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Zmn-0126 薛问天：【表达序数】仅凭【定义】是不够的，论 【命名表达系统】的必要性。
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Zmn-0126 薛问天：【表达序数】仅凭【定义】是不够的，论 【命名表达系统】的必要性。
【编者按。下面是薛问天先生发来的论文，评论《zmn-0122，0123》樊毅先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
【表达序数】仅凭【定义】是不够的，
论【命名表达系统】的必要性。
薛问天
(一)【命名表达系统】的必要性，【表达序数】仅凭【定义】是不够的。
樊毅先生说他【 进行了复盘】，经过【重新认真阅读】和思考，认为【“判断某个图像是否表达了某个序数”并不需要用到薛老师的“命名表达系统”。】【 他的命名表达系统根本不能作为“判断一个图像是否表达了某个序数”的依据。】
樊毅先生引用了【序数的定义】和列举了有穷序数和ω等一些序数的具体表达后说【 “判断一个字符串是否是序数”的依据非常清晰，那就是序数的定义和各种公理和定理，根本不需要“命名表达系统”。】
在这里樊毅先生的判断又出错了。他没有认识到我所说的【命名表达系统】正是根据【 序数的定义和各种公理和定理】提出的序数的具体【表达方案】。任何一个序数都必须在一种 【表达方案】(亦即【命名表达系统】)的规定下才能实现【表达】。只有【命名表达系统】才规定了哪个字符串【表达】哪个序数。仅仅依据【序数的定义】是不够的，序数的定义并没有对每个序数提供它的【表达】方法。
我们举例来说明。在序数的定义中说【任一序数都是经(1)-(3)获得的】。我仅以其中的(3)为例来说明。【(3)。若S是一序数的集合，则∪S是一序数。】在这个序数的定义中，並未将所指的序数具体表达出来。你要表达具体的序数∪S，必须要有一个【命名表达系统】来指明你表达的序数是由怎样的序数集合S的并而得到的，亦即你必须表达出这个S具体是怎样的集合。在【序数的定义】中并未提供S的的具体表达。
例如，ω的表达是：【令S是全体有穷序数的集合，则ω=∪S。】也就是说，在你的 【命各表达系统】中要有 【令S是全体有穷序数的集合】，才能用【 ω=∪S】表达序数ω。显然只有【序数的定义】是不够的。要表达序数∪S，必须用一个字符串来表达序数集合S是什么。而这就是【命名表达系统】的任务 。
用严格的数学语言来说，【命名表达系统其实就是从 P 到 ω1 的一个部分单射。】
樊毅先生对此提出质疑，他说【任意一个从 P 到 ω1 的部分单射，无论其定义域是什么，都可以叫做一个“命名表达系统”。因为映射与语义无关，因此薛老师确实可以随意映射图像到序数。比如可以把“ω”映射到任何序数，理论上说都是可以的。】
樊毅先生对【 任意一个从 P 到 ω1 的部分单射】这句话，只注意到【任意】，而未注意到是【 从 P 到 ω1 的部分单射】。这个【任意】当然有随意性，但最后构造出的单射必须是从P到ω1中序数的部分单射。要保证这一点，在构造此映射时必然要根据 【 序数的定义和各种公理和定理】以及对字符串给出的的语义规定，否则怎么能保证它是到序数的映射 。不能说【 映射与语义无关】，此映射就是在某种给定语义的规定下构造的由P到序数的映射。
至于是否【 可以把“ω”映射到任何序数】。这完全取决于构造此单射时，所给定的语义。如果你规定用β而不用ω来表达全体有穷序数的集合，自然没有理由不允许用ω表达其它的序数。广而言之，在不同的【命名表达系统L】中，构造的映射不同，亦即对字符串赋给的语义不同，完全有可能同一个字符串表达的是不同的序数。当然在同一个乚的映射中，不会出现这个问题(映射的特性所决定的)。
(二)【可表达】是相对于【命各表达系统】的。
我们再来审视一下樊毅先生的【表达的定义】。
