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Zmn-0090 薛问天：大象走进了瓷器店-评李鸿仪先生的有关数学问题的评论
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Zmn-0090 薛问天：大象走进了瓷器店-评李鸿仪先生的有关数学问题的评论
【编者按。下⾯是薛问天先⽣对《zmn-0088，0089》李鸿仪先生和樊毅先生的文章的评论。现在发布如下，供⽹友们共享。请⼤家关注并积极评论。】
大象走进了瓷器店
-评李鸿仪先生的有关数学问题的评论
薛问天
xuewentian2006@sina.cn
看了李鸿仪先生有关几个数学问题的评论，不由得使我大吃一惊。原来李鸿仪先生，作为一个大学的化学老师，竟然是「这样地」理解和评论数学概念的。
人的感觉和印象有时很奇怪。不知为什么，在我的脑海里突然呈现了一幅「大象走进了瓷器店」的图像。大象有它独特的习惯和行为举止，让它遵守瓷器店的规矩，实在是太难太难......。
(一)什么是「可数(可列)」？
李先生对 「可数(可列)」这个概念的理解，给我的印象最深。
学习数学的一个最基本的常识，就是不要从一个概念的名称的字面上来理解这个概念的数学含义。不能这样理解，更不能以此作为根据来作数学的论证。唯一用来理解数学概念确切含义的只能是该概念的严格数学定义和有关公理。
例如你要学习什么是「自然数」，什么是「实数」时，「自然」和「实」这些名称帮不了你任何忙。你就是绞尽脑汁也从「自然」和「实」这些名称的字面上探讨和分析不出「自然数」和「实数」的确切含义来。「自然数」不能理解为「自自然然」的数，「实数」也不能理解为「实实在在」的数。它们的确切含义只能依据相应的数学定义或公理来确定。
显然，李先生缺乏这个数学上的最基本的常识。他对「可列(可数)」这个概念的理解和论证就是依赖「可列」这个名称的字面含义的。
李先生说: 【 可列不过是可以列出而已，并没有说是可以全部列出的，前面已经说过，即使是自然数，也是不可能将其全部列出的，何况实数？】
关于「可列(可数)」在数学上有明确的严格的定义，「一个集合如果能同全体自然数集合N建立一一对应关系，则称此集合是可列(可数)的。」请问李先生，你是不知道有此定义还是你不认可数学的基本常识?说什么【可列不过是可以列出而已，并没有说是可以全部列出的】，还由此推出自然数也不是「可以全部列出」的，难道全体自然数集合自己同自已都不能建立一一对应关系了吗？
一个集合可列按定义就是能同N一一对应。一一对应就是双射，就是两个集合的全部元素之间的无重复、无遗漏地相互映射。而李先生从「可列」这个名称的字面含义上随意曲解，又生出一个「全部列出」的概念来。既然「可列」的定义就是两个集合的全部元素间可建立一一对应关系，请问你的「全部列出」又该如何定义？
还说什么【 康托实际上是做了两个假定，1 实数是可列的，2 可列的数是能够一个不漏地全部列出来的。】违背数学的基本常识，仅凭概念名称字面上的含义的随意曲解， 把一个从未定义过的概念就直接拿来作为论证的依据，就拿来否定康托定理的证明。这不是负责任的严肃的数学推论，这是在「摆尤门阵」，是在「侃大山」。 李先生的这些论调确实使我相当震惊。
李先生就是在这个没有定义的「可以全部列出」的基础上侃了一大堆「大山」。别人不知道他说的是什么。
我们知道基数和序数是自然数集合的扩展 。但扩展的数己不是自然数了，而是称为超穷基数和超穷序数。
有穷集的幂集仍然是有穷集，当然可以同与其等势的有穷的自然数集合建立一一对应。 但是对于无穷集来说 它的幂集就不能同自然数集一一对应了。所以李先生说【 无论在有限还是无限的情况下，集合 A={1，2，3,…, n}(n 为常数或趋于无限)的幂集 P(A)...... 无法证明 P(A)不能与自然数成立一一对应关系。】是错误的。
