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Zmn-0104 薛问天：【 m×n 的二维黑白图像】表达不了ω1中的全部序数。-答樊毅先生的提问 。
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Zmn-0104 薛问天：【 m×n 的二维黑白图像】表达不了ω1中的全部序数。-答樊毅先生的提问 。
【编者按。下面是薛问天先生发来的文章答《zmn-0103》樊毅先生的提问。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。】
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【 m×n 的二维黑白图像】表达不了ω1中的全部序数。
-答樊毅先生的提问 。
薛问天
xuewentian2006@sina.cn
现在来答复樊毅先生在《zmn-0103》中提出的问题。
(一)
林先生文中说:【从薛老师的推理可以得知：他认为如果一个类会推出矛盾，那么就不是集合。】
这不是我的推论，我没有这样的观点。 我的认识是一般概括原则【不能断定是集合】并不是说肯定【 不是集合】。
我的文中是这样写的: 【 现代集合论中修改了一般概括原则，只承认S是「类」而不一定是「集合」。】
【 所以， 滿足 S={x|x∉S}的S是类，而不能断定是集合。并且由于如果该类存在，则对任何ⅹ，x∈S当且仅当 x∉S，是矛盾的。所以证明了这样的类并不存在。即在现代集合论中 滿足 S={x|x∉S}的S是不存在的类。 这里并不产生悖论。这就是我的看法。】
我现在把这个问题再分析一下 。原问题是这样的。【 S={x|x∉S}，这里的S是否是集合？】
如果 把这个 S={x|x∉S}分解成两个命题的并(&)，看作是T={x|x∉S}&T=S。实际上在现代集合论中的结论就是【满足等式 S={x|x∉S}( 即T={x|x∉S}&T=S)的类S不存在。 】不是说犯有循环定义的错误，而是说产生了矛盾，证明它不存在。
一个等式可以看作是一个求解的方程式。是否有解，则要具体分析，有各种情况。例如 ，
(1) 等式 |x|=0，有唯一解: x=0。
(2) 等式 |x|=1，有两个解: x=1，x=-1。
(3) 等式 |x|=-1，没有解。
(4) 等式 |x|=|x|，所有实数全是它的解 。
关于樊毅先生提的问题可以这样回答。
(1) S={x|x∉S} 没有解。即不存在这样的类S，使得类T={x|x∉S}，而且T=S。因为如果有这样的类S，则会产生矛盾:T=S而且T≠S。
(2) S={x|x∈S} 所有的类都是它的解 。因为对任何类S，都使得类 T={x|x∈S} ，而且T=S。既然所有的类都滿足此等式，显然，集合0={}，1={0}，2={0,1}，...，所有集合，所有的类都满足此等式。
(二) 在樊毅先生质疑【极小元原则】证明中存在的问题。
(1)关于序数 是“可有限表达的”定义。
这里不是某个序数a【可以不可以】用 【 m×n 的二维黑白图像】表达的问题。任何序数都可以用 【 m×n 的二维黑白图像】来表达。所谓【表达】只不过是用一个字符串来给此序数取个名字而已。问题是要使 不同的【 m×n 的二维黑白图像】表达不同的序数。因而问题来了，如果所有 不同的【 m×n 的二维黑白图像】构成的集合的基数小于要表达的序数集合的基数。就不可能用 【 m×n 的二维黑白图像】 完全表达所有要表达的全部序数。现在在不知基数大小的情况下。选择一种表达方案，起码知道一部分序数【被表达】了，很可能还有另一部分序数【未被表达】。当然如果你能证明在要表达的序数中 【未被表达】的序数集合为空集。自然你就证明了能 用 【 m×n 的二维黑白图像】 完全表达所有要表达的全部序数。这应该就是樊毅先生的证明思路。
所以这里的定义的应该是在用 【 m×n 的二维黑白图像】表达的一种方案下 序数a【被表达】，或【未被表达】。而不是序数a【 可有限表达】或【 不可有限表达】。
我可以在这里先告诉你我己经有的结论。你要表达的序数集合ω1的基数是连续统 ，而所有 不同的【 m×n 的二维黑白图像】构成的集合的基数是可数无穷，小于连续统 。所以你的证明的任务是不可能完成的。当然我还会在后面指出你证明的错在哪里。
至于为什么 所有 【 m×n 的二维黑白图像】集合的基数是可数无穷，小于连续统 。这就如同证明「所有有穷小数的集合的基数是可数无穷」的道理是一样的，只不过维数不同而已。
(2) 关于证明【T= ∅】中的错误。
由于T是ω1中【未被表达】的序数集合，它的最小元自然也是 ω1中【未被表达】的序数， 应该有∩T∈T。但樊文中却说:
【另一方面，经过层层代入，∩T=∩({a|¬ YouXian(a)}∩ω1)，显然，∩T是可以有限表达的，即应该有∩T∉T。 】
不知这里的【 显然，∩T是可以有限表达的】从何而来，根据是什么？这里犯了无根据推理的错误。
(3) 既然证明不了【T= ∅】，自然也就证明不了【 S=ω1】。
(4) 由于证明不了 【 S= ω1】，既使证明了【 S同 ω等势】，也证明不了【 ω同 ω1等势】，质疑最小元原则就失去了理由。
(5) 【 S同 ω等势】的结论是正确的。但「证明」有误。
构造从 S 到ω的一个单射 ，首先要构造出从 S 到ω的一个映射，映射要求每个二维黑白图像映射到唯一确定的自然数。然后证明此映射是单射，即不同的二维黑白图像映射到不同的自然数。樊文并没有做到这点。
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