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Zmn-0130 薛问天：评一阳生先生有关全称量词和皮亚诺公理五的表述等问题

已有 1818 次阅读 2020-3-29 17:15 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0130 薛问天：评一阳生先生有关全称量词和皮亚诺公理五的表述等问题

【编者按。下面是薛问天先生发来的论文，评论《zmn-0124》一阳生先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

评一阳生先生有关全称量词

和皮亚诺公理五的表述等问题

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

(一) 全称量词的表述

一阳生讲【如果用具体的变量符号(如n)表示某个一般性的自然数，那么全称量词“所有”并不等价于量词“任一”或“每一”。】这句话是不对的。

单纯从词彙的语义和语用来讲， “所有”并不等价于“任一”或“每一"。这是对的。例如我们说【我们班所有同学检阅时编成了一个方阵】。但是绝对不能说【我们班任一同学检阅时编成了一个方阵】，也不能说【我们班每一同学检阅时编成了一个方阵】。

但是作为全称量词放在一个谓词P(n)的前面(n)P(n)时， “所有”，“任一”和“每一"的含义则是相同的等价的。在逻辑上，数学上所表达的内容没有任何差异。例如，用P(n)表示"n是2的倍数"。我们把 (n)P(n)说成是【"所有"偶数n，n是2的倍数。】同【"任一"偶数n，n是2的倍数。】和【"每一"偶数n，n是2的倍数。】都是一个意思，没有差别。其中的"任一"和"每一"指的并不只是一个偶数，而是所有的偶数。同样"所有"偶数也不是指所有偶数组成的集合，而指的是集合中的任一和每一偶数。
一阳生先生举的例子「任一自然数n，n是有限的」同「所有自然数n，n是有限的」，的含义也没有区别。这里说的所有自然数n，这个n并不是指由所有自然数组成的集合，指的就是集合中的任一自然数n，每一自然数n，n都是有限数，不是无穷大。

在数理逻辑里，把 (x)P(x) 式中的 (x)称为全称量词， P(x)称为谓词，其中的变量x称为个体变量。个体变量x的取值范围X称为论域(或值域)。 (x)P(x)的含义是 :【对X中"任一"个体x，P(x)都成立。】这里说的"任一"个体x，或"每一"个体x，并不是指只有一个个体x使P(x)成立，而是指X中的所有个体x，都使P(x)成立。当然这里所说的【对X中"所有"个体x，P(x)都成立。】并不是指所有个体组成的集合X，使P(X)成立，而是X中的"任一"("每一")个体x，使P(x)成立。换句话说，如果这里说的是自然数X=N={0,1,2,3....}。则 (x)P(x)为真的含义是 :

P(0) ,P(1),P(2),P(3),...都为真。

这就是说对X中"所有"的自然数x，亦即"任一"("每一")自然数x，都使P(x)为真。

公式中如果谓词 P(x)有全称量词或存在量词管辖，则称此变量为约束变量。例如 (x)P(x)中的x就是约束变量。对于约束变量有个重要性质，就是约束变量换名后不影响公式的真假，是等价的。即 (n)P(n)≡ (x)P(x)。当然n和x酌论域要相同，不能变。

一阳生给我出了一道题。【再次请您直接回答【对于任一自然数n(或设n是自然数)，则包含但不限于n为元素的全体自然数集合可以表示为{0,1,2,3…n,n+1,n+2,n+3…}。】这个判断的真假！当然变量n可以被替换成m。】

你只要把n=0,n=1,...,代入式中看是真是假，就可判断这个命题的真假，不难判断，当n大于3时，【全体自然数集合可以表示为{0,1,2,3…n,n+1,n+2,n+3…}。】这个命题是对的。当n不大于3时，命题需稍作修正。

一阳生说: 【我认为「对于所有自然数,Ｐ真」推出「对于任一自然数n,Ｐ(n)真」；反之不然。我认为量词“任一”和“所有”有微妙的差别，】还说: 【我不认可用全称量词“所有”作为某具体变量的修饰词，如「所有自然数n，P(n)为真。」；我认可这种表达「所有自然数，P为真。」】