一般康托定理证明的就是集合的幂集不能同原集合一一对应。全体自然数集合N的幂集就不能同N一一对应了。但是可以同一定的超穷序数的集合一一对应。这是康托尔定理证明的事实。说【 幂集元素仍然可与扩展了的自然数集一一对应】此话没有错，但要注意【扩展了的自然数】如超穷序数，超穷基数并不是自然数。所以李文说【 无法证明 P(A)不能与自然数成立一一对应关系】是错误的。康托尔定理证明的就是这点。
(二)集合论中能求「极限」吗？
戏曲行当分生旦净末丑， 人人都知道，花旦的唱腔不能随意地用在黑头身上。各行各业都有各自的本行专业，不能随意混杂。同样在数学中也有很多数学分支。一定要分清哪些概念和方法是在哪个分支中适用的。哪些概念和方法离开了这个分支，就失去了它原有的意义。
我们知道「极限」这个概念是数学分析微积分学中的一个慨念，它有严格的定义。称实数a是实数的无穷序列a1，a2，...，an，... 当n趋近于无穷大时的极限。是指当n充分大时可使an同a的距离任意的小。在这里序列an以及极限a都是实数。因而现有的「极限」这个概念以及有关求极限的所有法则都是只适用实数的，超出了实数这个范围，就不一定再适用了。这也可以看作是数学的最基本的常识之一。
李先生的错误就在于，他不顾数学的这些基本常识，在集合论中随意乱用极限，而且还不讲任何道理地用极限来妄加推理和「证明」。
例如他说: 【 无论在有限还是无限的情况下，集合 A={1，2，3,…, n}(n 为常数或趋于无限)的幂集 P(A)都不能与 A 形成一一对应关系，但却可以与 A*={1，2，3,…, 2^n}(n 为常数或趋于无限)形成一一对应关系。】
这是典型地、想当然地在集合论中随意乱用极限概念。请问李先生，你根据什么说有穷集合的无穷序列An: A1={1},A2={1,2},...,An={1,2,...,n},.......
在n趋于无穷大时的极限就是N={1,2,...,n,...}?
你又根据什么说有穷集合的幂集的等势集合序列:
B1={1,2},B2={1,2,3,4},...,Bn={1,2,...,2^n},......
在n趋于无穷大时的极限就是N的幂集的等势集合，而且就等于N?
即你根据什么说有穷集合的幂集(等势)的极限等于有穷集合的极限的幂集(等势)。
肯定李先生又是仅凭「极限」的字面含义来理解这个概念的。实数序列的极限的定义是要依赖实数的「距离」的。集合间并没有距离这个概念，请问李先生你又是如何定义集合的无穷序列的极限呢？
在这些有关集合(而不是实数)的极限概念和法则没有任何定义和证明的情况下，根据李先的主观臆想，想当然地所得出的结论【 由于 A*也是一个自然数集，所以无法证明 P(A)不能与自然数成立一一对应关系。】就没有任何意义。李先生的这些论证就如同用旦角的腔调来唱黑头一样。牛头对不上马嘴，实在是连听都听不下去。
(三)究竟什么是现代的「实无限观」?
综上所述，对「可列(可数)」这个数学概念，不从它的定义，而是从它的名称的字面含义来理解数学概念的含义，这是严重违背数学常数的错误作法。把对实数有定义的「极限」概念胡里胡涂地用于没有定义的集合上来，也是一种错误。下面我们要讲的另一类错误，那就是根据对定义的错误的理解来进行论证。
李先生批了一阵实无限，然后得出结论说【 实无限并不是普遍成立的】，甚至说【 这样一来，原本在实无限基础上的得到的一些东西的可靠性就要重新审视了。】
仔细一看，原来是李先生把实无限的定义理解错了。他所批判的并不是真正的「实无限」，而批判的是「他错误理解下的实无限」。所以结论并不是【 实无限并不是普遍成立的】，而是【 他错误理解下的实无限并不是普遍成立的】。
李先生在文中说【 康托把实无限过程定义为已经完成的无限过程，既然过程已经完成，自然就已经达到了终点，反之亦然，因此，实无限的充分必要条件是其终点已经达到。】这是典型的对康托尔现代实无限观的错误理解和歪曲，实际上是过时的古典实无限观点的翻版。 以康托尔为代表的现代实无限观承认无限过程可以完成，但并不等于认为无限过程有达到了的终点。我为此还专门撰写了一篇短文。《易177-薛问天：区分两种实无穷观(2014.08,14)》。现引述几段供李先生参考。就不在此再重复论述了
