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Zmn-0121 薛问天：再谈林益先生的五个问题
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Zmn-0121 薛问天：再谈林益先生的五个问题
【编者按。下面是薛问天先生发来的文章，针对《Zmn-0116，0117》，再谈林益先生的五个问题。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
再谈林益先生的五个问题
薛问天
读了《Zmn-0116 和 0117》林益先生的回复。再谈谈这五个问题。
(一)
我举的例子是针对林益所说的 【 排序必须及物，无物为空，为空则无元素，无元素何来有序？】这句话的。我想说的意思是，0虽然是【空】，是【无物】，但是，当我们把0看作是对象的某个属性的值时，并不是说具有该属性为0的值的对象本身就是【空】的。例如孩子没有抢到球，他手中的球是空的。孩子还是存在的。 正如林益先生所问【 难道没抢到球的同学赵是 0 就不存在吗？】显然【同学赵】是存在的，孩子本身并不是【无物为空】。只是【手中抢到的球】这个属性的值为0而已。所以孩子还是可以按此属性来排序的。【何来有序？】这就是【序的来由】。序数就是衡量集合(良序集合)的序型的。把0添加在序数中，就为序数的应用提供了更大的应用范围和空间。
王尚志教教的文章，说了那么多把0添加到自然数中的【好处】，林益先生也都列举出来，表示认可了。为什么还要说【 只感到一头雾水】呢？既然知道【 “0”加盟到自然数集合中，只有好处没有坏处，为什么我们不应该欢迎“0”作为自然数集合的一个成员呢?】为什么还要说【 不能从王尚志教授的文章中得到任何把“0”作为一个自然数的必然理由。】林益先生的这些言论反倒使我【 只感到一头雾水】不好理解。不知林益先生在质疑什么？
林益先生举了一个0不能算作【倍数】的例子。这其实就是一个规定。只要规定【倍数】就是指【非0的倍数】，问题就迎刃而解解了，并没有太多的困难。
林先生说【 把“0” 作为一个自然数，把搞数论的人害苦啦，把小学老师害苦啦，更把头脑未发育完全的小学生害苦啦。】是夸大其词了，我看并没有那么严重。这要比起把0从自然数中剔除所带来的麻烦。那简直不可同日而语。请问如果没有0，你在算式中该如何表达10，100，以及105这些自然数，又该如何对其进行算术运算。不敢想像，可能要【大动干戈】，简直是【寸步难行】吧！绝不是作个规定那么简单。孰轻孰重，孰难孰易，显而易见。
林益先生说【 家有三个兄弟，排序老大、老二、老三、没有老零。】是的。这是在把0引入序数以前养成的习惯用语。就是引入了0以后也没必要改变。因为已经【 约定成俗】了。但是以0号开头而不是以1号开头的排序方法正在应用中开始兴起。这也是不争的事实。例如最近疫情，把首例得新冠病毒的病人称为【0号病人】就是一例。刚好我查了一下《数学啄木鸟专栏》的首页也是《Zmn-000》，而不是001打头。这种例子是【举不胜举】。其实这不是关键。王尚志教授说了【 没有零的自然数集合与包括零的自然数集合“同构”。】0号打头与1号打头，在平常生活中都是允许的。只要在数学的严格的论证中，记着序数是以0开始的，就行了。没有必要为此争论不休。
(二)
林先生说【 有次序就表明有前后，不能颠倒，既然不能颠倒，次序表明是对元素之间关系的一种制约，即一种限制，表明前面的元素受后面元素的制约、限制，...。】
林益先生所用的词彙，诸如【次序】，【前后】，【不能颠倒】，以及 【大小】等概念，只是对序数间的那个【良序关系】的一个形象的直观的描述。实际上在数学上己经把【序】的概念研究得相当清楚了。【序】是一种【关系】。序数间的【序】就是一种【良序关系】。这种关系自然【 是对元素之间关系的一种制约，即一种限制】。它并不仅仅是【 前面的元素受后面元素的制约、限制，】同时也是【 后面的元素受前面元素的制约、限制，】实际上它是两个元素之间受其具有的【良序关系】的制约和限制。正是这种序关系决定了林益先生所讲的【次序】、【前后】和【大小】。前面序数的值肯定小于后面序数的值，后面序数的值肯定大于前面序数的值。 如果林益先生说的【制约和限制】指的就是其良序关系的制约和限制，那么既然序数有良序关系，良序是全序，任何两个序数间都受到这种【良序关系】的制约和限制。这是不需要作任何论证就可得出的结论。
关于序数，仅仅谈到它的序关系，火候还不够，还没有说透，还需继续分析。
序数有一个非常重要的性质。【任何序数，都是比它小的所有序数的集合。】例如:
1={0}，2={0,1}，3={0,1,2}，......，
ω={0,1,2,...} ，ω+1={0,1,2,...,ω}，
ω+2={01,2,...,ω,ω+1}，......
