博文
Zmn-0127 薛问天：通过思维和推理来认知【无穷集】的规律，评黄汝广先生的文章。
||
Zmn-0127 薛问天：通过思维和推理来认知【无穷集】的规律，评黄汝广先生的文章。
【编者按。下面是薛问天先生发来的论文，评论《zmn-0125》黄汝广先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
通过思维和推理来认知【无穷集】的规律。
评黄汝广先生的文章。
薛问天
(一) 这真是一条【铁】的规律吗?
黄汝广先生毫不迟疑地，深信不疑地陈述了一条他认为是天经地义的【铁】的规律: 【 把两个集合A和B看作两个黑箱，每从箱A中取出一个元素，也从箱B中取出一个元素与之对应，如此进行下去，当A空了的时候，如果B也空了，我们就说两者元素个数相等；当A空了的时候，如果B却非空，我们就说B的元素多于A；反之，当B空了的时候，如果A却非空，我们就说B的元素少于A。】而且我还可以给你再加一句:【上述三种情况只能有一种可能发生，三者必居其一。】
他之所以认为这是绝对正确的【铁】的规律，像板上钉钉一样，是因为这是他经过千万次的实践所获得的一条经验。因而这个规律己根深啻固地札在他的脑海之中，从不怀疑，于是他就可以不加思索，不去论证地脱口而出。
果真这是【铁】的规律吗?要知道任何【铁】的规律都有它的适用范围，超出了它的适用范围就不一定正确了。这条规律也一样，对于【有穷集合】它是完全正确的，但对于【无穷集合】就不一定适用了。为什么这个规律札在我们的脑海中如此之深呢?原因是我们实践中遇到的多是【有穷集】，而【无穷集】只在我们的抽象思维中出现。因而一般人对【有穷集】比较熟悉，而对【无穷集】知之甚少 。对适用于【无穷集】的一些同【有穷集】截然不同的规律，总是很难接受。这就需要我们多学习、多思考【无穷集】的特殊性，不要错误地总以为适用于【有穷集】的规律就天经地义地一定适用于【无穷集】。要通过自己的智慧来认知【无穷集】的特殊规律。
(二) 通过思维和推理来认知【无穷集】的规律。
下面我们来作三个实验，来证明上述【铁】的规律并不适用于【无穷集】。当然这个实验是通过思维和推理来做的，但是我们要相信我们的推理，只要我们的推理是严格的，没有出错 ，你必须承认推出的结论是正确的 。你不会连你自己推理的正确性都不相信吧！
同上， 把两个集合A和B看作两个黑箱，此时集合A和B都是无穷集，我们选取的A和B都是自然数。其实还可以想像得更具体些，A箱中放入红色的球 ，B箱中放入绿色的球，每个球上都以自然数编上号码 1,2,...。也不用黑箱，全透明，让大家看得一清二楚。当然箱要足够大(无穷)能放下这无穷个球。
也许有人会问，这是无穷个球，你有限的思维能对其做出判断和推理吗？我说不要低估了人类思推理的巨大能力。这是可以的。例如，如果推出【对任何自然数n，红球n在A箱中】，即可判断【A是满的】。 如果【对任何自然数n，红球n 都不在A箱中】，即可判断【A是空的】。 如果【存在有自然数n，红球n在A箱中】，即可判断【A不是空的】。 如果【存在有自然数n，红球n 不在A箱中】，即可判断【A不是满的】等。完全可以用有限的思维能对无穷对象的属性做出正确的判断和推理。
显然实验开始时假定A和B都是【满的】，即【所有的红球都在A中】，【所有的绿球都在B中】。现在开始做实验。请各位睁大眼睛，严密思维，不要漏掉任何细节。
(1)第一个实验，每次从A和B箱中各取出一球。而且规定，对任何n的第n次取球动作，取出的是标号为n的球。取球动作一次一次地进行，先是第1次取球，动作完成后，标号为1的红球就不在A中， 标号为1的绿球就不在B中。然后是第2次，第3次，依此类推。 第n次取球动作，从两个箱中取出的是标号为n的红球和绿球。这样的动作一直继续下去，进行无穷多次。请问最后的结果如何。