【19世纪末、20世纪初德国数学家康托尔系统地建立了集合理论、特别是关于无穷集合的理论。康托尔将无穷集合看作一个完成了的实体，他是个彻底的实无穷论者。20世纪以来集合论不断发展，已成为数学的一个非常重要的基础理论。康托尔的工作受到了包括大数学家希尔伯特在内的众多数学家的赞许，实无穷被众多的数学家所接受。
康托尔在《集合论基础》一书中指出：对于自然数序列1，2，3，…，尽管每个自然数都是从1开始，通过有穷次相继加1而产生的。但是全体自然数的集合却是一个完整的、存在着的无穷集合。这与潜无穷观认为自然数序列的生成过程永远也不会终止的观点是截然不同的。潜无穷观既然认为自然数的生成过程永远也不会完成，因而认为自然数序列并不构成一个“集合”。因为集合的元素必须是确定的，是已经完全生成好的对象。所以说，潜无穷观者并不承认全体自然数集合的存在，不承认它是一个无穷集合。】
【 对于自然数，古典的实无穷观认为自然数有最大元存在。“至大无外，谓之大一”。不仅认为自然数有最大元的存在，而且还认为最大元是可达的。而现代的实无穷观则不同，认为自然数最大元并不存在，但承认全体自然数集合的存在，承认它是一个无穷集合。所谓可达也只是这个无穷集合可达，并不是有个最大自然数可达。
古典的实无穷观认为自然数不断增大，这个增大的过程可以终结。但是却认为这个过程能终结于一个确定的时刻。在这个终结时刻生成的最后一个自然数就是最大元，想像为它是一个存在于无穷远的实体，处在一个无穷远的地方。也就是说自然数生成的无穷过程的终结点，终结时刻，终结处，终结时最后生成的最大自然数，都是存在的、可达的。
而现代的实无穷观并不这么认为，他认为自然数不断增大的过程可以终结，但是由于这个过程是无穷的过程，所以并不像有穷过程那样有一个确定的终结时刻。因而也就不存在这个最后时刻所生成的最大自然数。也就是说不承认有最大自然数的存在和可达。所承认的是这个无穷的生成过程是可以完成的，而且承认完成后所生成的由全体自然数所构成的无穷集合的存在。承认的不是那个不存在的最大自然数可达，而是自然数无穷集合的可达。承认这个无穷集合是个存在的实体。】
现在对李文中的具体问题作如下评论。
现代实无穷观认为无穷序列是一个确定的无穷集合，并不认为它的极限是此无穷序列可以到达的终点。要知道既使此序列有极限，一般也不属于该序列。更何况有很多无穷序列是没有极限的。例如无穷序列0.3,0.33,0.333,...的极限是1/3=0.333...。序列中都是有穷小数，但极限是无穷小数。同样园周率π是无穷小数，但是它是有穷小数的无穷序列0.1,0.14,,...的极限。可见极限并不是无穷序列可达的终点 。
至于无穷序列1,2,3.,......由于它没有有限极限，当然是没有终点。但这并不等于说实无限观有了什么问题，说什么【 潜无限性是在显而易见不过的】。区别不在于有没有终点，而是实无限观认为此无穷序列构成一个确定的无穷集合，而潛无限观认为这不是一个确定的集合，认为集合的构成过程永远不可能完成。
另外还要注意，实无限和潜无限这是对待同一个无穷过程的两种不同观点。并不是指存在两类无穷过程，一类具有实无限性，一类具有【潜无限性】。
正是持有了实无限观 ，承认全体自然数是一个确定的集合，才用此集合定义了第一个超穷序数ω，当然此超穷序数ω己不是自然数，也不是所谓的自然数的【终点】。所以说在此持实无限观很有必要，不是李先生质疑的那样【 实无限是否还有必要？】
李先生在此段最后还有一些错误的议论 。由于并无详细论证 ，所以就不一一评论了。例如他对实数的稠密性没有真正理解。误以为实数还像离散数域一样，有「相邻」概念。他的断言【 点之间的距离不可能是零】，实际上说的就是相邻点之间的距离。既然根本就没有「相邻点」，何来它们之间的距离?......。他所提的问题都不是严格意义上的数学问题，全是他主观上臆想的问题。我倒建议李先生做点札札实实的研究，把他的观点进一步严格化、细化后，提出真正意义上的数学问题。有确切定义，有严格证明，这样的讨论才会真有实效。否则只能是空对空的空议论，沦落为「摆龙门阵」和「侃大山」，就一点意义都没有了。
