Zmn-0120 薛问天：答黄汝广先生问

【编者按。下面是薛问天先生发来的短文，答《Zmn-0119》黄汝广先生问。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

答黄汝广先生问

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

黄汝广先生问【 我是否又犯了无穷的禁忌问题？ 】

我的回答是【不是的。】虽然基数的算术运算 ，作为一种运算，一般讲只允许施行有穷次，不能进行无穷次，因为无定义的无穷次运算是没有意义的。但是基数的加法和乘法属于那种【结果有定义的无穷演算】，因而不在忌用之列。

我们曾经指出，有些 【无穷次潢算】在实际上是并不需要真正【无穷次】的潢算，如果它的演算结果的任何部分，按定义都可在有穷步内得到。我们把这样的无穷演算称为【结果有定义的无穷演算】，这种无穷演算可以从【无穷演算的忌用】中剔除。成为允许的、认可的【无穷潢算】。基数的加法和乘法演算属于此类，可以推广到无穷次演算。

黄汝广先生的错误不在于此，而是 【把在有穷步演算下成立的一些属性，错误地以为在无穷步演算后也成立。】就如同上次把在有穷次替换下成立的性质【序列中的数一个不多一个不少】，误以为在无穷次的替换后仍然成立的性质一样。这次犯的是同样的错误。

我们来具体分析。我们知道，基数的加法，乘法和指数运算是由集合的并 ，笛卡尔乘积和映射集来定义的。

定义1 基数的加法

κ, λ是任意两个基数，取集合A, B满足A∩B = ∅，| A |= κ 且| B | = λ。定义 κ +λ = | A ∪ B |。 (这里的A∪B是集合A,B的并集。)

定义2 基数的乘法

κ, λ是任意两个基数，取集合A, B满足| A | = κ且| B | = λ。定义κ⋅λ = |A×B|。(这里的AxB是集合A,B的笛卡尔委积。即AxB={ <a,b> | a∈A,b∈B }。)

定义3 基数的指数

κ, λ是任意两个基数，取集合A, B满足| A | = κ且| B | = λ，定义 λ^κ = | B^A |。 (这里的B^A是指所有映射f:A→B的集合。即B^A={ f | f:A→B }。)

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