博文

Zmn-0091 樊毅：一些问题需要澄清，回复薛问天老师

已有 1878 次阅读 2020-1-23 16:06 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0091 樊毅：一些问题需要澄清，回复薛问天老师

【编者按。下⾯是樊毅先⽣对《zmn-0090》中薛问天先生的评论的回复。现在发布如下，供⽹友们共享。请⼤家关注并积极评论。】

一些问题需要澄清，回复薛问天老师

首先感谢薛问天老师对我的文章进行了评点。对薛老师扎实的数学功底表示钦佩。只不过实无穷和集合论问题因为涉及悖论，其实并非纯粹的数学问题，还是逻辑学和语言学问题，再加之我前文中的阐述也有不清晰之处，因此薛老师对我的观点的解读不太准确是可以理解的。在此做一些澄清，有原则性的，也有非原则性的。

原则性的，是指有对错之分的。

非原则性的，是指无所谓正确与否，关键是看问题的角度。

（1）为什么说a={a}导致了循环定义的错误？

这是个原则性的问题，必须澄清。

薛老师认为，我错误的把集合的表示方法当成了集合的定义方法，其实a={a}并没有导致循环定义的错误。

我仔细看了一下我的前文，发现我确实没有说清楚一个重要的问题：a={x|x='a'}到底是不是一个定义？

薛老师说：如果 (I)和(II)看作是一种一般意义下的对象滿足的等式，其中等号左右两边的对象一视同仁，都看作是己经存在的对象，则並不排斥(I)式中有某ai=A的情况，也不排斥A滿足性质φ，使φ(A)为真的可能。从而有A∈A 。（注：I和II是：(I) A={a1,a2,...,an}和 (II) A={a|φ(a)}）

薛老师有一点是对的，素朴集合论中並不排斥A滿足性质φ的情况，这我在前文中也是表示同意的，全集V也是集合。但是(I)式中是否允许有某ai=A呢？薛老师认为也是允许的，理由是：“等号左右两边的对象一视同仁，都看作是己经存在的对象”。

薛老师认为，由于在素朴集合论中，对于“集合”，并没有给出严格的数学定义，因此素朴集合论并没有像I或II这样来「构造性」地定义集合，这是对的，但是反过来就不对了，虽然康托并没有说集合必须由(I)或(II)构造而来，但是也没有禁止这样做。

现在我们来看a={a}，会不会有一个具体对象a满足这个等式呢？假设a不是一个集合，而{a}显然是一个集合，因此如果a不是一个集合，a不可能等于{a}。所以如果想让a={a}，a只能是一个集合。

注意，康托说，构成集合的事物，必须是“确定之物”，现在满足a={a}的对象a只能是一个集合，但是怎样确定a呢？那就必须给出a的定义来，你不能说a是无法定义的，那就更加无法知道a是什么了。

现在问题来了，薛老师自己也可以试试，能不能给出一个a的定义，让a={a}。事实上，除了用（I）或（II）的方式来定义a，没有别的办法给出一个具体的对象a，使其满足a={a}这个等式。

薛老师的引文应该是出自张锦文老师的《公理集合论导引》，

张锦文老师说：“任意对象都可以作为集合的元素，集合也可以做集合的元素”。这我是赞同的，否则也不会认为V可以属于V。

但是在实际操作中，如果把a={a}当做一个方程来求解，那么a其实是没有合法解的。所以，并不是说把a={a}或a={x|x='a'}强行当成了定义，而是为了让a={a}，a只能这样定义。同理，a={1,2,a}也是无解的，除非直接把a定义为{1,2,a}或者{x|x='1'或x='2'或x='a'}。

因此，并不是我错误的理解了素朴集合论，而是薛老师想当然的以为，确实有对象a可以在不导致循环定义的情况下满足a={a}这个等式。

当然，因为我在前文并没有说清楚我的想法，因此薛老师有误解也是正常的。

至于我的集合论，其实是建立在“悖论是由隐性的循环定义导致的”这个理论基础上。而且，这个理论可以同时解释语义学悖论和集合论悖论，因为集合实际跟“概念的外延”是同一个意思。在我的集合论中，不需要特别规定“不允许集合属于自身”，也能消解悖论。当然，这是后话了，需要等我的集合论完善后再发表供薛老师评点。