(四)一般的「有区别」，並不等价于全部「不相等」。
李先生在文中说: 【 数学推导需要绝对的严格，任何一点点的不严格或随意都可能在推理的长链上被不断地放大最后造成塌方式的错误。】这点我完全同意 。特别是一些逻辑用语，如「一般」「个别」「全部」「存在」「区别」「不等」等，在推理中的细微差别 要特别小心。李先生推理中的问题多由此不严格而引起。下面我们来分析定理1的证明的错误。
定理1的证明的问题主要来源于对公式(1)和(2)的证明。而公式(1)的论证错误在于李先生没有认识到: 概念的一般的「有区别」，並不等价于绝对地全部「不相等」。我们可以举很多例子来说明这个问题。
例如A和B是两个不同的国家，显然「A国人」同「B国人」是两个不同的概念，是「有区别」的，而且一般「A国人」也不等于「B国人」。但是如果允许双重国藉，在这里并不排除有个别人既是「A国人」又是「B国人」。也就是说 「A国人」同「B国人」是有区别的，但绝不等价于说所有的 「A国人」都不等同于「B国人」，並不排除个别的 「A国人」就是(等于)「B国人」。
又例如数学上的函数(映射)y=f(x)。自变量x当然是同因变量是两个「有区别」的变量，它们一般不相等，但并不等价地说它们绝对全部不相等，对那些个别的使其相等(f(x)=x)的点，称为f不动点。对使全部点都有 f(x)=x的特殊函数，则称其为恒等函数。-
再例如有两个不同函数f(x)=x^2，g(x)=x^3。显然函数f和g是「有区别」的，但并不等价于f和g绝对不相等，那些使f(x)=g(x)的点(x=1)称为两个函数(曲线)的交点 。
李先生在证明公式(1)时所犯的错误，就是这个错误，把概念的一般的「有区别」「不同」，错误地等同于全部「不相等」。
李先生在文中说:【 一个元素 a 的集合用{a}表示，...，要注意元素与集合的区别，例如，a≠{a} (1)】。在素朴集合论中「集合」和「元素」当然是两个「有区别」的「不同」概念，但是绝不能同「全部都不相等」划等号。一般地讲，a同{a}有区别，并不是说对于所有的a都有a≠{a}。並不能排斥存在个别的a，使a={a}成立。这里A={a}，首先并没有排斥元素a可以是集合。其次并没有排斥a这个集合等于A。因而用一般的「有区别」就断定「全部都不相等」是错误的。
接着，李先生给出了公式(1)的【证明】: 【(1)式可直接根据经典集合论的定义证明（反证）：如果 a={a}, 则不能用集合符号{}来定义集合，与定义矛盾，故（1）式成立。】
这次李先生又说错了，如果对所有的a都有a={a}，当然就无法定义仅含一个元素的集合。但我说的只是不排斥存在着这样的个别集合使a={a}。对于所有的仅含一个元素a的集合，仍可用A={a}来表示。只不过对于滿足a={a}的集合，再在A={a}后补充一句「其中a=A」即可。并不是【不能用 集合符号{}来定义集合】。
至于公式(2)的证明，李先生提出的唯一根据就是【 若有a(∈A) =A，即存在某元素等于集合，则导致部分等于整体，显然矛盾。】这个错误则更加明显，因为在素朴皋合论中并没有【部分不等于整体】这样的规定。更何况什么是「部分」，什么是「整体」以及是在什么意义下的「等于」，这些都没有明确的定义。如果整体是集合，部分是该集合的真子集，等于是等势的解释下， 【部分不等于整体】只适用有穷集。对于无穷集，完全有可能使【部分等于整体】，这里并无任何矛盾。
可见公式(1)和(2)的证明是错误的。也就是说定理1在素朴集合论中得不到证明。
(五)附记
在本文发出前，看到了樊毅先生的文章《Zmn-0089》。现就公式(1)等评论如下。
樊毅先生说【 认为 a≠{a}，这是对的。】还说【 a≠{a}成立，不是因为元素不能等于集合，而是因为 a={a}会导致循环定义的错误。】【 请薛老师注意，我认为 A={……，A，……}这种表达方法会导致循环定义，因而是不可取的。】
在素朴集合论中，所谓集合的「定义」是这样陈述的。