【 定义：如果存在一个 m×n 像素的二维黑白图像，恰好表达了序数 a，其中 m 和 n 都是自然数，就称 a 是“能用有限大小的二维黑白图像表达的”，简称“能有限表达的”，用 YouXian(a)来表示。如果不存在这样的二维黑白图像，就称 a 是“无法用有限大小的二维黑白图像表达的”，简称“ 不能有限表达的”，用 ¬YouXian(a) 来表示。】
什么叫一个字符串【恰好表达了序数a】。我刚才分析了，为了表达一个由(3)生成的序数a=∪S，你必须用一个字符串来表达这个序数集合S。要做到这一点，只有【序数的定义】是不够的。你必须有一个【命名表达系统L】，或称为【表达方案L】，严格讲就是对P给出一种【语义】，在这种语义下构成一个 【 从 P 到 ω1 的部分单射f:P→ω1】。如果序数a属于f的像，则称【序数a在L下可表达】。 如果序数a不属于f的像，则称【序数a在L下不可表达】。
关于【 不能有限表达的】概念樊毅先生并未讲清楚，是相对于某个L的还是对所有的L均不能表达，于是陷入混乱。如果是前者，在定义中应当明确地说清楚，所定义的【不能有限表达】，是相对于哪个【命名表达系统】L的。例如在上述定义中，【不能有限表达】的序数肯定是指相对于这样的L，其中没有用字符串【 ¬YouXian(a)】表示序数。只有当你把 【 用 ¬YouXian(a) 来表示】扩充到L中后，相对于扩充后的L这些序数才是【能有限表达的】的。所以，你在证明中的【不能有限表达】同【能有限表达的】的矛盾根本是不存在的，它们相对的是不同的L。
也就是说，关于不能表达的正确的定义应是: 如果序数a在L下不能表达，就称为是 【序数a相对于L不能表达】。 如果序数a在任何L下均不能表达，才能称为是 【序数a是P不能表达的】。
(三) 不存在一个统一的L，任何序数都能在L中表达。
樊毅先生为了规避重复，所论证的一个重要结论是 【 因此，不同的序数必然可以用不同的字符串来表达。】
这里存在着同样的问题。你的结论是指 A:【对任何两个不同的序数必然存在着一个L，在L中可以用不同的字符串来表达这两个不同的序数。】还是指B:【 存在着一个统一的L，任何两个不同的序数，都必然在L中可以用不同的字符串来表达。】
樊毅先生所论证的结论是A而不是B。例如他紧接着说【如果无论怎样都只能用相同的字符串来不及表达它们，那只能说明它们是相同的序数。】这句话所论证的仍然是A而不是B。
针对我说的【 把不同的 L 放在一起，就不能保证【不重复】，】
樊毅先生说【 这个问题很容易解决，如果 a≠b，那么必然有不同的字符串可以分别表达它们。】
这就是我前面说的， A成立:【对任何两个不同的序数必然存在着一个L，在L中可以用不同的字符串来表达这两个不同的序数。】并不等于B成立:【 存在着一个统一的L，任何两个不同的序数，都必然在L中可以用不同的字符串来表达。】
在樊先生的最新的《小结》一文中 ，又提出一个错误观点。他说【 薛老师的全部命名表达系统，其实是建立在一个统一的“表达系统”之上。在这个系统里，已经把 ω1 中的每个序数都“表达”出来了。】
这显然是严重的误解与歪曲，我多次强调我们证明不出（实际上没有）【一个统一的“表达系统”】，能 【 把 ω1 中的每个序数都“表达”出来。】
前面讲过，所谓 【命名表达系统L】，或称为【表达方案L】，严格讲就是对P给出一种【语义】，在这种语义下构成一个 【 从 P 到 ω1 的部分单射f:P→ω1】。如果序数a属于f的像，则称【序数a在L下可表达】。
按照这个定义，任何ω1中的序数a，都存在相应的 【命名表达系统L】，使a在L下可表达。也就是说存在着多个L，这多个L中可表达的序数可以覆盖ω1中的全部序数。
樊毅先生不以为然，他说【 如果某个序数是根本无法用有限长度的字符串表达的，那么薛老师也就根本无法用一个有限长度的字符串来映射到这个序数上。】
我不承认有这样的序数。只有你把一个确定的数学对象，用至少一种语言把它表达出来，然后证明此对象是序数，这才能承认它是一个符合定义的【序数】。请问如果一个对象用任何语言都无法表达，也证明不了它是序数，你凭什么说它是【根本无法用有限长度的字符串表达】的【序数】?
