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Zmn-0092 薛问天:评樊毅先生在证明a≠{a}中的错误

已有 585 次阅读 2020-1-27 23:18 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0092 薛问天:评樊毅先生在证明a≠{a}中的错误
【编者按。下面是薛问天先生对《zmn-0091》樊毅先生的文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。】

 

评樊毅先生在证明a≠{a}中的错误
薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

不要忘记我们讨论的问题是什么。我们争论的问题是,在素朴集合论中能否「证明」a≠{a}?严格地说即 在素朴集合论中能否证明【对所有的集合a, a≠{a}】。

樊毅先生的回答是可以证明。证明的思路(根据)是: 如果用式(I)证明存在集合a,使a={a},则犯了循环定义的错误。所以这样的集合不存在。

我认为这个证明理由不正确。因为式(I)A={a1,...,an}, 是描述集合的一种方法,根本不是定义。何谈循环定义。(I)式中A,a1,...,an,都是确定的对象,A称为集合,a1,...,an称为元素。只要求元素相异,并未要求A不同于任何ai。

我也说过,只有把(I)式看作是一种生成(构造)集合的方式。【 如果你用「构造性」的方式来定义集合概念,你把(I)和(II)看作是两个由己有集合生成新集合的构造方式。把集合「构造性」地定义为,由若干个原始元素开始,经有穷次地使用 (I)和(II)两种构造方式所生成的集合。在(I)中等号右边的a1,...,an是原始元素或己生成的集合,等号左边的A是新生成的集合,自然不可能有ai=A。不能有A={...,A,...}存在。】

问题是在素朴集合论中并没有这样「构造性」地定义集合。也就是说,断定一个集合的存在,并未要求必须用构造性的方式把它构造出来。不能推论说构造不出来就不承认它的存在。既使是在现代集合论和公理集合论中对集合的「存在」都没有这种「构造性」的要求。而承认由反证法等推理方法能证明集合的存在。

这一点樊毅先生也是认可的。他说【 虽然康托并没有说集合必须由(I)或(II)构造而来,但是也没有禁止这样做。】是的,没有禁止这样做,也就是说,在素朴集合论中,「可以」用构造来证明某些集合的存在。但是这不是「必须」的。不能说,所有集合都必须用构造方法生成。说构造不出来,集合就不存在。而樊毅先生所论证的正是由「构造不出来」得出集合不存在的结论。

樊毅先生说【注意,康托说,构成集合的事物,必须是“确定之物”,现在满足a={a}的对象a只能是一个集合,但是怎样确定a呢?那就必须给出a的定义来,你不能说a是无法定义的,那就更加无法知道a是什么了。

......,能不能给出一个a的定义,让a={a}。事实上,除了用(I)或(II)的方式来定义a,没有别的办法给出一个具体的对象a,使其满足a={a}这个等式。】

又说【 但是在实际操作中,如果把a={a}当做一个方程来求解,那么a其实是没有合法解的。所以,并不是说把a={a}或a={x|x='a'}强行当成了定义,而是为了让a={a},a只能这样定义。】

也就是说,樊先生认为,为了证明集合a={a}的存在,【 必须给出a的定义来】,【 除了用(I)或(II)的方式来定义a,没有别的办法给出一个具体的对象a,使其满足a={a}这个等式。】【 在实际操作中,......为了让a={a},a只能这样定义。】

说来说去,樊毅先生只是口头上承认在素朴集合论中,【 并没有说集合必须由(I)或(II)构造而来】。但是在他的思想深处仍然坚持【 除了用(I)或(II)的方式来定义a,没有别的办法】。也就是说他认为集合a={a}不能用(I)和(II)定义,就能「证明」这样的集合不存在。这就说明,在他的「证明」中用到了【 集合必须由(I)或(II)构造而来】的论据。然而这在素朴集合论中并没有这样的「构造性」的有关集合的定义。所以樊毅先生的「证明」是论据不充分的,是错误的。

关于其它问题,如是否有必要区分「无穷」和「无限」,实无穷观认为完成的是「过程」,还是「方法」等。樊毅认为是「非原则问题」。就不在此再讨论了。



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