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Zmn-0118 薛问天:樊毅先生证明P与ω1等势的愿望落空了

已有 517 次阅读 2020-3-12 10:40 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0118 薛问天:樊毅先生证明P与ω1等势的愿望落空了

【编者按。下面是薛问天先生发来的论文,评论《zmn-0115》樊毅先生的文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】


 

 

樊毅先生证明P与ω1等势的愿望落空了

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 


薛问天-c.jpg(一)

按照樊毅先生的定义:【 a“能有限表达”,当且仅当存在命名表达系统 L,a 在 L 中“能表达”。 a“不能有限表达”,当且仅当不存在命名表达系统 L,a 在 L 中“能表达”。】

在这样的定义下,显然,ω1中的任何序数都是【能有限表达的】。不存在【不能有限表达的】序数。

但是请樊先生注意 ,这个定义并不能达到你想要证明的 “P 和 ω1 等势”的目的。这里有个逻辑问题,即任何序数a,都存在命名表达系统L,a在L中能表达。并不等于说存在一个统一的L,使ω1中所有序数都能在L中表达。如果是存在多个L才能表达ω1中的全体序数,则不能保证不重复。即同一个字符串在不同的L中完全有可能表达不同的序数。

每个苹果,单独地讲,都存在一个装篮方案,能将其放在小明的篮中。因而不存不能放在小明篮中的苹果。但是并不等于说,存在一种装篮方案,使小明的篮子能装下全园所有的苹果。

按樊毅先生的定义,不仅是ω1中的序数,任何序数都存在L,使其能在L中表达。没有【不能表达】的序数。问题是不存在一个包罗万象的统一的命名表达系统L,使所有序数都能在L中表达。没有这样一个统一的 命名表达系统L,就不能保证这样的【表达】不出现重复。 这才是关键。

(二)

在樊先生这样的对于序数【能有限表达】的定义下 ,任何序数都是【能有限表达的】。即对任何序数a,都可为此a专门构造一个 【 命名表达系统】L,使a在L中表达。也就是说,没有 【不能表达】的序数。自然所有 【不能表达】的序数的集合是空集。这根本不需要这么复杂的证明。不过,在你如此定义下的这个证明,也不能算错。

(三)

这里的区别不是物理对象与数学对象的区别,也不是数学对象抽象掉了吋间【不会随时间而改变】的原因。而是这里有个苹果装篮(实施)方案L的缘故。【在篮中】和【在篮外】都是相对于某个装篮方案L而言的。说小苹果 【在篮外】是相对于某方案L而言的,而说小苹果 【在篮中】又是相对于另一个扩充了的L+而言的。对于不同的装篮方案L和L+,一个 【在篮外】,一个 【在篮中】,这里并无矛盾。只是你把 【a在篮中】定义为【存在一个方案L,使a在篮中】,把 【a在篮外】定义为 【对任何方案L,a均在篮外】,这时 【α在篮外】同 【a在篮中】才会发生矛盾。

(四)

关于【命名】和【表达】的字面含义的区别,我不想争论,这不是个数学问题而是个语义问题。按樊先生的意思似乎【命名】是人为的,而【表达】就不需要人为参与似的。其实这两者都需要人为参与。 【表达】同样不可能是自明的。需要由人来规定语义制定【表达系统】。不同的语义就会有不同的【表达】。我们不争论这些。我们讨论的是数学问题,你必须先把【表达】和【命名】用数学语言定义清楚,然后再讨论它们的异同。

我在《zmn-0106》中已表述清楚: 用严格的数学语言来表述,这个【命名表达系统】就是给定了一个由P到ω1的部分单射f: P→ω1。(注意。这里的【部分单射】,是指f的定义域是P的某子集。)如果序数a在此f的像集中,则称a是【能表达的】,否则称a是【不能表达的】。