尽管每个序数都是在某个L中可表达的，但是我们证明不了存在着一个统一的L，使ω1中的全部序数都在L中可表达。因为如果成立，L中的映射f就不仅仅【单射】而且是【滿射】，即是P到ω1的【双射】了。而这只有在P同ω1等势的条件下才能成立。不要以为在任何条件下，只要有了【序数的定义】，ω1中的所有序数都能用P无重复的表达。在P的势小于ω1的势时，这种表达就是不可能的。只有在你假定【P同ω1等势】的条件下才有可能。
我已指出你是在没有任何根据的情况下得出结论 B的:【 存在着一个统一的L，任何两个不同的序数，都必然在L中可以用不同的字符串来表达。】如果你硬坚持认为你是经过论证得出的结论，那就是你在推论中隐形地使用了【 P同ω1等势】这个命题。犯了【循环论证】的逻辑错误。因为【 P同ω1等势】正是你要证明的命题。
(四)【命名】和【表达】是不可分的。
樊毅先生强调【命名系统】和【表达系统】的区别。他说:【 薛老师的“命名表达系统”只是“命名系统”，他只是用一些字符串给另一些字符串“命名”而已。 而这个“表达系统”，正是薛老师以为并不存在的语义统一的系统。】
其实【命名】和【表达】是不可分的。【命名】不仅有名，还要有【命】，【命】名就必须要有表达 。例如在命名中说令ω是全体自然数的集合，这里的ω是名，但必须还要有【 ω是全体自然数的集合】这个表达。同样，表达也离不开【命名】。 在这个表达中有【自然数】和【集合】。又需要对表达中的【自然数】和【集合】加以命名。这样 【命名】和【表达】是交替运用，互不可分。
其实，樊毅先生强调 【表达系统】的区别，是为了说明他认为存在【语义统一系统】(即统一的【表达系统】，以及认为在此系统中【 确保了“不同的序数会有不同的表达”。】还美其名曰:【 零散的“命名系统”与统一的“表达系统”】。这些结论统统没有论证，无任何推论根据，只是樊先生的主观臆想而已。
【命名】和【表达】是不可分的。不可能存在单纯的【命名系统】和单纯的【表达系统】。用数学的语言来讲，每个【命名表达系统】最终都是要构造一个p到ω1的部分单射。你并没有提供任何证据，论证存在着一个【 统一的“表达系统”】，即能构造一个P到ω1的映射f，它不仅仅【单射】而且是【滿射】，是P到ω1的【双射】。
(五) 最后简单谈谈【连续统假设CH】独立于ZFC公理系统的问题。
我们知道这个【独立性】由两部分组成，一是证明【ZFC同CH相容】(即在ZFC中不能证明 ¬CH)，一是证明【ZFC同 ¬CH相容】 (即在ZFC中不能证明 CH)。前者由哥德尔完成，后者由科恩完成。这里的【相容】指的是【相对相容性】，即相对于ZFC，是在假定ZFC是相容的条件下证明的。证明相容性釆用模型论的方法。即只要构建一个模型，证明有关公理在模型中为真，则证明该公理系统是相容的。
樊毅先生对【 哥德尔和科恩的结论“几乎”相反，】感到不解。他说:【 确实令人费解，为什么在哥德尔的模型中居然连广义连续统都成立，而在科恩的模型中则完全不成立呢？】
这其实只要理解他们的证明思路 ，确实没有可费解的地方。既然要证明 【ZFC同CH相容】又要证明【ZFC同 ¬CH相容】，自然是要构造两个截然不同的模型。这两个模型的共同之处是ZFC的所有公理都必须在模型中为真。而不同之处则正是CH在一个模型中为真，而在另一个模型中为假( ¬CH为真)。这正是定理证明所追求的结果。所以说只要理解了他们的证明思路。问题就会迎刃而解。这就如同在几何中，为了证明平行公理的独立性，就要构建两个模型，在欧氏模型中过线外之点只能有一条平行线，而在非欧几何中则要求这个平行公理不成立。是一个道理。
(六)【可定义集合】同【可有限表达】。
在哥德尔的证明中用到了【 可定义集合】的概念。【 就是这样一种集合，它可以表达为{x|A(x)}，其中 A(x)是一个 ZF 公式。】
樊毅先生说【 可定义集合，实际就是能用有限多个字符表达的集合。】
这没有问题。但是要说清楚这个【可表达】是相对于【ZF公式】这个命名表达系统的。【不可表达】也是相对于【ZF公式】这个命名表达系统的。
