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Zmn-0100 樊毅:更严谨的新集合论与连续统问题(一)

已有 710 次阅读 2020-2-15 19:49 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0100 樊毅:更严谨的新集合论与连续统问题(一)

【编者按。下是樊毅先对《zmn-0098》中薛问天先生的回复的评论。现在发布如下,供友们共享。请家关注并积极评论。】

 

 

更严谨的新集合论与连续统问题(一)

樊毅

很高兴薛问天老师对我的文章进行了回复,也非常高兴薛老师同意了我的观点:任何一种数学理论都不能确保是“绝对真理”。这样的话我们就可以放心的进行新理论的探讨了,不至于被说成是对“真理”的挑战,而是试图找到相对更“严谨”的新理论。

但是显然,薛老师对我提出数学是“得过且过”是不满意的。事实上,这只是一种形象的比喻,本文将继续对这种比喻做深入的剖析。

当然,也要对一些不重要的问题做一些总结,然后把它们抛之脑后。

我曾经提到的a≠{a}的问题。薛老师显然一直试图把问题放入“数学证明”的领域,比如他一直强调,“不能认为在素朴集合论中对于所有集合,都有a≠{a}”,理由是“素朴集合论中没有给出集合的确切定义,所以不能认为集合只能由两种方式构造出来”。

我其实已经反复强调过,这正是康托的不“严谨”造成的,而其根源在于数学的“得过且过”。数学家们并没有去认真考虑,是否应该对什么是“数学定义”、什么是“数学表达”做出规定,而是凑凑合合的给出了公理化的方式来回避矛盾。

具体的表现就是:其实谁都知道,康托对集合概念看上去粗浅的描述,实际上已经指出素朴集合论中的集合只能通过两大原则即外延原则和概括原则来生成。但是大家都不说破,凑合着来,包括罗素,也并不关心康托的“小节”问题。

我在前文指出,北师大数学系的郑学安老师就比较“实诚”,把这个问题“点破”了,郑老师曾经发正式论文认为:康托已经对集合给出了符合逻辑学的定义。

这一点被薛老师刻意忽略了,不过这不重要,我还是那句话,我不想在康托是否给出了集合的确切定义问题上纠缠,本文过后,无论薛老师如何在此问题上继续回复,此问题将被抛之脑后。

我只是想说明:在逻辑上,除了外延原则和概括原则,在素朴集合论中确实没有其他办法“描述”集合。这是无法回避的事实。但这已经不重要了,这个问题作为本文的引子已经完成了任务,所以我以后不会再讨论这个问题。

自本文开始,我们将进入更严谨的数学讨论过程,当然还并不是所有都是“数学证明”,在此之前还需要进行更多的铺垫,因为我的思路的确与众不同,要一点一点来理解。

 

(1)  关于集合论悖论

因为我的目的是新集合论,因此先不着急讨论素朴集合论中的S={x|xS},我们直接来看薛老师在公理集合论基础上做的推理好了。

看来薛老师对张锦文老师的《公理集合论导引》这本书是非常认可的,屡次引用此书中的观点。如此甚好,我也认为此书写的不错,基本上把公理集合论讲清楚了。

薛老师认为:“所以, 滿足 S={x|xS}S是类,而不能断定是集合”。

我查找了一下,在《公理集合论导引》的第6页,有如下内容:

Untitled-1.jpg


这应该就是薛老师的依据了,不知道我的理解是否正确?

本文关于集合论悖论我只有这一个问题想请教薛老师,只是想先确认薛老师的推理依据,这样才好展开后面的讨论,还麻烦薛老师能给出一个确定的答复。

 

(2)  关于大小比较问题

很高兴薛老师对我的四个大小比较问题进行了认真的回答,这几个问题都有其重要价值。

 

1)先来看复数的大小比较问题。

薛老师指出:对于复数,没有定义它们之间的序关系,所以不能比较两个复数的大小。不过你可根据需要作出不同的序的定义。只是要注意作为复数的一部分的实数本身是有序的,这里必须协调一致。