而这些集合的序型是各不相同的。可以证明任何良序集，都存在一个唯一确定的序数，同它具有相同的序型。序数的序关系也就同时表达了这些序型间的序关系。据此，在良序集的序型间就有了【序】关系，即林先生所说的【次序、前后和大小】。序数成为表达良序集序型的数系，这才是康托尔引入序数的目的，和序数存在的价值所在。
(三)
在《实变函数论》中自然找不到【序数】，但是在任何一本《集合论》的书中都会有【序数】的介绍。序数和基数是康托尔的伟大贡献。我们那敢贪天之功。我们只是学习和理解，再学习和再理解。只要没理解错就是万幸。
我认为康托尔引入的【是“ω”，为什么不用其他符号？】这点并不重要。如果当时用的是α或β，现在流行的就不是ω而是α或β了。 这并无本质区别，只是个记号而已。
而【 为什么要引入“ω”这个超穷序数？】这个问题才是最重要的。为什么要引入超穷序数，是为了表示无穷良序集的序型。
我们知道，ω是全体有穷序数集合的并集(即全体自然数的集合)。我们来考查一些无穷序列构成的良序集，例如:
A0={a1,a2,a3,......}，B0={b1,b2,b3,......}......等，其中元素的序关系定义为若n≤m，则an≤am，bn≤bm。
显然，它们都可以同ω建立保序的一一对应。于是ω可以作为这些良序集A0,B0...等的【序型】。这就是ω作为超穷序数引入的缘由。这些道理我在《0113》中已经讲过。不知林益先生为何还在提【 为什么要引入“ω”？】的问题。引入ω是为了表示(刻画，衡量)这部分良序集的【序型】。（这是我的理解。我没有查到康托尔本人对此的解释。）
可是请注意，对于如下的良序集，如:
A1={a1,a2,a3,......,c1}，B1={b1,b2,b3,......,c1}......等， 其中元素的序关系定义为: 若n≤m，则an≤am，bn≤bm。并且对所有n都有an≤c1，bn≤c1。
仔细查看，这些良序集却不能同ω建立保序的一一对应。但是它们可以同集合ω+1= {0,1,2,......,ω} 建立保序的一一对应。于是ω+1可以作为这些良序集A1,B1的【序型】。
余此类推，就不仅有ω这个序数，还有了ω+1,ω+2,...等序数。以及后续的各序数。当然我们最终可以证明任何良序集都有唯一确定的一个序数，此序数同此良序集具有同一的序型。这就保证了序数作为表示良序渠序型的功能。
至于林益先生的另外三问。
(1)【 为什么就能说“ω”大于任何自然数？】
因为我们在序数间定义了一个良序关系"≤"，按照该序的定义，所有的自然数(即有穷序数)n，都有序关系n≤ω，而已知n≠ω，所以n<ω。当然你可以直观形象地把此序数间的【序关系】称为【ω大于自然数n】。
(2)【自然数有界吗？】
自然数在自然数系中没有界，即不存在一个自然数K，使所有的自然数n，都有n≤K。
但是在序数数系中，自然数是有界的。即存在着序数，例如ω，使所有的自然数(有穷序数)n，都有n≤ω。做个比喻，这就叫【山外有山，天外有天。】
(3)【有最大自然数吗？】
(四)
林先生问【 “ω”是超穷数，“超穷”与“无穷”区别是什么？】
我希望林先生不必在在这些名称的字面含义上过分纠结 。它只不过是个名称而已，应该说叫个什么名字都是可以的，并不重要。我们对数学概念的理解不是依赖它的名字，靠的是概念的定义。也就是我们关心的问题应是【是什么】，而不是【叫什么】。
林问【 那来的左一个“无穷”序数，右一个“无穷”序数，没完没了的都是“无穷”序数，】
为什么要有这么多【“无穷”序数】? 这就是客观事物的复杂性，因为实际上无穷的良序集很多，它们的序型也很多，每一个序型都有一个序数来表示，所以序数就会很多。其实无穷的良序集要比无穷的序数还要多。当然良序集只是无穷集的一种 ，不是良序集的无穷集就更多，更多 。
