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Zmn-0096 樊毅：也谈数学推理的另类“缜密”性，并向薛老师请教几个数学问题
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Zmn-0096 樊毅：也谈数学推理的另类“缜密”性，并向薛老师请教几个数学问题
【编者按。下⾯是樊毅先⽣对《zmn-0092》中薛问天先生的评论的回复。现在发布如下，供⽹友们共享。请⼤家关注并积极评论。】
也谈数学推理的另类“缜密”性，
并向薛老师请教几个数学问题
樊毅
最近在思考集合论和连续统问题，有了重大的突破，所以也没有急于回复薛老师的文章，现在应该可以继续讨论了。
薛老师是非常严谨的，从他回复李老师的系列文章可以看出，他对数学证明挑错有丰富的经验，李老师的很多问题确实是因为不严谨的数学证明。在他对我的新回复文章中，他也开门见山的指出：
我们争论的问题是：在素朴集合论中能否「证明」a≠{a}？严格地说即在素朴集合论中能否证明【对所有的集合a， a≠{a}】。
薛老师可能因为经常看到李老师这样的文章，所以误以为我也是在做同样的事情。从他的思路中可以看出，他一直试图理解我的“内心世界”，认为我跟李老师的错误是一样的，都是把集合论中没有的东西强加到集合论之上，所以我的所谓“证明”也是“错误”的。
薛老师以前可能没有碰到过像我这样的人，所以对我的思想有重大的误解，这是可以理解的，
我这次将讲的更细一些，请薛老师仔细体会我的思想，再做评述。在文末还有几个数学问题要请教薛老师。
（1） 我对数学证明的态度是严肃的
首先，我对“数学证明”有很严肃的态度，我曾经在前文中说：“同样，我也有一种定义方法，让V是集合，而不产生矛盾。这里暂不展开，因为要用到的数学证明过程比李老师对定理1的证明复杂的多。”
我如果是在做数学证明，我会非常严肃的进行，其过程肯定会像数学书中那些数学证明一样，是“数学式”的。希望我以后用严肃的数学证明方式来论述我的集合论思想时，薛老师也用严格的数学方式来给予指导，先谢过了。
（2） 我关于a≠{a}的推理，不是“数学证明”
其次，薛老师把我说的“原则问题要分对错”，理解为我在上一篇文章是在讨论a≠{a}在素朴集合论中该怎样证明。这是可以理解的，因为薛老师其实有一个很重要的误区，他认为：集合论的各种问题是纯数学问题，因此只能从纯数学角度解决。
薛老师可能没有太注意我在论述李老师关于a≠{a}的理由有误之前曾经说过的一句话：“请薛老师也要仔细看我下面的推理过程，因为这一段推理将为将来的新集合论打下基础。”
注意，我说的是“推理”过程，并非“证明”过程。下文中还将具体再解释我的推理过程为什么在原则上是“正确”的。
（3） 数学的另类缜密性
薛老师的上一篇文章叫做“谈数学推理的逻辑缜密性”，本文则叫做“也谈数学的另类缜密性”。数学的另类缜密性，其特点是什么呢？
其实薛老师跟许多数学家一样，把数学视为对已经存在的“数”和“形”的研究。自然数、实数，几何图形，似乎本来都是存在的，数学家只是在偶然发现各种新奇的规律，即各种定理。公理思想，则是欧氏几何的一大贡献，在非欧几何诞生之前，几何学公理几乎就是真理。
总之，数学是一种用严密的逻辑来研究用符号进行推理的工具。莱布尼茨甚至萌生了用数学演算来代替辩论的思想，被视为数理逻辑思想的发端。
微积分被发明之后，由于非常方便好用，可以解决很多问题，所以即使贝克莱主教指出无穷小在逻辑上不严谨，但是数学家们照用不误。
薛老师可能会说，后来的柯西用极限思想，让微积分更缜密了啊。是的，微积分“更”缜密了。
也就是说，欧氏几何的缜密性，不能确保同样“缜密”的“非欧几何”不出现。柯西的极限，看上去比牛顿缜密了一些，但是非标准分析又给出了一种似乎更缜密的无穷小量思想。
数学总在不断的“更”缜密，甚至缜密到推翻自己的基础。
希尔伯特希望解决数学基础问题，结果哥德尔的不完全性定理让他的想法落空了。
数学缜密吗？是的。数学并不是随意进行创造的。
但是，数学，也并不是在逻辑上“绝对”缜密的。如果是绝对缜密的，就无法解答以下问题：
1）ZFC和NBG能确保不出现悖论吗？语义学悖论和集合论悖论能统一解释吗？
2）哥德尔和科恩在连续统问题上为什么会得出几乎相反的结论？模型论到底意味着什么？
3）“数”和“形”到底是人创造出来的，还是原来就有的，数学家们只是在“发现”真理？
请薛老师注意，这几个问题不是数学问题，也不是要请教薛老师的，数学问题请见文末。
数学的另类缜密性，其实就是“得过且过”，只要没有大的基础性矛盾（如悖论），只要能够在数学问题研究上获得进展，数学就可以不管逻辑学上的问题，继续前行。
（4） a≠{a}的推理方法
张锦文老师和肖文灿老师都指出了，康托没有对集合给出一个“严谨”的数学定义。