这段话说的很好,但是我的着眼点跟薛老师不太一样,我看到的不是序关系对于大小比较有多重要,要知道,在康托给出“序关系”的概念之前,人们早已会对自然数和实数的大小进行比较了。

我看到的是以下事实:

对于某些“数”而言,谁大谁小并不是必然的事情,而是根据“需要”制定出排序规则,然后才开始进行大小比较的。而且对“规则”也没什么“严谨”的要求,只要与现有理论协调即可。这其实可以提醒我们一件事:数学研究的对象并不都是原来就有的,有些是根据“需要”创造出来的,比如“复数”。对于这样的对象,各种“规则”也都是根据需要制定出来的,而不是什么牢不可破的“真理”,如果有更清晰、严谨的规则,完全可以替代原来不清晰、不严谨的规则。

不知薛老师是否同意以上观点?

 

2)再来看自然数的大小比较问题。

薛老师说:

a)对任意自然数a,b,如果b=a+1,则ab

b)对任意自然数a,b,c,如果ab bc,则ac

其中a实际就是说,任何自然数都“小于”其后继。这没问题,说的非常清楚。

b实际就是说,自然数的大小关系是可以传递的。这也没有问题。

然后薛老师又说,

由于任何自然数都可以由0经有穷次的后继演算而得到,所以可证这样定义的序()具有三歧性。即对于任意两个自然数m,n,在mnm=nnm,三者中有且只有一种成立。这样定义的序(),就是自然数的大小。

这里有个问题,薛老师强调的是:“可证”这样定义的序具有三歧性。也就是说,任意两个自然数的大小关系是确定的。

但是好像薛老师没有完全明白我的问题到底在问什么。

我问的是“‘怎样’比较两个自然数的大小”,而不是“是否任意两个自然数之间的大小关系是确定的”。

如果只是证明了“任意两个自然数之间的大小关系是确定的”,但是却无法确保能够有办法比较出来大小,那是不是就意味着:

有可能存在两个自然数,它们之间的大小关系是没有办法比较出来的?

如果真的存在那样的自然数,是否说明“任意两个自然数之间的大小关系是确定的”的证明是有问题的呢?

当然,我们并不需要担心真有这样的自然数,因为根据皮亚诺公理,任意自然数确实可以从0经过有穷步骤知道它是谁的后继,因此对于任意的两个自然数m和n,要么从0出发可以经过同样多的步骤得到m和n,那就说明m=n;要么可以从m出发经过有穷步骤得到n,那么n就大于m;要么可以从n出发经过有穷步骤得到m,那么m就大于n。

也就是说,确实不存在两个无法比较大小的自然数。

但是对于实数和序数,也是如此吗?

 

3)再来看实数的大小比较,这段薛老师写的非常详细,除了正负实数的比较规则没写,其他的应该差不多了。

但是有个问题薛老师没有说清楚,为什么需要“假定”每个实数都能表示为带整数部分的无穷小数呢?

对比刚才在自然数比较中提到的那个问题,我们就看出来这个“假定”的必要性了。

如果任何一个实数都能表示为带整数部分的无穷小数,那么薛老师写的当然很有价值。但是如果存在这样的实数,它无法表示为带整数部分的无穷小数,那怎么办?

请问薛老师,是否可以这样理解:如果确实存在这样的实数,那么也就无法确保实数的三歧性?

 

4)最后来看序数的大小比较问题,这也是最重要的部分。

与自然数类似,薛老师说:

还可以证明在序数中的属于关系()滿足三歧性。即对任何两个序数序数α,β,三者: αβα=ββα中有且只有一个成立。于是可以用「属于关系()」来定义序数的大小。

但是薛老师甚至类似于“任何自然数都可以由0经有穷次后继演算而得到”这样的特殊性质都没有指出。

再联想到对实数的那个“假定”,我们自然可以有这样的问题:

任何序数都可以经有穷次演算从0得到吗?

如果不能,那么任何序数都确定能表达为某个有规律的字符串形式(类似于实数的带整数部分的无穷小数)吗?

如果还是不能,那么如何确保序数的三歧性?

由于下面的文字有数学公式,怕显示格式有错,就转成了图片:

Untitled-2.jpg




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