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Zmn-0130 薛问天:评一阳生先生有关全称量词和皮亚诺公理五的表述等问题

已有 416 次阅读 2020-3-29 17:15 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0130 薛问天:评一阳生先生有关全称量词和皮亚诺公理五的表述等问题

【编者按。下面是薛问天先生发来的论文,评论《zmn-0124》一阳生先生的文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

评一阳生先生有关全称量词

和皮亚诺公理五的表述等问题

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

 


薛问天-c.jpg(一)      全称量词的表述

一阳生讲【如果用具体的变量符号(n)表示某个一般性的自然数,那么全称量词所有并不等价于量词任一每一。】这句话是不对的。

单纯从词彙的语义和语用来讲,所有并不等价于任一每一"。这是对的。例如我们说【我们班所有同学检阅时编成了一个方阵】。但是绝对不能说 【我们班任一同学检阅时编成了一个方阵】,也不能说 【我们班每一同学检阅时编成了一个方阵】。

但是作为全称量词放在一个谓词P(n)的前面(n)P(n)时,所有任一每一"的含义则是相同的等价的。在逻辑上,数学上所表达的内容没有任何差异。例如,用P(n)表示"n2的倍数"。我们把 (n)P(n)说成是【"所有"偶数nn2的倍数。】同【"任一"偶数nn2的倍数。】和 "每一"偶数nn2的倍数。】都是一个意思,没有差别。其中的"任一""每一"指的并不只是一个偶数,而是所有的偶数。同样"所有"偶数也不是指所有偶数组成的集合,而指的是集合中的任一和每一偶数。
一阳生先生举的例子 「任一自然数nn是有限的」同 「所有自然数nn是有限的」,的含义也没有区别。这里说的所有自然数n,这个n并不是指由所有自然数组成的集合,指的就是集合中的任一自然数n,每一自然数nn都是有限数,不是无穷大。

在数理逻辑里,把 (x)P(x) 式中的 (x)称为全称量词, P(x)称为谓词,其中的变量x称为个体变量。个体变量x的取值范围X称为论域(或值域) (x)P(x)的含义是 :【对X"任一"个体xP(x)都成立。】这里说的"任一"个体x,或"每一"个体x,并不是指只有一个个体x使P(x)成立,而是指X中的所有个体x,都使P(x)成立。当然这里所说的 【对X"所有"个体xP(x)都成立。】并不是指所有个体组成的集合X,使P(X)成立,而是X中的"任一"("每一")个体x,使P(x)成立。换句话说,如果这里说的是自然数X=N={0,1,2,3....}。则  (x)P(x)为真的含义是 :

P(0) ,P(1),P(2),P(3),...都为真。

这就是说对X"所有"的自然数x,亦即"任一"("每一")自然数x,都使P(x)为真。

公式中如果谓词 P(x)有全称量词或存在量词管辖,则称此变量为约束变量。例如 (x)P(x)中的x就是约束变量 。对于约束变量有个重要性质 ,就是约束变量换名后不影响公式的真假,是等价的。即 (n)P(n)≡ (x)P(x)。当然nx酌论域要相同,不能变。

一阳生给我出了一道题 。【 再次请您直接回答【对于任一自然数n(或设n是自然数),则包含但不限于n为元素的全体自然数集合可以表示为{0,1,2,3…n,n+1,n+2,n+3…}。】这个判断的真假!当然变量n可以被替换成m。】

你只要把n=0,n=1,...,代入式中看是真是假,就可判断这个命题的真假,不难判断,当n大于3 【全体自然数集合可以表示为{0,1,2,3…n,n+1,n+2,n+3…}。】这个命题是对的。当n不大于3时,命题需稍作修正。

一阳生说: 我认为「对于所有自然数,P真」推出「对于任一自然数n,(n)真」;反之不然。我认为量词任一所有有微妙的差别,】还说: 我不认可用全称量词所有作为某具体变量的修饰词,如「所有自然数nP(n)为真。」;我认可这种表达「所有自然数,P为真。」】