我国出版的第一本集合论著作--肖文灿的《集合论初步》中，转述了集合论创始人康托尔(Cantor)对集合的刻划: 【吾人直观或思维之对象，如为相异而确定之物，其总括之全体即为集合，其组成集合之物谓之集合之元素。】
我们知道，所谓「定义」，就是用己知的概念来定义尚无定义的概念。由于上述有关集合的刻划中用到的 【吾人直观或思维之对象】，【相异而确定之物】，【总括之全体】等也都是没有定义的概念。所以这不能算是严格意义下的数学定义 ，只能算是集合概念的一种描述性说明。
至于集合的两种表示方法:
(I) A={a1,a2,...,an}和 (II) A={a|φ(a)}
这也只是集合的表示方法，用以表示具体集合中的元素与该集合之间的属于关系。并不是集合概念的定义。并不意味着(I)和(II)的等号左边是尚未定义的概念，等号右边是已知定义的概念。因而谈不上循环定义的问题。如果 (I)和(II)看作是一种一般意义下的对象滿足的等式，其中等号左右两边的对象一视同仁，都看作是己经存在的对象，则並不排斥(I)式中有某ai=A的情况，也不排斥A滿足性质φ，使φ(A)为真的可能。从而有A∈A 。
当然，如果你用「构造性」的方式来定义集合概念，你把(I)和(II)看作是两种由己有集合生成新集合的两种生成方式。把集合「构造性」地定义为，由若干个原始元素开始，经有穷次地使用 (I)和(II)两种构造方式所生成的集合。在 (I)中等号右边的a1,...,an是原始元素或己生成的集合，等号左边的A是尚待生成的集合，自然不可能有ai=A。不能有A={...,A,...}存在。在 (II)式所构造的集合A中只包括那些滿足φ性质的己生成的集合，因为A不是已生成的集合，所以既使φ(A)成立，也不能把A包括在新生成的集合之内。从而使A乛∈A成立。
问题是素朴集合论并没有这样来「构造性」地定义集合。要知道素朴集合论是历史的产物，它是己经翻过去的一段历史。我们对待素朴集合论，这个历史上的理论，只能研究它、理解它、评论它，但是不能更改它。
在素朴集合论中是允许A∈A的，从而才有不平常集的概念。才会存在悖论。
我曾告诉李先生，在素朴集合论中证明不了你的【定理1】，但你可以规定对任何集合A乛∈A，称其为【新素朴集合论】。这样你的【定理1】就可在 【新素朴集合论】中得到证明，悖论也可消解。问题是你的【定理1】也可在现代集合论和公理集合论中得到证明。所以你必须研究同现代集合论的关系，看看是否真有新意？
至于樊毅先生所谈的无限和无穷，我认为没有必要在字面上去纠缠。空洞地讨论没有意义。要结合实际的无穷对象来讨论，例如你认为无限集合同无穷集合在定义上有区别吗？两个集合按定义有何不同?无限序列同无穷序列有区别吗?......。具体一分析就知道这里没有差别，是一回事。所以关键不是名称，而是它的具体定义 。这只是个名称的问题。字面上的细微差异不影响它定义的数学概念的确切含义。只要具体对象的数学定义相同，名称叫无限或无穷我认为都可以。反正我们是根据定义来把握数学概念的确切含义，而不是根据名称的字面含义来理解概念的含义的。
关于实无限观，樊毅先生认为康托称自然数的生成过程为已经完成不合适， 【完成了的不是过程，而是方法。这样说比强调“自然数的生成过程已经完成”要更严谨。应为生成的方法己完成 。】【 因为对于“过程”这个词来说，你说它能完成，确实就会让人觉得应该有个终点。】
我认为没有必要作这样的更改，方法也要有个实施过程。方法的完成指的就是方法的实施过程的完成 ，并无区别。问题不在于是方法还是过程，问题在于是「有穷过程」还是「无穷过程」。有穷过程有始有终，有完成的终点。但无穷的生成过程却不是如此，它可以完成，生成了所有的自然数，生成了确定的全体自然数集合。但生成过程可以没有终点。也就是说没有一个确定的终止时刻，没有过程的最后一步，在这一步生成了最后一个自然数。这是无穷过程的特点。不能用有穷过程的样式来套无穷过程。这就是实无限观对自然数生成过程的看法。
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