由于按照取球的方式是只取不添，一旦取出就不会再在箱中出现。所以对任何自然数n， 在第n个取球动作完成后，标号为n的红球就不在A中， 标号为n的绿球就也不在B中。这样的动作继续下去， 直到无穷。可以断定，对任何自然数n，标号为n的球结果不会存在箱中，因为这个球在第n次的取球动作中已被取走，以后也不会自动回到箱中 (这样的无穷演算是【结果可定义的天穷演算】，不在无穷禁忌之列)。这就证明在每次从A和B箱中各取出一球，取无穷次，可以推断出最后A箱和B箱都是【空的】 。
(2)笫二个实验。同样每次从A和B箱中各取出一球。但是规定第n次取球动作，从A中取出的是标号为n的红球。 从B中取出的是标号为2n的绿球。取球动作一次一次地进行，先是第1次取球。动作完成后，标号为1的红球就不在A中， 标号为2的绿球就不在B中，但标号为1的绿球仍在B中。然后是第2次，第3次，依此类推。 第n次取球动作，从两个箱中取出的是标号为n的红球和标号为2n绿球。注意这时小于2n的奇数的绿球仍在B中。这样的动作一直继续下去，进行无穷多次。请问最后的结果如何。
显然可证无穷次取球动作后，对任何自然数n，标号为n的红球不在结果的A箱中 ，因为这个球在第n次的取球动作中已被取走，以后也不会自动回到箱中。于是推断A箱是【空的】。但B箱中仍保留有标号为奇数的绿球 ，可推断B箱【不空】。
(3) 笫三个实验。同样 每次从A和B箱中各取出一球。但是规定第n次取球动作，是从B中取出标号为n的绿球。 从A中取出的是标号为2n的红球。这样的动作一次一次地一直继续下去，进行无穷多次。
显然可证无穷次取球动作后，对任何自然数n，标号为n的绿球不在结果的B箱中 ，于是推断B箱是【空的】。但A箱中仍保留有标号为奇数的红球 ，可推断A箱【不空】。
经过这三个实验，在众目睽睽和严密地推理之下证明了适用于【有穷集】的规律【 当A空了的时候，如果B也空了，我们就说两者元素个数相等；当A空了的时候，如果B却非空，我们就说B的元素多于A；反之，当B空了的时候，如果A却非空，我们就说B的元素少于A。上述三种情况只能有一种可能发生，三者必居其一。】己不适用于【无穷集】。因为对于相同的自然数集合N，上述三种情况都成立。你能既说【N同N的元素个数相同】又说【 N的元素多于N】和 【 N的元素少于N】吗?
显然不能。黄汝广先生的错误就在于否认严格地思维推理， 硬要坚持认为这个只适用于【有穷集】的规律也适用于【无穷集】 。对于第二个实验， 说【 根据前述法则，结论只能是A的元素少于B。】可是【 N的元素少于N】又是不可能的。明明经过严格的推理，推出是在无穷次取球动作后，对任何自然数n，标号为n的红球不在结果的A箱中 ，于是推断A箱是【空的】。可是黄先生硬要说【 当B中的偶数被全部取完的时候，A中的数并没有被取完，而是恰好取了一半，】
对于这个黄先生解释不了的问题，却说【 问题出在哪里？答案是，所谓自然数集与其真子集偶数集一一对应只是幻觉而已，】
这就是黄汝广先生的错误 ，把【严格的思维推理】，说成是【幻觉】。而把那个只适用于【有穷集】的规律错误地主观臆想成为对【无穷集】也适用的【铁】的规律，迷信地奉为天经地义的普遍真理。
上述三个实验说明关于衡量【有穷集】的元素的【相同】和【多少】的这套方法己不适用于【无穷集】了。必须另寻出路 。这就是康托尔用一一对应定义的【基数】。它不仅适用于【有穷集】而且适用于【无穷集】。这是当前最好的用来衡量集合「大小」的方法。
返回到：
zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1225444.html
上一篇：Zmn-0126 薛问天：【表达序数】仅凭【定义】是不够的，论 【命名表达系统】的必要性。
下一篇：Zmn-0128 师教民： 对薛问天和师教民讨论微积分的活动的总结