但是如果说康托没有对集合给出严谨的数学定义，那么为什么在集合论悖论发现之前，康托本人并没有发现自己的不“严谨”？
原因很简单，因为即使到目前为止，数学也没有严谨到对“什么是定义”做出规定。
数学不是逻辑学，因此数学对“我定义了自然数”和“我表达了一个自然数”中的“定义”和“表达”并不做细致的区分。因此，康托就可以只对“集合”给出一个描述性的说明，只要数学家们可以理解就好。
如果数学对“定义”的严谨性如此敏感，按理说罗素首先就会质疑康托：你没有给出集合的严谨定义啊。
我在上一篇文章中，为了与薛老师求更多的“同”，避免更多的“异”，因此我也顺着薛老师的意思说，“集合”这个概念在素朴集合论里，确实没有定义。
我在本文中仍然不想与薛老师争论这个问题：康托到底是否对集合进行了构造性的定义。
但是需要指出的是，问题不是薛老师以为的那么简单。比如北京师范大学的数学系主任郑学安老师曾经写过一篇论文《康托的集合定义与罗素悖论》：
我们把局部放大：
郑老师认为：康托确实“定义”了一个新的数学概念，因为康托的集合定义符合逻辑学的要求：说明了概念的特有属性或本质属性。
这就可以解释一个问题，为什么康托看上去说的不严谨，但是也没有人从“康托似乎没有对集合给出严谨定义啊”这个角度去为难他，数学家们都可以从康托说的话中总结出“集合”这个概念的本质特征就是两条原则。
张锦文老师尽管没有指出康托的“描述性的说明”在逻辑学上可以被视为定义，但是他也总结出了这两条原则：
这恰恰说明数学是“得过且过”的，反正大家都能理解集合这个概念是什么意思，谁管所谓“严谨”的定义是什么呢？
如果后来没有发现集合论悖论，估计到现在“集合”在数学中还是没有所谓“严谨”的定义。
薛老师可能不服气，但事实情况就是这样，康托没有说集合应该是什么样子，但是如果说到一个的集合，你不用这两种办法，怎么让人知道你在说什么呢？
在逻辑学角度来看，如果一段描述性的说明，说明了某个概念的本质特征，那么也就可以等同于定义了。
所以罗素并不会指责康托没有严谨定义，而是根据概括原则，给出了一个T={x|x∉x}。
当然，你也可以硬说这不叫定义，但是无可否认的是，它实际上起到了跟定义一样的作用，它用{x|x∉x}说明了T的本质特征是什么。
我在上文中说，我是在推理，而不是在证明。因为我知道根本没办法在素朴集合论中用“数学证明”的方法来“证明”a≠{a}，毕竟你可以说：康托没有给出集合的严谨定义啊……
而我的目的也根本不是证明什么a≠{a}，而是为了说明循环定义的重要意义。
下面我们再来用逻辑推理的方法来详细说明为什么在素朴集合论中，a≠{a}。
在素朴集合论中当然没有说不允许a={a}。但是如果要找到这一个a，就需要对a给出一个“定义”，这个定义不管是不是构造性的，都必须有一个不含a的但是可以说明a的本质特征的字符串来说明a是什么。
假设有一个“定义”，说明了a的本质特征（注意，a必须是个集合，否则不会有a={a}，这一点已经说明过了），那么它一定说明了a作为一个集合，里面的确定性的事物（即其元素）是什么。想想看，如果它说了a里的元素是某个具体的事物，比如苹果、自然数0什么的，甚至也可以是一个集合，比如实数集。那么显然，把一个苹果用{}括号括起来是个集合，这个集合就是a。但是，a是元素中只包括一个苹果的集合，a当然不是苹果本身。我吃了一个苹果，并不是把“{苹果}”吃了。同理，{0}不是0，{实数集}也不是实数集。这里把苹果换成任何一个确定的事物都是这样。
因此从逻辑上说，要想让a={a}，用别的“定义”方法都不行，只能强行把a定义为a={a}，或者a={x|x='a'}。如果用=号容易有歧义，那改为“a的定义是{a}”或者“a的定义是{x|x='a'}”就行了（其实紧跟在a后面的那个“=”在这里相当于计算机程序中的赋值“=”）。
注意，上述过程只是“逻辑推理”，不是“数学证明”。因为素朴集合论本身有缺陷，因此我根本没兴趣在素朴集合论中“证明”a≠{a}，我只是在说明a不能等于{a}的逻辑学原因是：循环定义。
（5） 几个数学问题，要请教薛老师
本文暂时不会直接讨论更重要的思想，但是可以开一个头。现在有几个至关重要的数学问题（注意，不是逻辑学问题），请教一下薛老师：
1）S={x|x∉S}，这里的S是否是集合？如果S是集合，那么这是否是个悖论？如果S不是集合，理由是什么？
2）怎样比较两个自然数的大小？
3）怎样比较两个实数的大小？
4）怎样比较两个复数的大小？
5）怎样比较两个序数的大小？
至于我在前文中说的非原则问题，之所以我并不想跟薛老师争论什么，因为那不是我和薛老师之间的问题，那是怎样说服潜无限论者的方法问题。
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