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Zmn-0131 薛问天:评李鸿仪先生的《 集合的定义和罗素悖论》

已有 565 次阅读 2020-3-31 20:49 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0131 薛问天:评李鸿仪先生的《 集合的定义和罗素悖论》

【编者按。下面是薛问天先生发来的论文,评论《zmn-0108》李鸿仪先生的文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

评李鸿仪先生的《 集合的定义和罗素悖论》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-c.jpg() 关于【数学定义】和【数学证明】。

李鸿仪先生在《Zmn-0108集合的定义和罗素悖论:与薛问天先生的分歧) 一文中谈到 我和李先生之间的分歧。我认为分歧的关键在于对什么是【数学定义】和 【数学证明】的理解上。李先生所说的那种「描述性的」「解释性的」用自然语言表达的【定义】,我认为那算不上是真正数学意义下的【数学定义】。在这种 「描述性的」定义下所做的推理 ,也只能算作是一种「直观性地」推论,可以帮助人们对抽象数学概念做直观上的理解,但不能算作是「严格的」【数学证明】。

数学不同于其它学科,要求有更严格、更缜密的逻辑性。因而对【数学定义】和【数学证明】有较高的要求。要求对所有的数学概念都必须要有严格的【数学定义】。只有少数所谓【原始概念】(如集合论中的「集合」「属于关系()」,几何学中的「点」「直线」等)不需要定义。但是这些 【原始概念】都是在公理中出现,受到所有公理的约束。所以也可以这样理解, 【原始概念】是以公理的形式来定义的。

在【数学定义】中只能使用严格的逻辑语言,而不能使用自然语言。所用到的概念也必须是【原始概念】或者己有严格【数学定义】的概念 。而不允许参杂任何未经定义的概念。既使是所谓【尽人皆知】【一目了然】【显而易见】,也统统不允许。这就是说每个数学概念的背后都有一个【定义链】,一串定义形成一个链条,链头要能追溯到源头,即 【原始概念】。

在【数学证明】中,要求证明推理的每一步都必须有根有据 ,除了合乎逻辑的推理规则以外,所有的根据必须是系统的公理或己经严格证明的定理 。其它的东西都不能作为证明的依据。既使你认为是【这么简单的事实】【 像小学生一样的正常的思维常理】,只要不是公理不是定理统统不能作为证明的论据。

正是由于数学区别于其它学科的这种逻辑的缜密性 ,著名的华罗庚数学大师教给我们一个学习数学的好方法【穷追到底】。每遇到一个数学概念,数学论断,都要问【是什么】和【为什么】,而且要不断地问,追问到底。直问到遇见【原始概念】和【公理】为止。

() 集合的定义

李鸿仪先生引用的康托尔对集合的刻画的译文:集合是【 我们的直觉或思维能够确定且加以区分的对象所汇集成的总体,我们称这些对象为元素。】

我原先引用的是中国最早的译文【吾人直观或思维之对象,如为相异而确定之物,其总括之全体即为集合,其组成集合之物谓之集合之元素。】

我看翻译得都差不多,没有什么区别 。用【 汇集成的总体】【 总括之全体】来描述【集合】,用【 确定且加以区分的对象】【 相异而确定之物】来描述【集合之元素】。

我前文己指出康托尔对集合的这种刻画,只是对集合的一种直观描述和解释,不能算作是严格的【数学定义】。我们说它不是【数学定义】,主要不是指它未包括【空集】,不全面。主要是指在其用来定义【集合】和【集合之元素(属于关系)】的陈述中用到的词汇,诸如 汇集成的总体】【 总括之全体】以及 确定且加以区分的对象】【 相异而确定之物】这些词汇本身都是没有数学定义的概念。要知道在 【数学定义】中 所用到的概念必须是【原始概念】或者己有严格【数学定义】的概念

我们来分析李鸿仪先生给出的定义: 定义 1(集合的定义) 符号{}定义了一个空集;若{}内有任意多个确定的研究对象,则称定义了一个非空集;当非空集合内有多个元素时,这些元素必须是可区分的。】

在此定义中用【 符号{}】和【{}内有任意多个确定的研究对象,】来定义【空集】和【非空集】。严格讲,在集合论中并未对【符号{}】作严格定义,而是在有些数学分支中对【符号】有定义(如形式语言,逻辑演算等)。在这里用了未定义的概念。另外如【确定的研究对象】在集合论也无此定义,这同康托尔对元素的刻画是一样的。也就是说李先生并没有解决康托尔的刻画不是【数学定义】的问题。尽管李先生没有用总体,因为【 在康托的定义中,什么叫总体,也没有说清楚。】但是你的新定义中把【总体】换成 【符号{}】,情况更糟糕。因为在集合论中并无 【符号{}】的定义。既使你添加了 【符号{}】进来,把【空集】定义为 【符号{}】,本身就是严重的概念错误。集合是个数学对象,它不是【符号】。而且语句说【 {}内有...对象】语句就不通,在一个【符号】内怎么会有别的对象呢?难道你定义的元素也都是【符号】。李先生创建的不是【集合论】而是【符号论】。集合和元素统统是【符号】。这能是集合论的正确表述吗?