这里有个【语言随众】的问题。即在观点上，道理上你可以有不同的观点和㸔法，但【语言】上最好【随众】。这样才可以交流。同样一句话，大家共识的是一种解释。而你却要和大家不同，做另外的解释，这样就无法交流了。所以只要不涉及实质性的逻辑和数学差异，语言上完全可以【随众】趋同。例如上例「对于任一自然数n,Ｐ(n)真」就是「对于所有自然数,Ｐ真」，这是大家在语言上的公识。而你说你不认可，只说【有微妙的差别】，但又说不出差别在哪里。难道你认为「对于任一自然数n,Ｐ(n)真」只是对个别而不是「对于所有自然数,Ｐ真」，根据和理由在哪里？你能指出在「对于任一自然数n,Ｐ(n)真」的条件下还能有哪些自然数P不真?语言必须随众，否则就无法交流无法讨论了。

(二) 关于皮亚诺公理五的表述

一阳生先生给出如下的皮亚诺公理五的简化版:
【皮亚诺公理五(D)：如果「P(0)真且P(n)真且P(n')真」，那么「对于所有自然数,Ｐ真」。】而且说【如果错误请直接指出并说出关键理由，】

这个版本显然是错的，版本对结论的表述「对于所有自然数,Ｐ真」这是对的。错在前提的表述：如果「P(0)真且P(n)真且P(n')真」。在这个表述中有三个真: (1):P(0)真，(2):P(n)真，和(3):P(n')真。其中的第(1)真的要求是对的，错在前提中要求的弟(2)真和第(3)真。即「P(n)真且P(n')真」的要求是错误的。错误的【关键理由】有二。第一，没有指明n是什么，是对于"所有的自然数n"，还是指"在在有自然数n"。如果仅仅是"存在有自然n"使「P(n)真且P(n')真」，显然这个要求太低，得不出「对于所有自然数,Ｐ真」的结论。如果这里用的是全称量词，是对于"所有的自然数n"，使「P(n)真且P(n')真」。按照对全称量词含义的公认的解释，这就是公理五的结论「对于所有自然数,Ｐ真」。前提等于结论。等于什么也没说，成了【空话】，显然是错的。再就是第二个错误，没有说清第(2)真同第(3)真的蕴含关系，错误地把它们用【且】字并列了。正确的前提的表述应是【P(0)真】，且【对所有的n，使得由P(n)真可推出P(n')真。】

其次，为什么说归纳集Ｓ3=｛0，1，2，3，......，a0，a1，a2，a3，......｝，不滿足公理五呢？是因为对这个集合，既使你满足了公理五的前提，例如对某性质P，你证明了P(0)而且对S3中的任何n， P(n)真可推出P(n')真。只能推出 P(0), P(1), P(2),...等为真，但是你得不出P(a0),P(a1) ,P(a2),...等为真的结论。因为a0没有前趋，所以推不出P(a0)为真，自然推不出 P(a1) ,P(a2),...等为真的结论。所以完全有可能 P(a0),P(a1) ,P(a2),...等全部为假。而这正是一阳生所指出的【如果p(a0)假，那么皮诺亚公理五前提中的「对所有的n，由P(an)真可推出P(an')真。」仍然是成立的(因为作为蕴含关系命题前提为假依然成立。)

所以说对于S3，公理五的前提成立，而结论完全可能为假。这就说明公理五不适用于归纳集S3。这说明公理五对于定义自然数的公理是完全必要的。从而把S3这样的不是自然数集的归纳集排除在自然数集合以外。

自然数只有一个元素0没有前趋，但S3除了0以外还有a0也没有前趋。这是S3区别于自然数集的重要特征。由公理五可以保证自然数的这一重要特牲:【没有前趋的数0是唯一的。】

所以说，一阳生的断言【所以我的结论是归纳集已经满足自然数五条公理，公理五没有进一步规定自然数的性质，如限制自然数的外延。】是错误的。

(三) 关于加法规定了一种关系

一阳生先生说【我认为加法定义不仅仅是一种归纳定义，而且规定或假设了一种自然数之间的关系，】

从集合论的角度来看，这句话并无什么错误。只不过要把它解释清楚。

加法是一种算术运算，用集合论的语言来说，它是一个函数y=f(n,m)=n+m。也就是说，对任一自然数n，任一自然数m ，都有唯一确定的一个自然数y=n+m与之相对应。所谓加法的定义就是对这种函数作出具体的规定。为了保证定义的完整和有效。采用了归纳定义。

