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Zmn-0101 薛问天：谈【有穷】和【无穷】的定义，兼答林益先生的提问。
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Zmn-0101 薛问天：谈【有穷】和【无穷】的定义，兼答林益先生的提问。
【编者按。下面是薛问天先生发来的文章并兼答《zmn-0099》林益先生的提问。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。】
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谈【有穷】和【无穷】的定义
，兼答林益先生的提问。
薛问天
xuewentian2006@sina.cn
什么是【有穷】，什么是【无穷】?常是困惑人们的一个问题。
我的观点是要回答这个问题，首先要从分析具体的【有穷和无穷对象】做起。因为 【有穷】和【无穷】是抽象的概念，是从具体的对象中抽象出来的。要回答 什么是【有穷】，什么是【无穷】?必须先搞清什么是 具体的【有穷和无穷对象】，例如什么是【有穷次，无穷次】，【有穷步，无穷步】，【有穷集合，无穷集合】，【有穷小数，无穷小数】，【有穷路径，无穷路径】，...，等。就如同想搞清楚「数字5」，必须先搞清「5个苹果」，「5只山羊」，「5头牛」，...一个道理，因为数字5是从这些具体概念中抽象出来的。
(一)【有穷集】作为基本概念定义其它概念。
显然可以用 【有穷集】来定义其它概念。例如可以这样定义【无穷集】: 【如果一个集合不是有穷集，则称为是无穷集】。
也可以这样定义其它 【有穷和无穷对象】。
【如果次数的集合是有穷集，则称是有穷次，是无穷集则称是无穷次】。
【如果步数的集合是有穷集，则称是有穷步，是无穷集则称是无穷步】。
【如果一个小数的位数集合是有穷集，则称是有穷小数，是无穷集则称是无穷小数】。
【如果一个路径的节点集合是有穷集，则称是有穷路径，是无穷集则称是无穷路径】。......等。看来似乎没有问题。
那么怎么定义【有穷集】呢？可以用自然数来定义。
我们知道在集合论中可以用「集合」来定义自然数:
0={}(空集)，
1={0}，
2={0,1}，
...
n={0,1,...,n-1} ，
......。
也就是说，任何自然数n都可以定义为一个集合，这个集合的元素就是所有已经定义的小于该数n的自然数。
【有穷集】这样定义:
【对任一集合A，如果存在某自然数n，使A能同n(注意这里n是一个集合)一一对应，则称A是有穷集。并称A的基数为n。】
到此为止，似乎问题已经解决了。什么是 【有穷和无穷对象】的问题归结为什么是【有穷集】的问题，而【有穷集】的定义又归结为【自然数】的定义。自然数由皮亚诺公理决定。那么是否可以说 什么是【有穷和无穷对象】的问题已得到完满解决。
没有。没那么简单。切看下面的分析。
(二)【穷追到底】的方法。
我曾听过著名数学家华罗庚的一次讲课，使我终生难忘。他教给我们一个学习数学的方法，叫【穷追到底】。意思是说，每学一个数学概念，都要根据它的定义搞清楚【它是什么】。定义中可能又含有另外的概念，此时就要再根据这些概念的定义，继续追问【它是什么】，这样一步一步，沿着「定义链」，【穷追到底】，直到把概念的含义彻底搞清，彻底逶明为止。
我们现在就用【穷追法】来分析一下自然数的皮亚诺公理
皮亚诺公理一：0是自然数。
皮亚诺公理二：若n是自然数，则n的后继n'也是自然数。
皮亚诺公理三：所有自然数的后继都不是0。
皮亚诺公理四 : 自然数不同，则其后继不同。
皮亚诺公理五：所有自然数，皆由公理一、二产生。
由于所有逻辑推理系统只允许【有穷步】的推理。因而公理五等价于断言: 【任何自然数，或者是0，或者可以由0经「有穷次」的后继运算而得到。】
现在问题来了。前面我们断言，【有穷次和有穷步】是由【有穷集】定义的，【有穷集】是由【自然数】定义的。现在用【穷追法】发现在自然数的皮亚诺公理中又必须用到 【有穷次和有穷步】的概念。显然这里出错了。这个错误就叫做【循环定义】。
于是我们必须重新审视前面的断言，以纠正【循环定义】的错误。好在这样的纠错并不困难，去掉用【有穷集】对 逻辑上用到的【有穷次和有穷步】的如下定义即可:【如果次数的集合是有穷集，则称是有穷次，是无穷集则称是无穷次。】和【如果步数的集合是有穷集，则称是有穷步，是无穷集则称是无穷步。】可以把这个【定义】换成【定理】: 【有穷次数的集合是有穷集。】【有穷步数的集合是有穷集。】
除逻辑上的 【有穷次和有穷步】以外，仍然保持用【有穷集】对其它 【有穷和无穷对象】的定义，如对【有穷小数和无穷小数】，【有穷路径和无穷路径】，......等的定义。
(三) 结论: 逻辑推理中的 【有穷次和有穷步】是不能定义的原始概念。
我们把上述纠正过的定义链的依赖关系清理一下，那就是:
【有穷和无穷对象】(除逻辑上用到的 【有穷次和有穷步】外)的定义→(依赖于) 【有穷集和无穷集】的定义→(依赖于)【自然数公理】→(依赖于) 逻辑上用到的 【有穷次和有穷步】。