这里有个【语言随众】的问题。即在观点上,道理上你可以有不同的观点和㸔法,但【语言】上最好【随众】。这样才可以交流。同样一句话,大家共识的是一种解释。而你却要和大家不同,做另外的解释,这样就无法交流了。所以只要不涉及实质性的逻辑和数学差异,语言上完全可以【随众】趋同。例如上例 「对于任一自然数n,(n)真」就是 「对于所有自然数,P真」,这是大家在语言上的公识。而你说你不认可,只说【 有微妙的差别】,但又说不出差别在哪里。难道你认为 「对于任一自然数n,(n)真」只是对个别而不是 「对于所有自然数,P真」,根据和理由在哪里?你能指出在 「对于任一自然数n,(n)真」的条件下还能有哪些自然数P不真?语言必须随众,否则就无法交流无法讨论了。

() 关于皮亚诺公理五的表述

一阳生先生给出如下的皮亚诺公理五的简化版:
皮亚诺公理五(D) 如果「P(0)真且P(n)真且P(n')真」,那么 「对于所有自然数,P真」。】而且说【 如果错误请直接指出并说出关键理由,】

这个版本显然是错的,版本对结论的表述「对于所有自然数,P真」这是对的。错在前提的表述:如果「P(0)真且P(n)真且P(n')真」。在这个表述中有三个真: (1):P(0)真,(2):P(n)真,和(3):P(n')真。其中的第(1)真的要求是对的,错在前提中要求的弟(2)真和第(3)真。即 P(n)真且P(n')真」的要求是错误的。错误的【关键理由】有二。第一 ,没有指明n是什么,是对于"所有的自然数n",还是指"在在有自然数n"。如果仅仅是"存在有自然n"使 P(n)真且P(n')真」,显然这个要求太低,得不出 「对于所有自然数,P真」的结论。如果这里用的是全称量词,是对于"所有的自然数n",使 P(n)真且P(n')真」。按照对全称量词含义的公认的解释,这就是公理五的结论 「对于所有自然数,P真」。前提等于结论。等于什么也没说,成了【空话】,显然是错的。再就是第二个错误,没有说清第(2)真同第(3)真的蕴含关系,错误地把它们用【且】字并列了。正确的前提的表述应是【P(0)真】,且【对所有的n,使得由P(n)真可推出P(n')真。】

其次,为什么说归纳集S3=0123......a0a1a2a3......},不滿足公理五呢?是因为对这个集合,既使你满足了公理五的前提,例如对某性质P,你证明了P(0)而且对S3中的任何n P(n)真可推出P(n')真。只能推出 P(0), P(1), P(2),...等为真,但是你得不出P(a0),P(a1) ,P(a2),...等为真的结论。因为a0没有前趋,所以推不出P(a0)为真,自然推不出 P(a1) ,P(a2),...等为真的结论。所以完全有可能 P(a0),P(a1) ,P(a2),...等全部为假。而这正是一阳生所指出的【 如果p(a0)假,那么皮诺亚公理五前提中的 「对所有的n,由P(an)真可推出P(an')真。」仍然是成立的(因为作为蕴含关系命题前提为假依然成立。)

所以说对于S3,公理五的前提成立,而结论完全可能为假。这就说明公理五不适用于归纳集S3。这说明公理五对于定义自然数的公理是完全必要的。从而把S3这样的不是自然数集的归纳集排除在自然数集合以外。

自然数只有一个元素0没有前趋,但S3除了0以外还有a0也没有前趋。这是S3区别于自然数集的重要特征。由公理五可以保证自然数的这一重要特牲:【没有前趋的数0是唯一的 。】

所以说,一阳生的断言【 所以我的结论是归纳集已经满足自然数五条公理, 公理五没有进一步规定自然数的性质,如限制自然数的外延。】是错误的。

() 关于加法规定了一种关系

一阳生先生说【 我认为加法定义不仅仅是一种归纳定义,而且规定或假设了一种自然数之间的关系,】

从集合论的角度来看,这句话并无什么错误。只不过要把它解释清楚。

加法是一种算术运算,用集合论的语言来说 ,它是一个函数y=f(n,m)=n+m。也就是说,对任一自然数n,任一自然数m ,都有唯一确定的一个自然数y=n+m与之相对应。所谓加法的定义就是对这种函数作出具体的规定。为了保证定义的完整和有效。采用了归纳定义。