众所周知，自然数n,m有无穷多个，函数y=n+m也有无穷多个。为什么能用有穷的两个等式 0+m=m，和n'+m=(n+m)'。就能把这无穷的加法函数的定义完成。所依据的就是自然数的【归纳结构】。即「任一自然数要么是0，要么是由0经有穷次的后继运算而得到。」于是「对任一自然数n，任一自然数m ，都能在有穷次地应用上述两个定义加法的公式计算出y=n+m来。」

什么是函数y=f(n,m)，函数就是一个滿足单值条件的关系F(y,n,m)。当且仅当 y=f(n,m)成立，就称为关系 F(y,n,m)成立，或称为三元组<y,n,m>∈R，所以关系R就是所有三元组 <y,n,m>集合的一个子集。

所从说【加法定义了一种自然数之间的关系】这句话没有错，但是一阳生说: 【可以称呼为加法公理。】这就不恰当了，因为为自然数定义了一个【运算】、【函数】、【关系】并不是为自然数提出了一个新的【公理】。这个【运算】、【函数】和【关系】都是可以在原有的公理系统中定义的。

至于一阳生先生用归纳定义的方法定义了另一种满足交换律的【加法】，并无不可。实际上在自然数上可以定义各种运算，问题是定义的这些运算有什么与众不同的特点，有什么用途。历史的长河之中，在自然选择的法则下，就会把那些没有特色的和没有用的运算淘汰掉了。我相信你提出的这个【加法】，将逃脱不掉这样的命运。

(四)关于【相同】【相等】和【同一】。

这个问题确实有趣和重要，需要搞清楚。在逻辑上，根据同一律，在推理中，两个【同一】的对象可以相互替换，不需要附加任何定义和公理。在这本书上写的1+1=2成立。必然在你的筆记本上写的1+1=2也成立。因为不言而喻地认为书上的1同你写的1是【同一】的对象。当然这是指抽象的数这个对象，而不是指这个数代表的具体的实物对象，一头牛和一只羊当然不是【同一】的对象。但【自然数1】是【同一】的对象。

在自然数的皮亚诺公理中没有【相等公理】，和【相等定义】，那就是说，自然数的【相等】，就是逻辑上的【同一】对象。从而关于【相等】的推断，就是要依据逻辑的【同一律】来推断。因而「相同的自然数有相同的后继」就是根据【同一律】，而不是根据任何公理和定义推论出的。

公理集合论中的外延公理，之所以是【公理】而不是【定义】，就是由于它所断定的集合的【相等(=)】是指的逻辑上的【同一】对象。并不是对集合对象用属于关系(∈)【定义】的某种【相等属性】。而是确认外延相同的集合是【所有的属性都相等】的【同一】对象。因而外延相同的集合适用于逻辑同一律的替换。

一阳生认为【逻辑上的同一律仅仅只是要求(并不能保证)同一思维过程中的概念和判断保持同一，并不能保证相同或相等的两个对象彼此替换后判断依然成立。这只能由定义具体的相等关系保证成立。当然最重要的如果没有定义相等或相同的具体内涵，甚至无法理解同一律和同一律中关键概念“同一”。】

这种说法和解释不符合实际情况，事实上自然数并无【相等】的定义，而皮亚诺公理只有 (a≠b)→(a'≠b')。这里自然数的【相等】，指的就是指【同一】对象。自然公理中的【不相等】，指的就是指它们不是【同一】对象。否则公理中的 (a≠b)是什么意思，怎么解释?此外，如果不用同一律的替换，你如何证明 (a=b)→(a'=b')?

关于公理集合论，外延公理规定的两个集合的【相等】就是逻辑上的【同一】对象。可以在推理中进行替换。否则你怎么证明【如果a ϵ A且y=a，则y ϵ A。】?要知道在公理集合论中属于(ϵ)关系是原始概念，无需定义。并没有一阳生先生提出的【若对象与集合中的某一元素相等(=)，则对象属于(ϵ)集合。】这样的定义。另外这作为【集合论中元素集合之间的属于关系(ϵ)定义】也不合适，因为定义中用到【集合中的某一元素】这个概念，就用到了属于关系。如果作为定义就是【循环定义】。所以说要证明【如果a∈A且y=a，则y ϵ A。】还必须用同一对象的替换法则，否则无法证明。