也就是说,我认为【命名】和【表达】,它们们在数学上是相同的, 一个由P到ω1的【命名表达系统】L,在数学上就是指一个由P到ω1的【部分单射】f: P→ω1。

既然是单射,自然不允许重复,也就是说,在一个L中,不允许同一个字符串【命名表达】不同的序数。尽管在平时,名字允许个别重名,但是在我们的任何 一个【命名表达系统】L中,是不允许重复的。

但是把不同的L放在一起,就不能保证【不重复】,在一个L中某字符串【命名表达】的是序数α,而在另一个L中同样的字符串【命名表达】的就可能是另一个序数β,保证不了α=β。

樊毅先生在这段论证中用到了一些错误的论断,如:-

(1) 他说【 薛老师明确说了,命名表达系统是从最简单的自然数表达系统开始,一个一个扩大而来的。】

这是严重的误解。我构造的只一个【 命名表达系统】的【例子】,並不是说所有的【 命名表达系统】都可以用此方法一个一个扩大而得来。况且我构造的系统远未覆盖ω1中的全部序数。

事实上樊先生认为这样【一个一个扩大】的方法能生成表达ω1中的全部序数的所有的 【 命名表达系统】,就意味着在证明中实际上用到了【ω1中序数是可数无穷】这个要证明的结论。 因为只有 ω1中序数是可数的,才可能用【一个一个扩大】的方法来覆盖ω1中的全部序数。 因而这才是典型的【循环论证】。

(2) 他说【 根据薛老师对命名表达系统的设定,L1 和 L2 是满足三歧性的,要么两者相等,要么一个是另一个的扩大。 】

这更是严重的误解。我从来没有说过这样错误的话。在所有由P到ω1的部分单射中,怎么可能保证满足三歧性呢?在这里樊毅先生用到了没有经过论证的错误论断。

在上面错误的断言下推出的结论: 【 在不同的命名表达系统里,不同的序数也只能用不同的字符串来表达,】显然是不能成立的,是错误的。【不重复】只有在一个统一的 【 命名表达系统】中才能成立。樊毅先生想借此来证明【 可以直接得出“P 和 ω1 等势”的结论。】的愿望也就落空了。

(五)

我说ω1的基数等于连续统 ,当然是在承认连续统假没的条件下说的。我说ω的基数小于ω1的基数自然也是在承认正则公理的条件下 ,根据现代公理集合论而言的。讨论数学问题都是在一定的条件下来推理的 。这就是数学的相对真理观。数学要求的是推理的正确性,系统的协调性即无矛盾性。这种协调性提供了一种现实应用的可能性。至于现在是否己经找到应用的现实,并不影响数学的正确性。

关于连续统假设(CH),己经证明是独立于ZFC公理系统的,所以公理系统A=(ZFC+CH)和公理系统B=(ZFC+ ¬CH)都是正确的公理系统。就如同欧氏几何同非欧几何的公理系统都可以存在一样。

至于正则公理也是一样,这里并不存在哪个公理系统是【 绝对真理】的问题。

当然如果能在ZFC中否定正则公理,如樊毅先生所说【 证明正则公理其实会导致矛盾】则另当别论 。事实上樊先生并没有能做到这点 。 我曾根据ZFC公理集合论,P的基数小于ω1的基数。作出判断说【你的证明的任务是不可能完成的。】但是在指出樊先生证明的错误时,我并没有用到正则公理和 P的基数小于ω1的基数这个论断。我当时就说过【当然我还会在后面指出你证明的错在哪里。】我前面己经指出了樊毅先生在证明中的错误。主要是把把序数a【能有限表达】定义为【 存在命名表达系统 L,a 在 L 中“能表达”。 】从而ω1中的任何序数是【能有限表达】的含义并不是存在一个统一的 【 命名表达系统】L,使所有序数在L中能表达,而是存在多个L,使所有序数分别在其中能表达。这就产生了不可避免的重复问题。然而樊毅先生设想的避免重复的几种论断也都证明是没有根据的和错误的。从而使樊毅先生想证的定理未能得证。他想证明P与ω1等势的愿望终于落空了。

(本文完)


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