同时还要请樊毅先生始终要保持清醒的头脑。要确切地考虑清楚 ，你的推理是在哪个公理系统中进行的。
哥德尔这里是承认ZFC的，因而 【可定义集合】的势等同于ω的势而小于ω1的势。而你不承认ZFC，不承认ω 的势小于ω1的势，而是想方设法企图证明ω同ω1等势(实际上证明不了)。在文中说【 我们已经证明了，小于 ω1 且能有限表达的序数与 ω 一一对应，】要明确说明这里的可与ω一一对应的【能有限表达】的序数是指相对于某个【命名表达系统L】的序数。而不是ω1中所有的序数。
特别请樊毅先生注意，哥德尔所说的那些命题如【 V=L 是在说所有集合都是序数】等，这些论断只在他的模型中成立。离开他的模型就不成立了。
(七)【 是否存在“不能有限表达”的实数？】
关于这个问题，我同样认为【 能有限表达】是相对于某个【命名表达系统】而言的。这里有两个论断。
论断1。任何实数a，都存在一个相应的【命名表达系统L】，使a在L中【能表达】，不存在【在任何命名表达系统中都不能表达的实数】。
论断2。不存在一个统一的 【命名表达系统】L，使所有实数都能在L中表达。
论断2容易证明，因为有限字符串集合的基数小于实数集合的基数 。论断1不容易证明 ，只能用这样一句话来论证。如果一个对象用任何语言和符号都无法表达，你怎么知道或证明它是实数，连是否是实数都确定不了，怎么还能确定它是【 不能表达的实数】?
樊毅先生所说的【应该存在无穷多的不能用任何有限字符串表达的超越数。】只是指这些超越数不能用某种语言表达，而不是指用任何语言都无法表达。如果真有个超越数是用任何语言都无法表达，你怎么能知道那是个超越数。
樊先生说: 【ω 的子集当然也可以分为“能有限表达”和“不能有限表达”的。】是的，但是是相对于某个【命名表达系统L】而言。
樊先生说: 【事实上那些“不能有限表达”的实数就必然一一对应了那些“不能有限表达”的 ω 的子集。】如果【实数的表达系统】同【子集的表达系绽】选择适当，这样的一一对应是可以做到的。但并不是相对于任何表达系统，都能使其一一对应。
樊说: 【 当幂集中根本不允许有“不能有限表达”的集合时，任何无穷幂集其实都与 ω 等势。】
如果在某模型中【 幂集中根本不允许有“不能有限表达”的集合 】，那么在此模型中，命题【 任何无穷幂集其实都与 ω 等势 】为真。但是请注意这只是在此模型中为真，在模型外就失效了！
樊毅先生非常自信地说: 【当然，使用与我们证明 P 与 ω1 等势的类似方法，也可以证明，在 ω2、ω3……中没有“不能有限表达”的序数，也即 ω2、ω3……都与 ω 等势。】
其实他【 证明 P 与 ω1 等势】的方法是错误的，自然【类似方法】也必错无疑。
我己多次指出，由于他的概念【 不能有限表达】的含义混乱，导致证明的错误。由于不存在统一的【命各表达系统】L，使全部ω1在L中【能表达】。所以说【ω1中 没有“不能有限表达”的序数】这句话只是说所有的ω1中的序数只能分别在多个L中表达。从而保证不了表达的无重复性。
(八) 结论。樊毅先生跨不过去的一个最关键的鸿沟。
张锦文说:【在一定意义下，我们可以说 脱殊集合是用「ZF语言」所无法描述的那些对象。】
樊毅先生说:【这不就是“不能有限表达”的形象化的说明吗?】还说: 【 科恩证明的本质就是这样一句话。即科恩引入了“不能有限表达”的集合。】
但是请樊毅先先一定注意，这里的【 不能有限表达】是相对于【ZF语言】的，也就是说是相对于一个具体确定的【命名表达系统L】的。这里的【不能表达】并不是用任何语言都不能表达，而是 【用ZF语言不能表达】。
话又说回来了，你必须把什么是 【 不能有限表达】的确切含义讲清楚，究竟指的是【相对于某种语言不能表达】，还是【 用任何语言都不能表达】。毕竟各种语言都是【字符串】。说来说去这个问题可能是樊毅先生跨不过去的一个最关键的鸿沟。
至于文中涉及的一些其它问题，如消除悖论的方法，以及【新的集合论】等，由于樊文并未详细展开 ，就不在此一一评论了
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