（2）关于实无穷

这是个非原则性的问题。我提出的新实无穷观点，是试图说明为什么潜无穷论者不认同康托的实无穷观点。

薛老师认为无需修正康托的观点。这可以理解，因为薛老师已经认同康托的实无穷论。但是他的理由值得商榷。

薛老师说：“我认为没有必要作这样的更改，方法也要有个实施过程。方法的完成指的就是方法的实施过程的完成，并无区别。问题不在于是方法还是过程，问题在于是「有穷过程」还是「无穷过程」。有穷过程有始有终，有完成的终点。但无穷的生成过程却不是如此，它可以完成，生成了所有的自然数，生成了确定的全体自然数集合。但生成过程可以没有终点。也就是说没有一个确定的终止时刻，没有过程的最后一步，在这一步生成了最后一个自然数。这是无穷过程的特点。不能用有穷过程的样式来套无穷过程。这就是实无限观对自然数生成过程的看法。”

这里的第1个问题是：“方法的完成指的就是方法的实施过程的完成”。从语言学角度来看，这是有问题的。方法的完成是指方法已经确定了，完成了方法的构建，可以实施，也可以不实施，实施的结果甚至可以不成功，因此更谈不上实施是否已经完成。

第2个问题是：“有穷过程有始有终，有完成的终点。但无穷的生成过程却不是如此，它可以完成，生成了所有的自然数，生成了确定的全体自然数集合。但生成过程可以没有终点。也就是说没有一个确定的终止时刻，没有过程的最后一步，在这一步生成了最后一个自然数。”

在语言学中，“过程”伴随着的是时间的变化。“完成了”，就是指在某一个时刻之后，过程没有了，这个时刻就是过程的“终点”。当然，你也可以说过程一直在进行之中，那么就没有“终点”。这就是潜无穷的观点。既然是“生成了所有的自然数”，那么理应有一个确定的终点。康托强行把“过程的完成”分为“有穷过程的完成”和“无穷过程的完成”，结果就导致了语言学上的歧义。

第3个问题是：“这是无穷过程的特点。不能用有穷过程的样式来套无穷过程。”

为什么潜无穷论者指责实无穷论者“以势压人”而不是“以理服人”呢？就是因为赞同康托的实无穷论者总是说：反正无穷就是这样，你不承认就是不理解无穷的特点。这样并不能够解决问题，还是要把理讲透。

第4个问题是：“这就是实无限观对自然数生成过程的看法”。

我也是实无限论者，但我的观点就不一样。所以不能说“这就是实无限观对自然数生成过程的看法”，而只能说“这就是康托的实无限观对自然数生成过程的看法”。

我认为，无穷确实描述了和无限一样的实际效果，但也确实有不同之处。我觉得康托的实无限观点为什么无法得到潜无限论者的同意，就是因为没有把“完成”的到底是什么讲清楚，而是总强调“无穷就是没有终点，但是已经完成”。如果不从无穷角度说，而是指出“无限就是生成方法中对过程没有限制，完成是指无限制的生成方法是完成了的”，我觉得更容易解释清楚无限的特点。

而且不是非要说“是把所有自然数都生成了，所以才有的自然数集”。我在回复李鸿仪老师的文章中已经指出，没有时间定语限制时，集合中的元素完全可能是还没有构造出来的。康托自己也说：集合只是对对象的概括。这里并没有要求对象是已经存在的。

张锦文老师总结的概括原理中说，当一个元素有性质p时，就属于集合，没有性质p时，就不属于集合，集合中元素的性质一旦给出，某个元素是否属于集合就确定了。

当然，由于这一问题不属于原则问题，所以薛老师完全可以不理会我的说法，求同存异即可。

返回到：

zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录