那么还能往下【穷追】吗?不行了，【到底】了。逻辑是数学的基础。逻辑用语、逻辑规律已不再有数学的定义了。只能承认它是【原始概念】，己经没有比它更原始的概念来对它定义了。在逻辑上只承认 【有穷次和有穷步】的推理，而不承认【无穷次和无穷步】的推理。至于什么是 【有穷次和有穷步】的推理?已经无法定义了。这就要靠人们长时间的推理实践，靠人们的经验，自已去体会，自己去总结，自己去判断什么是 【有穷次和有穷步】的推理，什么是【无穷次和无穷步】的推理。当然每个正常人，能正常思维的人实际上都显而易见地知道他是如何运用 【有穷次和有穷步】的推理来进行思维的，而不可能运用 【无穷次和无穷步】的推理来思维。也就是说虽然 什么是 【有穷次和有穷步】的推理没有严格的定义，但是又是人人都知道的道理。这也许就是逻辑上的【原始概念】的含义吧！
这就是我对 【有穷和无穷对象】定义链的分析。最后还要归结为无法定义的逻辑推理上用到的 【有穷次和有穷步】原始概念。
(四) 现在试着回答林益先生的问题。
(1) 林益先生问:【认为自然数是有限的，那么这个有限的限应该是多大呢？
我不知道林先生这里的【 自然数是有限的】指的什么？
由于在集合论里，可以用集合来定义自然数，因而任何自然数n就是所有小于n的自然数构成的集合n={0,1,2,...,n-1}。而且对任意集合A，如果存在自然数n，使A同n一一对应，则称A为有穷集，也称有限集。当然n同自己自然一一对应，于是n也是有穷集(有限集)。
不知道林先生的【 自然数是有限的】指的是否就是【 任何自然数n，是有穷集(有限集)。】估且认为如此。
这里的【有穷(有限)集】只是该类集合(它的特征属性是可以同某自然数n一一对应)的名称，同它【有没有限】，【限应该是多大】没有任何关系。当然你也可以对这类集合定义一个概念叫【上限】，然后讨论它的【上限】有多大。例如 因为任何自然数n就是所有小于n的自然数构成的集合n={0,1,2,...,n-1}，你可以规定集合n的上限就是n。这样就可以回答你的问题了。「 任何自然数n都是有穷(有限)集，这个有穷集合的【上限】等于n。」
(2)【同时，自然数是互不相同的，特别是自然数构成集合时，集合的元素有互异性，既然认为自然数是有限的，那么自然数的个数 必然也是有限的，如何理解自然数是有限的，而构成的自然数集合是无穷集合呢？这个问题 一直困扰着我，敬请薛老师能帮助我，能给我一个合理的解释。】
我不知【 一直困扰着】林益先生的问题什么?
【 自然数是有限的 】说的是 【 任何自然数n，是有穷集(有限集)。】根据是任何自然数n={0,1,...,n-1}，能同它自己一一对应。
【 构成的自然数集合是无穷集合】说的是【全体自然数构成的集合是无穷集合。】根据是N={0,1,.......}是集合，但同任何自然数 n={0,1,...,n-1}，之间不存在一一对应，所以N不是有穷集而是无穷集。这两个命题说的是两件事。在这两个命题间没有任何矛盾。不知究竟是什么间题 【 一直困扰着】林益先生。不知林益先生的论据【 既然认为自然数是有限的，那么自然数的个数必然也是有限的，】指的含义是什么及从何而来?更何况【集合元素的个数】本身就不是一个有定义的数学概念。怎么能用来推论呢？我倒有个小小的建议。建议林益先生把他的论据详细写出来，然后逐字逐句地自行评审，看看具体说的是什么，谠的是否有根有据。说不定经过如此这般，把话说清楚了，所有的【困扰】也就自行解决了。
(3) 【因为在分析小数的位数时， 由于小数的位数与自然数应该能构成一一对应关系，就要从自然数去理解小数的位数问题， 更重要的是关于无穷位小数问题，及是否存在确定的无穷位问题。而且这也涉及很多数学理 论的基础问题。务必恳请薛老师能帮助我搞清楚。】
由于林益先生受到顽固的、先入为主的、根深啻固的【谮无穷观】的禁锢，始终坚持不承认无穷位小数是确定的实数。否定其中【 确定的无穷位】的存在，硬是要把确定的【无穷位小数】，看成是不断变化的【有穷位小数】的无穷序列。在我的眼中，无穷小数0.333...。中的三个点代表的是确定的无穷个位的3。这个无穷小数有确定的值1/3。而在林益先生的眼中，这三个点代表的是不断延伸的有穷个3。他认为无穷小数只能是近似值，而不等于1/3。这就是【无穷观】的差别。
要知道集合论是建立在【现代实无穷观】的基础之上的。不放棄【潜无穷观】，就不能接受集合论的丰硕成果，就同集合论格格不入。
关于无穷小数要严格区分几个概念。最重要的是把无穷小数同有穷小数的概念区分开来。对任何确定的自然数n，全体n位有穷小数的集合是有穷集。然而对全体自然数n的n位有穷小数，全体的有穷小数的集合是无穷集(基数是可数无穷)。但是全体的有穷小数的集合并不是全体无穷小数的集合，后者是无穷集，它的基数是比可数无穷大的连续统。要接受这些结论必须树立 【现代实无穷观】，否则是接受不了的。
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