用列車到达一站又一站来比喻序数，有它形象的地方。例如序数有序关系，有前有后，中间一些特别的序数如ω ，ωxω，...比作中间的站点，一站接着一站。确实也很形象。但这毕竟是个比喻，有些无穷的性质是用有穷的东西比喻不出来的。例如每个车站都有前趋(即前一个车站)，但是有些序数没有前趋。如ω，2ω，...等没有前趋。也就是说你坐上列车，一站一站的过，有些车站你是乘坐列车永远也达到不了(用后继运算达不到)的。这也是我们说自然数是【有始无终】的道理。自然数没有最大元，沒有终点站。ω并不是自然数的终点站。ω是跨越了所有的自然数以后到达的站点。要到达ω站，坐列车已不行了，要采用非常手段跨越这中间的无穷个【有始无终】的自然数。
我建议的办法是换乘【思维神器】。我们用【思维神器】来做比喻是有道理的。因为人的思维能力是相当神奇的。人类受时空的限制，本无法处理【无穷对象】。但是通过【思维推理】就可以来认知【无穷对象】。只用了【所有的】三个字，就把【所有的自然数】这个【无穷集合】给搞定了，从而拿下了ω这个超穷序数。这样乘坐【思维神器】就到达了ω车站。同样通过【思维神器】可以认知其它序数，到达其它序数各站。
林益先生问【 薛老师曾经开导我说：“无穷”是“有始无终”的。那么能有这么多“无穷序数站”点吗？难道这就不违背同一律吗？逻辑又怎么解释这么多“无穷序数”呢】
首先澄清一下，全体自然数(ω)的序型是【有始无终】的。但并不是所有的无穷序型都是【有始无终的】。最简单的例子是ω+1={0,1,2,...,ω}，这个无穷良序集就有最大元(ω) ，因而是有终点的(注意是ω+1的最大元，而不是ω的最大元。)当然除ω以外，还有很多序数(所谓【极限序数】)是【有始无终的】。
这在逻辑上有问题吗?没有任何矛盾嘛！有【 这么多“无穷序数”】，所有序数都是【无穷的良序集】，其中有些是【有始无终】(无最大元)的集合，有些是【有始有终】(有最大元)的集合。矛盾何在?
(五)
林益先生说【 看不出「ω 有限制」同「ω 是有限的」的根本含义的区别，既然ω有限制还不是有限的，】
关于「ω 有限制」我们前面分析了，含义清晰，它是指ω受到同其它序数之间的序关系的限制，即【ω必须滿足序关系n＜ω＜ω+1。】
关键是 「ω是有限的」是什么意思。如果按林先生的说法，它同 「ω 有限制」没有【根本含义的区别】，那就还是指【 ω必须滿足序关系n＜ω＜ω+1】。那结论就应该是【 既然ω有限制，自然ω是有限的 。】
可是林益先生的结论却是【 既然ω有限制还不是有限的】。既认为【 ω不是有限的】。这就是说林益先生给【 ω是有限的 】赋予了同【ω是无穷序数】【ω是无穷集】是矛盾的含义。即实际上给【 ω是有限的 】赋予了【ω是有限序数】和【ω是有限集】的含义。
显然，从 「ω 有限制」即【 ω必须滿足序关系n＜ω＜ω+1】，得不出 【ω是有限序数】和【ω是有限集】的结论来。
林益先生说【 即使从【ω<ω+1】否定不了【对任何 n 有 n<ω】。确实否定不了，但是我也不能否定 ω 的有限性。】
其实可以这么讲，如果你不把【 ω的有限性】同 【ω是有限序数】和【ω是有限集】划上等号。没有人反对你提出的【ω的有限性】。ω的序型小于ω+1的序型，同【ω是无穷序数】【ω是无穷集】没有任何矛盾。
中学数学教师是光荣的受人尊敬的【数学教育工作者】。你所遵循的务实的学风，也是学界普遍倡导的好的学风。我也年事己高，最后的一点心愿就是想做点这样的事，即利用我学到的知识，通过耐心的说理，来澄清社会上流传的一些数学的错误理解和认识。做点有针对性的科普，发挥点余热。同网友们互相学习，共同提高。
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