众所周知,自然数n,m有无穷多个,函数y=n+m也有无穷多个。为什么能用有穷的两个等式 0+m=m,和n'+m=(n+m)'。就能把这无穷的加法函数的定义完成。所依据的就是自然数的【归纳结构】。即 「任一自然数要么是0,要么是由0经有穷次的后继运算而得到。」于是「 对任一自然数n,任一自然数m ,都能在有穷次地应用上述两个定义加法的公式计算出y=n+m来。」

什么是函数y=f(n,m),函数就是一个滿足单值条件的关系F(y,n,m)。当且仅当 y=f(n,m)成立,就称为关系 F(y,n,m)成立,或称为三元组<y,n,m>R,所以关系R就是所有三元组 <y,n,m>集合的一个子集。

所从说【加法定义了一种自然数之间的关系】这句话没有错,但是一阳生说: 【可以称呼为加法公理。】这就不恰当了,因为为自然数定义了一个【运算】、【函数】、【关系】并不是为自然数提出了一个新的【公理】。这个 【运算】、【函数】和【关系】都是可以在原有的公理系统中定义的。

至于一阳生先生用归纳定义的方法定义了另一种满足交换律的【加法】,并无不可 。实际上在自然数上可以定义各种运算,问题是定义的这些运算有什么与众不同的特点,有什么用途。历史的长河之中,在自然选择的法则下 ,就会把那些没有特色的和没有用的运算淘汰掉了。我相信你提出的这个【加法】,将逃脱不掉这样的命运。

()关于【相同】【相等】和【同一】。

这个问题确实有趣和重要,需要搞清楚 。在逻辑上,根据同一律,在推理中,两个【同一】的对象可以相互替换 ,不需要附加任何定义和公理 。在这本书上写的1+1=2成立。必然在你的筆记本上写的1+1=2也成立。因为不言而喻地认为书上的1同你写的1是【同一】的对象。当然这是指抽象的数这个对象,而不是指这个数代表的具体的实物对象,一头牛和一只羊当然不是【同一】的对象 。但【自然数1】是 【同一】的对象。

在自然数的皮亚诺公理中没有【相等公理】,和【相等定义】,那就是说,自然数的【相等】,就是逻辑上的【同一】对象。从而关于【相等】的推断,就是要依据逻辑的【同一律】来推断。因而「 相同的自然数有相同的后继」就是根据【同一律】,而不是根据任何公理和定义推论出的。

公理集合论中的外延公理,之所以是【公理】而不是【定义】,就是由于它所断定的集合的【相等(=)】是指的逻辑上的【同一】对象。并不是对集合对象用属于关系()【定义】的某种【相等属性】。而是确认外延相同的集合是【所有的属性都相等】的【同一】对象。因而 外延相同的集合适用于逻辑同一律的替换。

一阳生认为【 逻辑上的同一律仅仅只是要求(并不能保证)同一思维过程中的概念和判断保持同一,并不能保证相同或相等的两个对象彼此替换后判断依然成立。这只能由定义具体的相等关系保证成立。当然最重要的如果没有定义相等或相同的具体内涵,甚至无法理解同一律和同一律中关键概念同一。】

这种说法和解释不符合实际情况 ,事实上自然数并无【相等】的定义,而皮亚诺公理只有 (a≠b)(a'≠b')。这里自然数的【相等】,指的就是指【同一】对象。自然公理中的 【不相等】,指的就是指它们不是【同一】对象。否则公理中的 (a≠b)是什么意思,怎么解释?此外,如果不用同一律的替换 ,你如何证明 (a=b)(a'=b')?

关于公理集合论,外延公理规定的两个集合的【相等】就是逻辑上的【同一】对象。可以在推理中进行替换。否则你怎么证明【如果a ϵ Ay=a,则y ϵ A。】?要知道在公理集合论中属于(ϵ)关系是原始概念,无需定义。并没有一阳生先生提出的【 若对象与集合中的某一元素相等(=),则对象属于(ϵ)集合。】这样的定义。另外这作为【 集合论中元素集合之间的属于关系(ϵ)定义】也不合适,因为定义中用到【 集合中的某一元素】这个概念,就用到了属于关系 。如果作为定义就是【循环定义】。所以说要证明 【如果aAy=a,则y ϵ A。】还必须用同一对象的替换法则,否则无法证明。

 

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