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Zmn-0104 薛问天:【 m×n 的二维黑白图像】表达不了ω1中的全部序数。-答樊毅先生的提问 。

已有 616 次阅读 2020-2-23 12:43 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0104 薛问天:【 m×n 的二维黑白图像】表达不了ω1中的全部序数。-答樊毅先生的提问 。
【编者按。下面是薛问天先生发来的文章答《zmn-0103》樊毅先生的提问。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。】

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【 m×n 的二维黑白图像】表达不了ω1中的全部序数。

-答樊毅先生的提问 。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-c.jpg现在来答复樊毅先生在《zmn-0103》中提出的问题。

(一)

林先生文中说:【从薛老师的推理可以得知:他认为如果一个类会推出矛盾,那么就不是集合。】

这不是我的推论,我没有这样的观点。 我的认识是一般概括原则【不能断定是集合】并不是说肯定【 不是集合】。

我的文中是这样写的:  【 现代集合论中修改了一般概括原则,只承认S是「类」而不一定是「集合」。】

【 所以, 滿足 S={x|xS}的S是类,而不能断定是集合。并且由于如果该类存在,则对任何ⅹ,x∈S当且仅当 xS,是矛盾的。所以证明了这样的类并不存在。即在现代集合论中 滿足 S={x|xS}的S是不存在的类。 这里并不产生悖论。这就是我的看法。】

我现在把这个问题再分析一下 。原问题是这样的。【 S={x|xS},这里的S是否是集合?】

如果 把这个 S={x|xS}分解成两个命题的并(&),看作是T={x|xS}&T=S。实际上在现代集合论中的结论就是【满足等式 S={x|xS}( 即T={x|xS}&T=S)的类S不存在。 】不是说犯有循环定义的错误,而是说产生了矛盾,证明它不存在。

一个等式可以看作是一个求解的方程式。是否有解,则要具体分析,有各种情况。例如  ,
(1)  等式  |x|=0,有唯一解: x=0。
(2)  等式  |x|=1,有两个解: x=1,x=-1。
(3)  等式  |x|=-1,没有解。
(4)  等式 |x|=|x|,所有实数全是它的解 。

关于樊毅先生提的问题可以这样回答。

(1)  S={x|xS}  没有解。即不存在这样的类S,使得类T={x|xS},而且T=S。因为如果有这样的类S,则会产生矛盾:T=S而且T≠S。

(2)  S={x|x∈S}  所有的类都是它的解 。因为对任何类S,都使得类  T={x|x∈S}  ,而且T=S。既然所有的类都滿足此等式,显然,集合0={},1={0},2={0,1},...,所有集合,所有的类都满足此等式。

(二)  在樊毅先生质疑【极小元原则】证明中存在的问题。

 (1)关于序数 是“可有限表达的”定义。

这里不是某个序数a【可以不可以】用 【 m×n 的二维黑白图像】表达的问题。任何序数都可以用 【 m×n 的二维黑白图像】来表达。所谓【表达】只不过是用一个字符串来给此序数取个名字而已。问题是要使 不同的【 m×n 的二维黑白图像】表达不同的序数。因而问题来了,如果所有 不同的【 m×n 的二维黑白图像】构成的集合的基数小于要表达的序数集合的基数。就不可能用 【 m×n 的二维黑白图像】 完全表达所有要表达的全部序数。现在在不知基数大小的情况下。选择一种表达方案,起码知道一部分序数【被表达】了,很可能还有另一部分序数【未被表达】。当然如果你能证明在要表达的序数中 【未被表达】的序数集合为空集。自然你就证明了能 用 【 m×n 的二维黑白图像】 完全表达所有要表达的全部序数。这应该就是樊毅先生的证明思路。

所以这里的定义的应该是在用 【 m×n 的二维黑白图像】表达的一种方案下 序数a【被表达】,或【未被表达】。而不是序数a【 可有限表达】或【 不可有限表达】。

我可以在这里先告诉你我己经有的结论。你要表达的序数集合ω1的基数是连续统 ,而所有 不同的【 m×n 的二维黑白图像】构成的集合的基数是可数无穷,小于连续统 。所以你的证明的任务是不可能完成的。当然我还会在后面指出你证明的错在哪里。

至于为什么 所有 【 m×n 的二维黑白图像】集合的基数是可数无穷,小于连续统 。这就如同证明「所有有穷小数的集合的基数是可数无穷」的道理是一样的,只不过维数不同而已。

(2) 关于证明【T= 】中的错误。

由于T是ω1中【未被表达】的序数集合,它的最小元自然也是 ω1中【未被表达】的序数, 应该有∩T∈T。但樊文中却说:
【另一方面,经过层层代入,∩T=∩({a|¬ YouXian(a)}∩ω1),显然,∩T是可以有限表达的,即应该有∩T
T。 】

不知这里的【 显然,∩T是可以有限表达的】从何而来,根据是什么?这里犯了无根据推理的错误。

(3)  既然证明不了【T= 】,自然也就证明不了【 S=ω1】。

(4)  由于证明不了 【 S= ω1】,既使证明了【  S同 ω等势】,也证明不了【 ω同 ω1等势】,质疑最小元原则就失去了理由。

(5)  【  S同 ω等势】的结论是正确的。但「证明」有误。

构造从 S 到ω的一个单射 ,首先要构造出从 S 到ω的一个映射,映射要求每个二维黑白图像映射到唯一确定的自然数。然后证明此映射是单射,即不同的二维黑白图像映射到不同的自然数。樊文并没有做到这点。



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