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Zmn-0096 樊毅:也谈数学推理的另类“缜密”性,并向薛老师请教几个数学问题

已有 676 次阅读 2020-2-7 20:49 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0096 樊毅:也谈数学推理的另类“缜密”性,并向薛老师请教几个数学问题

 

【编者按。下是樊毅先对《zmn-0092》中薛问天先生的评论的回复。现在发布如下,供友们共享。请家关注并积极评论。】

 

 

也谈数学推理的另类“缜密”性,

并向薛老师请教几个数学问题

樊毅


最近在思考集合论和连续统问题,有了重大的突破,所以也没有急于回复薛老师的文章,现在应该可以继续讨论了。

薛老师是非常严谨的,从他回复李老师的系列文章可以看出,他对数学证明挑错有丰富的经验,李老师的很多问题确实是因为不严谨的数学证明。在他对我的新回复文章中,他也开门见山的指出:

我们争论的问题是:在素朴集合论中能否「证明」a≠{a}?严格地说即在素朴集合论中能否证明【对所有的集合a, a≠{a}】。

薛老师可能因为经常看到李老师这样的文章,所以误以为我也是在做同样的事情。从他的思路中可以看出,他一直试图理解我的“内心世界”,认为我跟李老师的错误是一样的,都是把集合论中没有的东西强加到集合论之上,所以我的所谓“证明”也是“错误”的。

薛老师以前可能没有碰到过像我这样的人,所以对我的思想有重大的误解,这是可以理解的,

我这次将讲的更细一些,请薛老师仔细体会我的思想,再做评述。在文末还有几个数学问题要请教薛老师。

(1)  我对数学证明的态度是严肃的

首先,我对“数学证明”有很严肃的态度,我曾经在前文中说:“同样,我也有一种定义方法,让V是集合,而不产生矛盾。这里暂不展开,因为要用到的数学证明过程比李老师对定理1的证明复杂的多。”

我如果是在做数学证明,我会非常严肃的进行,其过程肯定会像数学书中那些数学证明一样,是“数学式”的。希望我以后用严肃的数学证明方式来论述我的集合论思想时,薛老师也用严格的数学方式来给予指导,先谢过了。

(2)  我关于a≠{a}的推理,不是“数学证明”

其次,薛老师把我说的“原则问题要分对错”,理解为我在上一篇文章是在讨论a≠{a}在素朴集合论中该怎样证明。这是可以理解的,因为薛老师其实有一个很重要的误区,他认为:集合论的各种问题是纯数学问题,因此只能从纯数学角度解决。

薛老师可能没有太注意我在论述李老师关于a≠{a}的理由有误之前曾经说过的一句话:“请薛老师也要仔细看我下面的推理过程,因为这一段推理将为将来的新集合论打下基础。”

注意,我说的是“推理”过程,并非“证明”过程。下文中还将具体再解释我的推理过程为什么在原则上是“正确”的。

(3)  数学的另类缜密性

薛老师的上一篇文章叫做“谈数学推理的逻辑缜密性”,本文则叫做“也谈数学的另类缜密性”。数学的另类缜密性,其特点是什么呢?

其实薛老师跟许多数学家一样,把数学视为对已经存在的“数”和“形”的研究。自然数、实数,几何图形,似乎本来都是存在的,数学家只是在偶然发现各种新奇的规律,即各种定理。公理思想,则是欧氏几何的一大贡献,在非欧几何诞生之前,几何学公理几乎就是真理。

总之,数学是一种用严密的逻辑来研究用符号进行推理的工具。莱布尼茨甚至萌生了用数学演算来代替辩论的思想,被视为数理逻辑思想的发端。

微积分被发明之后,由于非常方便好用,可以解决很多问题,所以即使贝克莱主教指出无穷小在逻辑上不严谨,但是数学家们照用不误。

薛老师可能会说,后来的柯西用极限思想,让微积分更缜密了啊。是的,微积分“更”缜密了。

也就是说,欧氏几何的缜密性,不能确保同样“缜密”的“非欧几何”不出现。柯西的极限,看上去比牛顿缜密了一些,但是非标准分析又给出了一种似乎更缜密的无穷小量思想。

数学总在不断的“更”缜密,甚至缜密到推翻自己的基础。

希尔伯特希望解决数学基础问题,结果哥德尔的不完全性定理让他的想法落空了。

数学缜密吗?是的。数学并不是随意进行创造的。

但是,数学,也并不是在逻辑上“绝对”缜密的。如果是绝对缜密的,就无法解答以下问题:

1)ZFC和NBG能确保不出现悖论吗?语义学悖论和集合论悖论能统一解释吗?

2)哥德尔和科恩在连续统问题上为什么会得出几乎相反的结论?模型论到底意味着什么?

3)“数”和“形”到底是人创造出来的,还是原来就有的,数学家们只是在“发现”真理?

请薛老师注意,这几个问题不是数学问题,也不是要请教薛老师的,数学问题请见文末。

数学的另类缜密性,其实就是“得过且过”,只要没有大的基础性矛盾(如悖论),只要能够在数学问题研究上获得进展,数学就可以不管逻辑学上的问题,继续前行。

(4)  a≠{a}的推理方法

张锦文老师和肖文灿老师都指出了,康托没有对集合给出一个“严谨”的数学定义。

Untitled-1.jpg

 


但是如果说康托没有对集合给出严谨的数学定义,那么为什么在集合论悖论发现之前,康托本人并没有发现自己的不“严谨”?

