数数目{1,2,3,…, N^n }（N^n 趋于无限）显然也是一个无限的自然数集，故小数数目也可以与无限自然数集建立一一对应关系。同理，自然数集{1，2，3，…,n}(n 趋于无限)的幂集元素可以与自然数集{1,2,3,…, 2^n }（2^n 或 n 趋于无限）建立一一对应关系，因此若持潜无限观，康托定理并不成立。】
李先生的错误在于混淆了几个概念。李先生这里所说的【小数数目】实际上是「所有有穷小数」集合的基数，它当然等于全体自然数集合的基数。而康托定理所说的是「所有无穷小数」集合的基数不等于(大于)全体自然数集合的基数。
李先生这里所说的【幂集元素】实际上是「所有有限集合」的幂集集合的基数，它当然等于全体自然数集合的基数。而康托定理所说的是「全体自然数」这个无穷集的幂集集合的基数不等于(大于)全体自然数集合的基数。
(2)关于可数集合的定义。
李先生说: 【 可数集的定义是该集合能与自然数集建立一一对应关系，或能将其元素一一列出（易证两种定义互为充要条件，且后者更为直观，所以也被普遍使用。】
李先生的说法是自相矛盾的。既然李先生认为这两个定义是等价的，为什么还要说 【 可列不过是可以列出而已，并没有说是可以全部列出的，】而一一对应说得很清楚，是指全部集合的元素无遗漏无重复地同自然数一一对应，是不是【全部列出】?
(3) 关于「一一对应」的可靠性。
李先生说: 【 在任意两个独立的潜无限集 A、B 之间既可以建立一一对应关系，也可以建立非一一对应关系。换言之，对潜无限集，一一对应也是不可靠的。】
李先生在多个地方说到【不可靠】这个词。但始终没有解释他说的【不可靠】指的是什么?如果指【会引起矛盾】，那么上述论断就是错误的。因为在集合论里【 可以建立一一对应关系】，同【可以建立非一一对应关系】并不矛盾。因为在逻辑上同 【 可以建立一一对应关系】矛盾的命题是【所有的映射关系都是非一一对应关系】而不是 【可以建立非一一对应关系】。这是一个简单的逻辑常识，有些人常常搞不清而发生错误认识。举个直观例子，同【班里有女生】矛盾的命题并不是【班里有非女生(男生)】。真正同它矛盾的命题是【全班都是男生】。说【班里有女生】又说【班里有男生】这一点矛盾都没有。
(4) 证明同系统的关系 。
李先生说: 【 要多在数学证明上下功夫，比如 a 不等于{a}是可以用正则公理证明的，我只是在经典集合论里把它证明出来了而已。】
李先生不了解定理的证明同系统有关。误以为只要【下功夫】就可以得到证明。他不了解【所有集合a， a 不等于{a}】，【不存在不平常集】这样的命题在原始的素朴集合论里是证明不了的。他的证明是错误的，只有在现代集合论和公理集合中，由于引入了一些原则和公理，才能得到证明。
尽管大象朴实憨厚，也很可爱 ，但要让他认知磁器的文明 ，几乎是不可能的。就是让他服从磁器店的规矩也是太难太难。在大象的眼里，再名贵的磁器，也不过是些泥土烧成的没用东西。一鼻子扫过去准会打个稀巴烂。不过总算还有那些聪明的驯象女郎。她们能把鲁莽的大象调教得温顺听话，服服帖帖，实在令人钦佩。
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