李先生后面说【 符号{}称为集合符号 】,可惜太晚了。他在前面的定义中己经把 【符号{}】定义为【集合】了。怎么可能仅仅又是个【集合符号】而已。可见李先生的思维是混乱的 ,根本没有分清【对象本身】和表示对象的【符号】之间的区别。

李鸿仪先生把集合定义为符号,可以说是災难性的错误。要知道符号只有有穷个,所有有限长度的符号串的集合也只不过是可数无穷集,而集合的基数则可能远远大于它。李先生的这一刀砍下去,就使集合论的那些具有较大基数集合的绚丽多姿丰富多彩的内容,顿时化为乌有。

定义2也不能算严格的 【数学定义】。用来定义A=B所用的词汇竟然是未加定义的【不可区分】 。这个概念本身就是模糊不清的。两个集合一个叫A一个叫B。两个集合的名称不同,你说是【可区分】还是【不可区分】。

() 关于【朴素集合论】,【不正常集】和【罗素悖论】

康托尔提出的早期集合论,也称 【朴素集合论】(也有文献称 【素朴集合论】),这已是一段尘封的历史。你可以研究它,理解它,发展它,但你不能修改它原来的历史真实 。【早期集合论】就是因为不严格,有漏洞,才出现矛盾,出现【悖论】。现代集合论 ,公理集合论开始就是针对这些不严格和漏洞发展起来的,早己克服了这些矛盾,化解了这些悖论。

在康托尔对集合的刻画中,说A是集合, aA 的元素,aA ,只是说元素a是对象。由于集合也是对象,集合当然可以作为元素。 这里并没有规定元素不能是集合。例如元素a=B,这里B可以是一个集合。这在朴素集合论中是完全允许的。而且在公理集合论中又把它发展到极致,整个系统只有一种对象,所有的对象都是集合

另外既然AB都是集合,在朴素集合论中也没有规定AB不能相等。所以就可能有A=B,亦即AA。在朴素集合论中把这样的集合称为【不平常集合】。当然我们平常看到的都是【平常集合】。

李鸿仪先生问道【 存在不平常集合吗?】他论证的答案认为这【是不可能存在的。】

但事实同李先生的结论恰恰相反,【 在朴素集合论中存在不平常集合。】我们现在来论证这点。李先生说了那么多集合都是平常集而不是【不平常集合】及相关的理由,但这都证明不了【 不存在不平常集合】。要证明 【存在不平常集合】,只需举出一个例子即可。

令集合A是【所有集合的集合】,即A={x|x是集合}

对于这个集合AAA是显而易见的,既然承认A是集合,A当然是集合的集合中的一个元素,于是属于A

现在我们来论证集合A符合康托尔对集合的刻画。由于A是所有集合的集合,显然它是【 能够确定且加以区分的对象所汇集成的总体】,而它的元素,即这些【 能够确定且加以区分的对象】就是所有的各种不同的集合 。由于A也是一个集合,当然A也是其中的一个元素。

以上例子说明 在朴素集合论中存在不平常集合。】证毕。

正如李先先所述【 罗素悖论是以存在不平常集合为前提的】。由于 在朴素集合论中存在不平常集合。】于是可以得出与李先生相反的结论: 【在朴素集合论中存在罗素悖论。】

从以上存在不平常的事实,就可发现李先生论证中的错误。例如有不平常集 X={X,Y,Z….},就会有:

X={X,Y,Z….}={{X,Y,Z….},Y,Z….}= {{{X,Y,Z….},Y,Z….},Y,Z….}=… 9 

李先生断定【这种无限嵌套的集合是不可能存在的。】就没有任何道理。凭什么无限嵌套就不可存在?

另外,说【所谓不平常集,其实都是因为思维太过粗糙、太过随意, 太不严格,从而混淆了概念的细微差别所致,...。】也太过于武断。我们所举的不平常集的例子,并不存在任何【粗糙】【随意】和【 混淆了概念的细微差别】的问题。

当然在现代集合论中也不允许有【不平常集】,但是现代集合论并不否认【所有集合的聚集】的存在,也不是认为在论证它的存在时有什么 【粗糙】和【随意】的瑕疵。而是认为朴素集合论本身不严格,认为这是由于康托尔对集合的刻画中,把任何对象的聚集都称为集合所导致的。在现代集合论中承认 【所有集合的聚集】的存在,但是它不是【集合】,而是【类】。在现代集合论中认为类是比集合更宽泛的一个概念,认为【一般概括原则】构造的聚集是类而不肯定它一定是集合。

李先生说【 为了消除罗素悖论,却构造了一大堆无法证明故无法排除存在反例可能性的公理,而且还人为地缩小了集合论的应用范围,且并无法保证不出现新的悖论,何况公理体系还存在着独立性、完备性和相容性等一系列复杂问题。】

从李先生的这段话中可以看出,他对现代的公理集合论不太了解,也不太理解。现代集合论不仅仅是为了 【消除罗素悖论】,集合论承担了构建整个数学的理论基础的重任。没有比【集合】更原始的概念来定义集合这个概念。现代集合论要建立在坚实的理论基础之上,就必须要有一些【原则】或【公理】来严格地约束【集合】这个未加定义的原始概念,使其有所遵循。这就是这些 【原则】或【公理】存在的必要性。李先生设想能有一个关于【集合】的严格定义【 更清楚地定义集合】,然后让所有必须满足的性质作为定理由这个定义推导出来。想得倒挺好,但做不到不现实,只是一厢情愿的主观臆想。开始【定义】这一关就过不去。没有比【集合】更原始的概念来定义集合这个概念。肯定后面还会再碰钉子,慢慢认识到了这条路行不通,就会回头。这是我的判断。

(全文完)



 

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