原因很简单,因为即使到目前为止,数学也没有严谨到对“什么是定义”做出规定。

数学不是逻辑学,因此数学对“我定义了自然数”和“我表达了一个自然数”中的“定义”和“表达”并不做细致的区分。因此,康托就可以只对“集合”给出一个描述性的说明,只要数学家们可以理解就好。

如果数学对“定义”的严谨性如此敏感,按理说罗素首先就会质疑康托:你没有给出集合的严谨定义啊。

我在上一篇文章中,为了与薛老师求更多的“同”,避免更多的“异”,因此我也顺着薛老师的意思说,“集合”这个概念在素朴集合论里,确实没有定义。

我在本文中仍然不想与薛老师争论这个问题:康托到底是否对集合进行了构造性的定义。

但是需要指出的是,问题不是薛老师以为的那么简单。比如北京师范大学的数学系主任郑学安老师曾经写过一篇论文《康托的集合定义与罗素悖论》:

 Untitled-2.jpg


我们把局部放大:

 

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郑老师认为:康托确实“定义”了一个新的数学概念,因为康托的集合定义符合逻辑学的要求:说明了概念的特有属性或本质属性。

这就可以解释一个问题,为什么康托看上去说的不严谨,但是也没有人从“康托似乎没有对集合给出严谨定义啊”这个角度去为难他,数学家们都可以从康托说的话中总结出“集合”这个概念的本质特征就是两条原则。

张锦文老师尽管没有指出康托的“描述性的说明”在逻辑学上可以被视为定义,但是他也总结出了这两条原则:

 

Untitled-4.jpg


这恰恰说明数学是“得过且过”的,反正大家都能理解集合这个概念是什么意思,谁管所谓“严谨”的定义是什么呢?

如果后来没有发现集合论悖论,估计到现在“集合”在数学中还是没有所谓“严谨”的定义。

薛老师可能不服气,但事实情况就是这样,康托没有说集合应该是什么样子,但是如果说到一个的集合,你不用这两种办法,怎么让人知道你在说什么呢?

在逻辑学角度来看,如果一段描述性的说明,说明了某个概念的本质特征,那么也就可以等同于定义了。

所以罗素并不会指责康托没有严谨定义,而是根据概括原则,给出了一个T={x|xx}

当然,你也可以硬说这不叫定义,但是无可否认的是,它实际上起到了跟定义一样的作用,它用{x|xx}说明了T的本质特征是什么。

我在上文中说,我是在推理,而不是在证明。因为我知道根本没办法在素朴集合论中用“数学证明”的方法来“证明”a≠{a},毕竟你可以说:康托没有给出集合的严谨定义啊……

而我的目的也根本不是证明什么a≠{a},而是为了说明循环定义的重要意义。

下面我们再来用逻辑推理的方法来详细说明为什么在素朴集合论中,a≠{a}。

在素朴集合论中当然没有说不允许a={a}。但是如果要找到这一个a,就需要对a给出一个“定义”,这个定义不管是不是构造性的,都必须有一个不含a的但是可以说明a的本质特征的字符串来说明a是什么。

假设有一个“定义”,说明了a的本质特征(注意,a必须是个集合,否则不会有a={a},这一点已经说明过了),那么它一定说明了a作为一个集合,里面的确定性的事物(即其元素)是什么。想想看,如果它说了a里的元素是某个具体的事物,比如苹果、自然数0什么的,甚至也可以是一个集合,比如实数集。那么显然,把一个苹果用{}括号括起来是个集合,这个集合就是a。但是,a是元素中只包括一个苹果的集合,a当然不是苹果本身。我吃了一个苹果,并不是把“{苹果}”吃了。同理,{0}不是0,{实数集}也不是实数集。这里把苹果换成任何一个确定的事物都是这样。

因此从逻辑上说,要想让a={a},用别的“定义”方法都不行,只能强行把a定义为a={a},或者a={x|x='a'}。如果用=号容易有歧义,那改为“a的定义是{a}”或者“a的定义是{x|x='a'}”就行了(其实紧跟在a后面的那个“=”在这里相当于计算机程序中的赋值“=”)。

注意,上述过程只是“逻辑推理”,不是“数学证明”。因为素朴集合论本身有缺陷,因此我根本没兴趣在素朴集合论中“证明”a≠{a},我只是在说明a不能等于{a}的逻辑学原因是:循环定义。

(5)  几个数学问题,要请教薛老师

本文暂时不会直接讨论更重要的思想,但是可以开一个头。现在有几个至关重要的数学问题(注意,不是逻辑学问题),请教一下薛老师

1)S={x|xS},这里的S是否是集合?如果S是集合,那么这是否是个悖论?如果S不是集合,理由是什么?

2)怎样比较两个自然数的大小?

3)怎样比较两个实数的大小?

4)怎样比较两个复数的大小?

5)怎样比较两个序数的大小?

至于我在前文中说的非原则问题,之所以我并不想跟薛老师争论什么,因为那不是我和薛老师之间的问题,那是怎样说服潜无限论者的方法问题。




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